D 2907 Un classique pour les minima Solution proposée par Pierre Renfer
On choisit comme unité de longueur le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD.
On choisit un repère orthonormé, d'origine le centre O du cercle .
Les sommets A, B, C, D ont des affixes complexes a, b, c, d, de module 1.
Soit Z le point qu'on projette en P, Q, R, S sur [AB], [BC], [CA], [AD].
Soient P', Q', R', S' les symétriques de Z par rapport à [AB], [BC], [CA], [AD].
Le problème revient à minimiser le périmètre du quadrilatère P'Q'R'S', qui est le double de celui du quadrilatère PQRS.
Si U et V sont des points du cercle , d'affixes u et v, de module 1, l'expression analytique de la symétrie par rapport à la droite (UV) est : z'uvzuv
Si Z a pour affixe z, les points P', Q', R', S' ont donc pour affixes :
a d z da s'
d c z cd r'
c b z bc q'
b a z ab p'
On obtient : p'q'(ac)(bz1) et P'Q' ac bz1 aczb ACBZ Par permutation circulaire sur a, b, c, d, on obtient le périmètre L du quadrilatère P'Q'R'S' :
) AZ CZ ( BD ) DZ BZ ( AC AZ DB DZ CA CZ BD BZ AC
L
La somme BZ+DZ est minimale si Z appartient à [BD].
La somme CZ+AZ est minimale si Z appartient à [AC].
Le périmètre L est donc minimal si Z est le point d'intersection des diagonales (AC] et [BD].
![† † † † † † * † * † z 2 2 † []= () Q Q S P P R ( R ) []= [] []= [] Δ Δ Δ Q Q P Δ P 1 () () Er z z Q , P , t 2 i a A A R R ( ( R R , , ) ) = R SaS , S ( R = ) a + R , a , A ( R ) = Sa S = a + a ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ () Q = a + a (partie réelle de l'amplitude) i ⎡⎣⎤⎦ A ,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)