EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O,−→u ,−→v )direct d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4i. Soit C et D les points d’affixes respectiveszC = 2√
3 +i!
−2−√ 3"
etzD =−2√
3 +i!√
3−2"
.
L’objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des pointsDetC.
1. a.Montrer que l’image du pointB par la rotation de centreAet d’angle 2π
3 est le pointD.
b.En déduire que les pointsBetDsont sur un cercle(C)de centreAdont on déterminera le rayon.
2. SoitF l’image du pointApar l’homothétie de centreB et de rapport3 2. a.Montrer que l’affixezF du pointF est−2i.
b.Montrer que le pointF est le milieu du segment[CD].
c.Montrer que zC −zF
zA−zF
=−i√
3. En déduire la forme exponentielle de zC −zF
zA−zF
.
Déduire des questions précédentes que la droite(AF)est la médiatrice du segment[CD].
3. Proposer un programme de construction pour les pointsDetC à partir des pointsA,B etF et réaliser la figure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évalua- tion.
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BACCALAUREAT GENERAL
Session de juin 2009 MATHEMATIQUES
- Série S -
Enseignement Obligatoire Nouvelle Calédonie
EXERCICE 1
1) a)Notons B! l’image du pointBpar la rotation de centreAet d’angle 2π
3 (que l’on noter). On sait que l’expression complexe de la rotation de centreΩet d’angleθest z! =zΩ+eiθ(z−zΩ). Donc
zB! =zA+e2iπ/3(zB−zA) =1+
! cos
!2π
3
"
+isin
!2π
3
""
(3+4i−1) =1+
#
−1 2 +i
√3 2
$
(2+4i)
=1−1−2i+i√ 3−2√
3=−2√ 3+i%
−2+√ 3&
=zD. Ainsi,
l’image du pointBpar la rotation de centreAet d’angle 2π
3 est le pointD.
b)Puisque r(B) =D, par définition d’une rotation, on aAB=AD.Bet D sont donc sur un certain cercle de centreA.
Le rayon de ce cercle est
AB=|zB−zA|=|2+4i|=√
22+42=√
20=2√ 5.
Bet Dsont sur le cercle de centreAet de rayon2√ 5.
2) a)On sait que l’expression complexe de l’homothétie de centreΩet de rapportkest z!=zΩ+k(z−zΩ). Donc zF=zB+ 3
2(zA−zB) =3+4i+ 3
2(1−3−4i) =3+4i+ 3
2(−2−4i) =3+4i−3−6i=−2i.
zF=−2i.
b)L’affixe du milieu du segment[CD]est zC+zD
2 = 2√
3+i(−2−√
3)−2√ 3+i(√
3−2)
2 = −4i
2 =−2i=zF. Donc,
le pointFest le milieu du segment[CD].
c)
zC−zF
zA−zF
= 2√
3+i(−2−√ 3) +2i 1+2i = 2√
3−i√ 3
1+2i = −i√
3(1+2i) 1+2i
=−i√ 3.
zC−zF
zA−zF
=−i√ 3.
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De plus,−i√ 3=√
3(−i) =√ 3%
cos%
−π 2
&
+isin%
−π 2
&&
=√
3 e−iπ/2. Donc zC−zF
zA−zF
=√
3 e−iπ/2.
En particulier,%−→ FA,−→
FC&
= arg
!zC−zF
zA−zF
"
=−π
2 [2π]. On en déduit que la droite(AF) est perpendiculaire à la droite (FC).
En résumé, le pointFest le milieu du segment[CD]et la droite(AF)est perpendiculaire à la droite(FC). Par suite, la droite(AF)est la médiatrice du segment[CD].
3)On place les pointsAet Bpuis le pointF. On construit le cercle(C)de centreApassant parB. D’après la question 1)b), le pointD est sur ce cercle. Comme le pointAest sur la médiatrice du segment[CD] d’après 2)c), le point Cest également sur ce cercle. On construit alors la perpendiculaire(∆)à la droite(AF)enF. Toujours d’après 2)c), les points CetD sont également sur cette droite et sont donc les points d’intersection de(∆)et de(C). Enfin, le pointCest celui des deux points obtenus qui a la plus grande abscisse.
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
A
B
F D
C
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