a. Domaineassoiéeàunefontionpositive.
LedomaineDdélimitéparlaourbeCf,l'axedesabsisses,
et lesdroitesd'équationsx=aetx=best appelé domaine
assoiéàune fontionpositivesur[a;b].
D={M(x;y) tels quea6x6bet 06y6f(x)}
Unitéd'aire:
0
unit´e d′aire 1
1 0
y=f(x)
D
a b
Exemple :
b. Intégraled'unefontionontinuepositive.
Dénition :Soitf unefontionontinue etpositivesur[a;b]avea6b.
Onappelleintégrale de aà b de lafontion f l'airedudomaineassoié à f sur[a;b],expriméeenunitéd'aire.
Cenombreestnoté
Z b
a
f(x)dx
∗ Z b
a
f(x)dxselit"intégraledeaàbdef(x)dx".
∗ aetb sontlesbornesde l'intégrale.
∗ lalettrexdansl'intégralepeutêtreremplaéepart,s,....,'estunevariablemuette.
desorteque:
Z b
a
f(x)dx= Z b
a
f(t)dt
Exemple : Caluler
Z 1
−12
2x+ 1 dxpuis Z b
a
mdxoùm∈R+
. Valeurmoyenned'unefontionontinuepositive.
Dénition :Soitf unefontionontinue etpositivesur[a;b]avea6b.
Lavaleurmoyennedelafontionf sur[a;b]estleréel: m= 1
b−a Z b
a
f(t)dt(1)
Interprétation graphique : On a vu que
Z b
a
m dx = m(b−a) don d'après la relation (1), on a
égalementm(b−a) = Z b
a
f(t)dt don Z b
a
m dx= Z b
a
f(t)dt. Ce qui signieque l'airedudomaine
assoiéàf sur[a;b] estégaleàelleduretanglededimensionsb−aet m.
0 a b m
Cf
d. Extensionauxfontionsdesignequelonque.
f estune fontionontinuesur[a, b]avea6b.
On appelle intégrale de a à b de f le nombre
dénidelafaçonsuivante:
∗ Sif est négativesur[a, b]: Z b
a
f(s)ds=−aire(D)
∗ Sif est designe quelonquesur[a, b] : Z b
a
f(s)ds = −aire(D1) + aire(D2)−aire(D3) + aire(D4)−aire(D5)
0
Cf
b a
D
0
Cf
b a
D1
D2
D3
D4
D5
2. Primitives d'unefontion
a. Primitive.
Dénition :Soitf unefontiondéniesurunintervalleI.Onappelleprimitivedef sur I toutefontionF dérivablesurI vériantpourtoutxdeI :
F′(x) =f(x)
Exemples :
Détermineruneprimitivedesfontionssuivantes déniessurR:
f :x7−→x g:x7−→x3 h:x7−→xn (n∈N)
Primitivesdesfontionssuivantes déniessur]0; +∞[: f :x7−→ 1
√x g:x7−→ 1
x h:x7−→e−x
b. Ensembledeprimitives.
Théorème:Soitf unefontionadmettantune primitiveF surunintervalleI.
Quelquesoit k∈R,lafontionG:x7−→F(x) +kestaussiuneprimitivedef sur I.
Touteprimitivedef surIs'obtientenajoutantuneonstanteréelleàuneprimitive
quelonquedef.
~i
~j
intervalleI
0 CF
primitivesdef surI
. Primitiveet onditioninitiale.
Théorème:Soitf unefontionadmettantdesprimitivessurunintervalleI.
Soitx0 unréeldeI ety0unréelquelonque.
AlorsilexisteuneuniqueprimitiveF def surI vériantlaonditionF(x0) =y0.
Tradutiongraphique :
Exerie: Soitaunnombreréel.OndénitlafontionH sur[0; +∞[parH(x) =2 3x√
x+a.
Prouverque H est une primitivede x7−→ √
x sur [0; +∞[. Déterminerla primitive de lafontion
rainearréequi vaut1en1.
d. Intégraleetprimitive.
Théorème:Soitf unefontionontinuesurunintervalleI etaunnombredeI.
LafontionF :x7−→
Z x
a
f(t)dtest uneprimitivedef surI.
C'est l'uniqueprimitivedef qui s'annuleena.
onséquene: ToutefontionontinuesurunintervalleI admetdesprimitivessurI.
e. Théorèmefondamentaldualulintégral.
