D125. Avec trois pièces de monnaie et quelques allumettes Solution proposée par Philippe Bertran

D125. Avec trois pièces de monnaie et quelques allumettes Solution proposée par Philippe Bertran

Soient D et D’ les centres des cercles circonscrits à ABC et A’B’C’.

Pour démontrer que M est le milieu du segment DD’, nous allons utiliser la méthode suivante :

1. On démontrera que le projeté de M sur AB est le milieu du projeté du segment DD’

sur AB.

2. Le même raisonnement permettra d’affirmer que le projeté de M sur AC est le milieu du projeté du segment DD’ sur AC.

3. Il en résultera que les projetés de M sur les droites concourantes AB et AC sont confondus avec les projetés du milieu de DD’, ce qui permet de conclure de façon quasi évidente que M et le milieu de DD’ sont confondus.

Toute la difficulté réside donc dans le point 1.

Appelons :

T1 et T2 les points de tangence de la droite AB et des cercles de centres O1 et O2 , qui sont aussi les projetés de O1 et O2 sur AB

E et E’ les projetés de D et D’ sur AB R et S les projetés de A’ et B’ sur AB M3 le projeté de M sur AB.

Les quatre tangentes communes aux cercles de centres O1 et O3 définissent un losange de centre O1. Donc O1 est le milieu de AA’ et, par projection sur AB, T1 est le milieu de AR, d’où ET1 = (EA + ER)/2 [les caractères gras indiquent des vecteurs].

De même, ET2 = (EB + ES)/2

Les cercles de centres O1 et O2 sont symétriques par rapport à MM3 donc M3 est le milieu de T1T2, d’où EM3 = (ET1 + ET2)/2 soit, compte tenu des deux équations précédentes, EM3 = (EA + EB + ER + ES)/4 (1)

Or EA + EB = 0 puisque E est le milieu de AB (pied de la hauteur du triangle isocèle DAB).

L’égalité (1) devient donc EM3 = (ER + ES)/4 (2)

D’autre part, E’ est le milieu de RS puisque D’E’, perpendiculaire à AB et à A’B’ est hauteur et médiatrice du triangle isocèle D’A’B’ et donc médiatrice de RS.

Donc EE’ = (ER + ES)/2 (3)

Les égalités (2) et (3) entraînent EM3 = EE’/2 donc M3 est le milieu de EE’

(CQFD)