Enonc´e G113 (Diophante) Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) De mani`ere g´en´erale, la longueur

Enonc´e G113 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

1) De mani`ere g´en´erale, la longueur ` de la suite (s’arrˆetant au premier terme ´egal `a 1) est une variable al´eatoire li´ee `a la variable al´eatoire u_n par Pr(` > n) = Pr(un > 1). Son esp´erance math´ematique est (en supposant u1 >1, d’o`u ` >1)

∞

X

n=2

n(Pr(` > n−1)−Pr(` > n)) =

∞

X

n=2

n(Pr(un−1>1)−Pr(un>1))

= 2 +

∞

X

n=2

Pr(u_n>1) en regroupant les termes.

2) Soit p un diviseur premier de u1 = N, et a son exposant dans u1. La suite de nombres PGCD(p^a, u_n) est une suite al´eatoire au comportement identique `a la suite obtenue `a partir de u1 =p^a, car les diviseurs deN sont

´egalement r´epartis selon la valeur (de 0 `a a) de l’exposant de p dans leur d´ecomposition.

Sip₁, . . . , p_ksont les diviseurs premiers deu₁, avec`<sub>1</sub>, . . . , `_k pour longueur des suites correspondant `ap<sup>a</sup><sub>1</sub><sup>1</sup>, . . . , p<sup>a</sup><sub>k</sub><sup>k</sup> comme terme initial, la longueur de la suite commen¸cant paru<sub>1</sub>est max<sub>i</sub>`_i. Les`_isont des variables ind´ependantes et on a, pour utiliser la formule du paragraphe 1,

Pr(u_n>1) = 1−Pr(u_n= 1) = 1−^Y

i

Pr(`_i ≤n) = 1−^Y

i

(1−Pr(`<sub>i</sub> > n)) Le probl`eme sera compl`etement r´esolu quand on aura d´etermin´e Pr(` > n) dans la suite de premier terme p^a. Nous le ferons dans le cas g´en´eral au paragraphe 5.

3) Sia= 1, on a Pr(` > n) = Pr(u_n >1) = (1/2) Pr(un−1 >1) = 2¹⁻ⁿ par une r´ecurrence imm´ediate.

Ainsi, si u1 a k diviseurs premiers et n’est pas divisible par un carr´e (tous exposants = 1), on a

Pr(un>1) = 1−(1−2¹⁻ⁿ)^k =

k

X

m=1

C_k^m2^(1−n)m(−1)^m−1 d’o`u on tire l’esp´erance

2 +

k

X

m=1

C_k^m(−1)^m−1 2^m−1

1

Premi`eres valeurs num´eriques

k esp´erance plus petit u1

1 3 2

2 11/3 = 3,666666. . . 6 3 29/7 = 4,142857. . . 30 4 473/105 = 4,504731. . . 210 5 3121/651 = 4,794162. . . 2310 6 9833/1953 = 5,034818. . . 30030

30 est le premier entier de cette classe tel que la longueur de la suite ait une esp´erance>4, et 30030 le premier dont l’esp´erance d´epasse 5.

4) Sia >1 et k= 1, l’esp´erance est accessible par un raisonnement direct.

E(p^a) = 1 + 1

a+ 1E(p^a) + ^X

1≤b<a

1

a+ 1E(p^b)

= 1 + 1

a+ 1E(p^a) + a a+ 1

E(p^a−1)−1 d’o`u

E(p^a) =E(p^a−1) + 1

a = 2 + 1 1+1

2 +. . .+ 1 a car on a vu au paragraphe pr´ec´edent queE(p) = 3.

Premi`eres valeurs num´eriques

a esp´erance plus petitu₁

1 3 2

2 7/2 = 3,5 4

3 23/6 = 3,833333. . . 8

4 49/12 = 4,083333. . . 16

. . . .

9 12169/2520 = 4,828968. . . 512 10 12421/2520 = 4,928968. . . 1024 11 139151/27720 = 5,019877. . . 2048

16 est le premier entier de cette classe tel que la longueur de la suite ait une esp´erance>4, et 2048 est le premier dont l’esp´erance d´epasse 5.

5) Soitu1=p^a, (a >1).

Pr(u_n=p^a) = 1

a+ 1Pr(un−1 =p^a) =. . .= (a+ 1)¹⁻ⁿ par une r´ecurrence imm´ediate, car Pr(u₁ =p^a) = 1.

Pr(un=p^a−1) = 1

a+ 1Pr(un−1=p^a) + 1

aPr(un−1 =p^a−1) qui se r´esout en

2

Pr(un=p^a−1) +a(a+ 1)¹⁻ⁿ= 1 a

Pr(un−1 =p^a−1) +a(a+ 1)²⁻ⁿ=

=. . .=a¹⁻ⁿPr(u1 =p^a−1) +a=a²⁻ⁿ et Pr(un=p^a−1) =a a¹⁻ⁿ−(a+ 1)¹⁻ⁿ.

