D233. Carrés en cascade
Sur les côtés AB, BC et AC d'un triangle ABC, on construit respectivement les carrés intérieurs ABDE, BCFG et ACHI dont les centres sont les points J,K et L. On désigne par M,N et P les milieux des segments BC, DH et EI. Le point Q est le symétrique de N par rapport à EI.
Démontrer que les quadrilatères JMLP, BNCK et ENIQ sont tous trois des carrés.
Nota : le carré ABDE (et alii) est dit intérieur si les trois points C,D et E sont du même côté par rapport à AB
Soient (0,0), (, 0) et (, ) les coordonnées des points , avec , , > 0. On a immédiatement pour faire le carré ∶ (0, ) et (, ).
Les coordonnées (, ) du point sont données par : . = 0
= ⇒ !( − )( − ) + ( − )( − 0) = 0 ( − )$+ ( − )$ = ( − )$+$
< ⇒ & = − & = + − Les coordonnées (, ) du point ' sont données par :
'. = 0
' = ⇒ !( − )( − ) + ( − 0)( − 0) = 0 ( − )$+ ( − 0)$ = ( − )$+$
< ⇒ ( = − ( = − Les coordonnées (, ) du point ) sont données par :
). = 0
) = ⇒ !( − )( − 0) + ( − )( − 0) = 0 ( − )$+ ( − )$ = $+$
> ⇒ * = + * = − Les coordonnées (, ) du point + sont données par :
+. = 0
+ = ⇒ ,( − 0)( − 0) + ( − 0)( − 0) = 0 ( − 0)$+ ( − 0)$ = $+$
< - ⇒ . = . = −
On calcule maintenant les coordonnées des centres /, 0 et 1 des carrés , ' et )+, qui sont les milieux des diagonales :
2 =3 + 4
2 =0 + 2 =
2 et 2 =3+ 4
2 =0 + 2 =
2 6 =7+ &
2 = + −
2 et 6 = 7+ &
2 =0 + + −
2 = + − 2 8 =3+ *
2 = 0 + +
2 = +
2 et 8 =3+ *
2 =0 + −
2 = − 2 Puis les coordonnées des points 9, : et ; milieux des segments , ) et + :
< =7+ =
2 = +
2 et < =7+ =
2 = 0 + 2 =
2 > =4 + *
2 = + +
2 et >= 4+ *
2 = − + 2 ? = @+ .
2 = 0 + 2 =
2 et ? = @ + .
2 = − 2 Puis les coordonnées (, ) du point A, symétrique de : par rapport à + : LCéquation de la droite + passant par (0, ) et (, −) est ∶ = − +
+ LCéquation des droites orthogonales à + sont ∶
+ + R On détermine R pour celle qui passe par : U + +
2 , − + 2 V on trouve =
+ −−$+ $+ $ 2( + )
Les coordonnées de l'intersection ;′ des droites + et A: est fournie par :
− +
+ =
+ −−$+ $+ $
2( + ) qui donne ?C= ? =
2 et ?C = ? = − 2 On trouve enfin les coordonnées du point Q avec A; = ;:
A;′ = ;′:⇒ X
2 − = + + 2 − − 2
2 − = − +
2 − − 2
⇒ XY = − − 2 Y = − −
2
Il ne reste plus qu'à vérifier que les quadrilatères /91;, :0 :+A possèdent chacun quatre cotés égaux et un angle droit.
/91;
/9$ = Z<− 2[$+ Z< + 2[$ = $+ ( − )$ 4 /9$ = 91$ = 1;$ = ;/$ =$+ ( − )$
4
/9. 91 = Z<− 2[(8− <) + Z<− 2[(8− <) =
2 . −
2 + − 2 .−
2 = 0
:0
:$ = :$ = 0$ = 0$ =$+ ( − )$ 2
:. : = (>− 7)(=− >) + (>− 7)(=− >) = + −
2 . − −
2 + − +
2 . + − 2 = 0
:+A
:$ = :+$ = +A$ = A$ = $+ ( + )$ 2
:. :+ = (>− @)(.− >) + (>− @)(.− >) = + +
2 . − −
2 + − −
2 .− − − 2 = 0
