(1)Enonc´e noA470 (Diophante) Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) Quatuors avec 1 comme chiffre des unit´es

Enonc´e n^oA470 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) Quatuors avec 1 comme chiffre des unit´es.

On a ´evidemment le quatuor (1,1,1,1) qui satisfait la relation donn´ee.

Ayant un quatuor satisfaisant, je peux consid´erer la relation comme une

´equation du second degr´e en a. Elle admet les racines aet 4bcd−a.

Je note t₁ la transformation qui fait passer de (a, b, c, d) `a (4bcd−a, b, c, d) et de mˆeme

t2 qui donne (a,4acd−b, c, d) `a partir de (a, b, c, d), t₃ qui donne (a, b,4abd−c, d),

t₄ qui donne (a, b, c,4abc−d).

Appliquantt1`a (1,1,1,1), j’obtiens (3,1,1,1). Appliquer `a nouveaut1ram`e- nerait au quatuor pr´ec´edent. Appliquer une ou plusieurs des autres trans- formations conserve `a 1 le chiffre des unit´es du terme modifi´e, car 4a a 2 comme chiffre des unit´es. Par exemple t2 donne (3,11,1,1), puis t3 donne (3,11,131,1). Si j’applique alors t₁, j’obtiens (5761,11,131,1), o`u tous les chiffres des unit´es sont 1. Mais si j’appliquet<sub>1</sub>apr`est₂(sans utilisert₃), j’ob- tiens (41,11,1,1) avec la mˆeme propri´et´e. On voit qu’une s´equence d’op´erations qui revient `a la premi`ere transformation utilis´ee r´etablit `a 1 les chiffres des unit´es des 4 termes.

A condition de ne pas utiliser la mˆeme transformation deux fois de suite, chaque op´eration augmente un des termes du quatuor, donc le processus peut se poursuivre ind´efiniment et fournit une infinit´e de quatuors satisfaisants et distincts, avec des 1 comme chiffres des unit´es.

2) Quatuors avec un terme multiple de 5

Montrons d’abord que tout quatuor (a, b, c, d) satisfaisant l’´enonc´e peut ˆetre obtenu par le proc´ed´e du paragraphe 1.

Si a = b = c = d, la relation de l’´enonc´e donne 4a² = 4a⁴, et le quatuor correspondant est (1,1,1,1).

Supposons maintenant min(a, b, c, d) < max(a, b, c, d), et par exemple a ≤ b≤c≤d. Consid´erons le trinˆome

f(x) =x²−4abcx+a²+b²+c².

Il admet pour racine r´eellex=d, donc aussix=d⁰ avecdd⁰=a²+b²+c² >

0,d+d⁰ = 4abc.

On a f(c) =a²+b²+ 2c²−4abc² ≤4c²(1−ab)≤0.

Sif(c)<0, c’est quec s´epare det d⁰. Alors le quatuor (a, b, c, d⁰) est satis- faisant et v´erifie

max(a, b, c, d⁰) =c < d= max(a, b, c, d).

Tant quef(c)<0, on forme ainsi une suite de quatuors

– dont chacun s’obtient en appliquant au suivant une transformationti,

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– et dont les plus grands termes vont en d´ecroissant strictement. S’agissant d’entiers, cette “descente” (comme disait Fermat), ne peut se poursuivre ind´efiniment.

On finit donc par arriver, – soit `a a=b=c=d= 1,

– soit `a f(c) = 0 ; alors 4c<sup>2</sup>(1−ab) = 0, a= b= 1 et f(c) = 2−2c<sup>2</sup> d’o`u c= 1, puisf(x) =x²−4x+ 3 etd= 3. Or le quatuor (1,1,1,3) r´esulte de la transformationt4 appliqu´ee `a (1,1,1,1).

Ainsi tout quatuor peut ˆetre obtenu `a partir de (1,1,1,1) par une succession de transformationst_i, et on a vu qu’alors au moins 3 termes avaient 1 comme chiffres des unit´es, le 4e ´etant 1 ou 3.

Un entier multiple de 5 ayant 0 ou 5 comme chiffre des unit´es, aucun d’eux ne peut figurer dans un quatuor. CQFD.

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