On obtient de mˆeme, `a l’´etape suivante, Pr(u_n=p^a−2) = a(a−1)

2

(a−1)¹⁻ⁿ−2a¹⁻ⁿ+ (a+ 1)¹⁻ⁿ

On reconnaˆıt les coefficients du binˆome, et on voit que ces probabilit´es peuvent s’exprimer, pour k= 0, 1, 2, sous la forme d’une int´egrale

Pr(un=p^a−k) =C_a^k Z ∞

0

(e^t−1)^ke^−(a+1)t tⁿ⁻² (n−2)!dt

On v´erifie sans difficult´e, par int´egration par parties, que cette expression satisfait la relation de r´ecurrence des probabilit´es, qui peut s’´ecrire

Pr(un=p^a−k−1) = 1

a−kPr(un−1 =p^a−k−1) + Pr(un=p^a−k) (en effet, les exposants≥a−k de l’´etapen−1 contribuent autant `a a−k qu’`a a−k−1 `a l’´etapen). On en tire (faisantk=a)

Pr(u_n= 1) = Z ∞

0

(e^t−1)^ae^−(a+1)t tⁿ⁻² (n−2)!dt Ainsi

Pr(`≤n) = Z ∞

0

(1−e^−t)^ae^−t tⁿ⁻² (n−2)!dt puis en d´eveloppant le binˆome et int´egrant terme `a terme

Pr(`≤n) =

a

X

k=0

C_a^k(−1)^k(k+ 1)¹⁻ⁿ

soita+ 1 termes, qui peuvent ˆetre mis en correspondance avec les diviseurs p^k de p^a.

6) Application

Selon les exposants des facteurs premiers deu1, les formules des paragraphes 2 et 5 permettent d’´ecrire Pr(u_n= 1) sous la forme ^P_mL_mm¹⁻ⁿ, et on en tire l’esp´erance = 2 +^P_mL_m/(m−1).

Cette somme s’obtient par le produit de sommes deai+ 1 termes. On peut mettre les termesL_men correspondance avec les diviseurs deu₁, de la fa¸con

3

suivante : sidest un diviseur (>1) o`up₁, . . . , p_k ont les exposantsb₁, . . . , b_k, il lui correspond la valeurm=^Q_i(bi+ 1) et la valeur

L_m=−^Y

i

C_a^bi_i(−1)^bi

Notant B l’ensemble des k-uplets (b_i) tels que 0 ≤b_i ≤a_i, avec ^P_ib_i >0, on a pour l’esp´erance la formule explicite

2−^X

B

Q

iC_a^bi_i(−1)^bi Q

i(b_i+ 1)−1

Quelques r´esultats (plusieurs facteurs premiers, pas tous d’exposant 1)

exposants esp´erance plus petitu1

2,1 121/30 = 4,033333. . . 12

3,1 901/210 = 4,290476. . . 24

2,2 521/120 = 4,341666. . . 36

2,1,1 10229/2310 = 4,428138. . . 60 4,1 5657/1260 = 4,489682. . . 48 3,2 42167/9240 = 4,563528. . . 72 3,1,1 10711/2310 = 4,636796. . . 120

5,1 64487/13860 = 4,652741. . . 96 2,2,1 734341/157080 = 4,674949. . . 180

4,2 16418/3465 = 4,738239. . . 144 3,3 44013/9240 = 4,763311. . . 216 6,1 287747/60060 = 4,790992. . . 192 4,1,1 252949/52668 = 4,802707. . . 240 3,2,1 193114251/39741240 = 4,859291. . . 360 5,2 575257/117810 = 4,882921. . . 288 7,1 176977/36036 = 4,911116. . . 384 4,3 216041/43890 = 4,922328. . . 432 5,1,1 10057153/2018940 = 4,981402. . . 480 6,2 255596/51051 = 5,006679. . . 576 4,2,1 387723863/82944785 = 5,007815. . . 720

Le plus petit entier tel que la longueur de la suite ait une esp´erance >4 est 12. En effet les entiers plus petits sont soit premiers (d’esp´erance 3), soit carr´es (4 et 9, d’esp´erance 7/2), soit produits de deux nombres premiers (6 et 10, d’esp´erance 11/3), soit cube (8, d’esp´erance 23/6).

On obtient le plus petit u₁, `a ensemble d’exposants donn´es, en associant les exposants en ordre d´ecroissant aux nombres premiers en ordre croissant

`

a partir de 2. Tous les entiers inf´erieurs `a 576 et remplissant cette condi- tion figurent dans l’un ou l’autre des tableaux pr´ec´edents, ce qui permet d’affirmer :

Le plus petit entier tel que la longueur de la suite ait une esp´erance >5 est 576.

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