Enonc´e A467 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Il s’agit de r´esoudre, avecN premier eta, b, c entiers, les ´equations a2+b2 =c2, abc= 348960150N.
La premi`ere se r´esout classiquement en simplifiant la fraction
(c−a)/b = b/(c+a) = m/n, irr´eductible. On peut y supposer (quitte `a
´echanger a et b) que m et n, premiers entre eux, sont de parit´e contraire.
On en tire ensuite
a
n2−m2 = b
2mn = c
m2+n2 =d, entier, car les d´enominateurs sont premiers entre eux.
On est donc ramen´e `a r´esoudre
2mn(n−m)(n+m)(n2+m2)d3 = 348960150N = 2·35·52·7·11·373·N.
Commemounest pair, on a besoin de facteurs 2 suppl´ementaires au second membre, qui ne peuvent venir que deN, doncN = 2.
Il reste `a trouverm etnv´erifiant
mn(n−m)(n+m)(n2+m2)d3 = 2·35·52·7·11·373.
Observons que 373 est premier. Le premier membre est ≥mn4d3 > m5d3. Comme 3734 >1010, 373 ne peut diviser nin, nim, nin−m(car on aurait n >373), nid(car l’exposant de 373 est 1, non 3). Donc 373 divisen2+m2. Comme 373 = 182+ 72, on est conduit `a essayer n = 18, m= 7 qui donne d= 3, puisa= 825, b= 756, et la hauteur (et diagonale de la base)c= 1119.
Se pourrait-il quen2+m2soit un multiple (impair) de 373 :n2+m2 = 373q? Le facteur q, diviseur d’une somme de deux carr´es premiers entre eux, est lui-mˆeme de cette forme, ce qui exclut les facteurs premiers 3, 7, 11. Comme qdivise 348960150/373, il ne peut prendre que les valeurs 5 ou 25. Toutes les valeurs den, m, n−m, n+m qui en d´ecoulent font apparaˆıtre des facteurs premiers autres que ceux de 348960150, ainsi qu’il ressort du tableau ci- dessous.
q n m n−m n+m
5 32 29 3 61
43 4 39 = 3·13 47
25 82 = 2·41 51 = 3·17 31 133 = 7·19 93 = 3·31 26 = 2·13 67 119 = 7·17 La seule solution est donca= 825, b= 756, c= 1119.
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