NOM : Prénom :
MATHEMATIQUES Interro 5 - durée : 15’
ECE 2 11 janvier 2021
1. Soitf etgdes fonctions continues (par morceaux), positives sur[a;b[.
On suppose que f(t) =
b o(g(t)). Alors : a. Si
Z b a
g(t)dt est convergente, alors Z b
a
f(t)dt aussi.
b. Si Z b
a
f(t)dt est divergente, alors Z b
a
g(t)dt aussi.
2. Une fonctionf est une densité si, et seulement si, les trois points suivants sont vérifiés : a. f est positive surR
b. f est continue surR, SNFP c.
Z +∞
−∞
fX(x)dx= 1
3. Soitx>1.f est nulle en dehors de[1; +∞[, donc on a :
FX(x) = Z x
−∞
f(t)dt= Z x
1
f(t)dt= Z x
1
dt t2 =
−1 t
x 1
= 1− 1 x . 4. Xest bornée donc admet une espérance.
fX est nulle en dehors de[a;b], donc :
E(X) = Z b
a
xfX(x)dx= 1 b−a
Z b a
xdx= 1 b−a
x2 2
b a
= b2−a2
2(b−a) = a+b 2 .
5. La fonction intégrée est continue sur]0; 1]comme produit de fonctions qui le sont (ln et polynômes).
Soitx∈]0; 1]. On a, par IPP : Z 1
x
t2ln(t)dt= t3
3 ln(t) 1
x
− Z 1
x
t3 3 ×1
tdt=−x3
3 ln(x)− Z 1
x
t2
3dt=−x3
3 ln(x)− t3
9 1
x
=−x3
3 ln(x)−1 9 +x3
9 −→
x→0−1
9 (croissances comparées notamment).
Donc, I =−1 9 .
ECE 2 1/1 Lycée François Couperin