Théorème: Soit f une fontion ontinue sur unintervalle I ontenant a et b. On ale
résulatapitalsuivant:
Z b
a
f(t)dt=F(b)−F(a)oùF estuneprimitivequelonquedef surI.
Exemple : Caluler
Z π
0
sin(u)du
f. Tableauxdeprimitives.
Fontion Uneprimitive Commentaires
x7−→a(aréel)
x7−→xα (αréel,α6=−1) x7−→ 1
x x7−→ex x7−→sinx x7−→cosx
Fontion Uneprimitive Commentaires
au′(aréel) u′+v′ u′eu
u′uα (α6=−1) u′
uu′ u
Exerie: CalulerI= Z e2
e
1
tlntdt etK= Z 1
0
sp
s2+ 1ds
3. Propriétésde l'intégrale
a. Propriétés.
Soitf etg deuxfontionsontinuessurunintervalleIontenantaet b.
◮ PourtoutadeI : Z a
a
f(t)dt= 0
◮ Pourtousa,bet cdeI : Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt= Z b
a
f(t)dt
◮ Si a6b : Z b
a
f(t)dt=− Z a
b
f(t)dt
◮ αetβ deuxréels: Z b
a
[αf(t) +βg(t)]dt=α Z b
a
f(t)dt+β Z b
a
f(t)dt
Exemple : Caluler
Z 1
0
5e2x+ 3xex2dx
b. Intégraleset inégalités.
f g [a, b] a6b
◮ Positivité:Sif >0 sur[a, b],alors:
a
f(t)dt>0.
◮ Intégrationd'uneinégalité:Sif >g sur[a, b],alors: Z b
a
f(t)dt>
Z b
a
g(t)dt.
◮ Inégalitésdelamoyenne:
• Sipourtout xde[a, b],m6f(x)6M alorsm(b−a)6 Z b
a
f(t)dt6M(b−a)
• Sipourtout xde[a, b],|f(x)|6M alors
Z b
a
f(t)dt
6M(b−a)
Exerie: Étudierlalimitedelasuite(un)dénieparun= Z n+1
n
e
−s
ds
Exerie : Onpose,pourn>1,In = Z 1
0
tne−tdt
SansalulerIn :
i. Étudierlesensdevariationdelasuite(In);
ii. Déterminer,àl'aided'unenadrement,lalimitedelasuite(In).
4. Intégration par parties
a. Prinipe.
Théorème: Soit u et v deux fontions dérivables sur un intervalle [a, b] admettant des
dérivéesontinues.Onalerésultatsuivant:
Z b
a
u(t)v′(t)dt= [u(t)v(t)]ba− Z b
a
u′(t)v(t)dt
b. Utilisations.
Ellessontnombreuses,envoiiquelquesexemples:
∗ Intégralesavefontionsansprimitive"évidente"−→CalulerI= Z π2
0
tsintdt
∗ Trouverdenouvellesprimitives−→CalulerI= Z x
1
lntdtpuisJ = Z x
0
(t+ 1)etdt
∗ Obtenir des relationsde réurrene−→ onpose In = Z e
1
x(lnx)ndx, n∈ N. Exprimer In+1 en
fontiondeIn.CalulerI0 puisIn pourn64.
5. Calul d'aires et devolumes
Théorème: Soit f et g deux fontions
ontinuessurI,aetb deuxréelsdeItels
quea6b.
Lorsquef 6gsur[a, b],l'airedudomaine D délimité par les ourbes Cf et Cg et
les droites d'équations x= aet x= b se
aluleave:
aire(D)=
Z b
a
(g(t)−f(t))dt
~i
~j
0 a b
Cg
Cf
D
Exemple : Airedudomaineentre lesourbesreprésentativesdesfontionssinus et osinus et lesdroites
d'équationsx= 0 etx=π.
~i
~j
0
~j
~k
~i0
b
oteb
b
otea
bt
Plan:z=t SetionS(t)
Soit un solide délimité par les plans d'équations
respetivesz=aetz=b.
Tout plan d'équationz = t, ave t ∈[a, b] oupe e
solidesuivantunesetiond'aireS(t),enunitésd'aire.
LorsqueS est une fontionontinue de t, onadmet
quelevolumeV dusolideest, enunitésdevolume: V =
Z b
a
S(t)dt
Appliation: Volumed'uneboulederayonR.
