D125 : Avec trois pièces de monnaie et quelques allumettes
Posez trois pièces de monnaie identiques de centres O1 ,O2 et O3 sur une table plane de telle sorte qu’elles se recouvrent partiellement avec un seul point commun M. Avec des allumettes, tracez les tangentes qui touchent deux pièces sans couper la troisième et déterminent un triangle ABC à l’intérieur duquel se trouvent les trois pièces. Tracez enfin les tangentes à deux pièces qui sont parallèles aux précédentes et déterminent un triangle A’B’C’.
Démontrez que le segment qui relie les centres des cercles circonscrits à ABC et A’B’C’ a pour milieu M et passe par le centre du cercle inscrit au triangle .
Soit R le rayon des trois pièces, et du cercle circonscrit à O1O2O3, dont le centre est M.
Les tangentes AB et A’B’ sont parallèles à la ligne des centres O1O2 et de même pour les autres. Il en résulte que si I est le centre du cercle inscrit dans O1O2O3, de rayon r (r<R), I est à la distance R+r de AB, BC, CA, et à la distance R-r de A’B’, B’C’, C’A’. I est donc le centre des cercles inscrits dans OO2O3, ABC, et A’B’C’. On passe donc de O1O2O3 à ABC par une homothétie H de centre I de rapport 1+r/R, et à A’B’C’ par une homothétie H’ de centre I de rapport -1+r/R. Il en résulte que tout point P est le milieu du segment d’extrémités ses transformés H(P) et H’(P); en particulier M centre du cercle circonscrit à O1O2O3 est le milieu du segment d’extrémités les centres des cercles circonscrits à ABC et A’B’C’; de plus ce segment contient le centre
d’homothétie I, centre des cercles inscrits.
