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Si Z b a g(t)dt est convergente, alors Z b a f(t)dt aussi

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Academic year: 2022

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MATHEMATIQUES Interro 5 - durée : 15’

ECE 2 11 janvier 2021

1. Soitf etgdes fonctions continues (par morceaux), positives sur[a;b[.

On suppose que f(t) =

b o(g(t)). Alors : a. Si

Z b a

g(t)dt est convergente, alors Z b

a

f(t)dt aussi.

b. Si Z b

a

f(t)dt est divergente, alors Z b

a

g(t)dt aussi.

2. Une fonctionf est une densité si, et seulement si, les trois points suivants sont vérifiés : a. f est positive surR

b. f est continue surR, SNFP c.

Z +∞

−∞

fX(x)dx= 1

3. Soitx>1.f est nulle en dehors de[1; +∞[, donc on a :

FX(x) = Z x

−∞

f(t)dt= Z x

1

f(t)dt= Z x

1

dt t2 =

−1 t

x 1

= 1− 1 x . 4. Xest bornée donc admet une espérance.

fX est nulle en dehors de[a;b], donc :

E(X) = Z b

a

xfX(x)dx= 1 b−a

Z b a

xdx= 1 b−a

x2 2

b a

= b2−a2

2(b−a) = a+b 2 .

5. La fonction intégrée est continue sur]0; 1]comme produit de fonctions qui le sont (ln et polynômes).

Soitx∈]0; 1]. On a, par IPP : Z 1

x

t2ln(t)dt= t3

3 ln(t) 1

x

− Z 1

x

t3 3 ×1

tdt=−x3

3 ln(x)− Z 1

x

t2

3dt=−x3

3 ln(x)− t3

9 1

x

=−x3

3 ln(x)−1 9 +x3

9 −→

x→0−1

9 (croissances comparées notamment).

Donc, I =−1 9 .

ECE 2 1/1 Lycée François Couperin

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