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Soit a, b, c les affixes de A, B, C. Soit z

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Academic year: 2022

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Soit a, b, c les affixes de A, B, C. Soit z0 l'affixe du point P, z1 celle du point P1, etc.

Pour tout indice k on a :

z3k + 1 = (z3k + a)/2 ; z3k + 2 = (z3k + 1 + b)/2 ; z3k + 3 = (z3k + 2 + c)/2 ; Cela donne en particulier :

z3(k + 1) = (((z3k + a)/2 + b)/2 + c)/2 = z3k /8 + a/8 + b/4 + c/2 que l'on peut aussi écrire :

z3(k + 1) – (a + 2b + 4c)/7 = [z3k – (a + 2b + 4c)/7] / 8 .

Cela prouve que la suite Zk = [z3k – (a + 2b + 4c)/7] est une suite géométrique qui tend vers 0, et donc que la suite z3k tend vers (a + 2b + 4c)/7.

En permutant les sommets (et en changeant au besoin les valeurs initiales) on voit que la suite z3k + 1 tend vers (b + 2c + 4a)/7 et que la suite z3k + 2 tend vers (c + 2a + 4b)/7 . On notera que ces trois suites ten- dent vers leur limite sur trois lignes droites parallèles. La suite zn complète tourne asymptotiquement au- tour du triangle dont les sommets sont marqués en rouge sur la figure.

Références

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