Enonc´e E618 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note ak,i la i-i`eme boule dans la k-i`eme rang´ee : 1 ≤ k ≤ n, s’il y a n boules dans la premi`ere rang´ee ; 1≤i≤n+ 1−k.
Pour 1≤k < n,1≤i≤n−k, je consid`ere l’ensemble Ek,i={ak,i, ak,i+1, ak+1,i}
La r`egle de formation de la rang´eek+ 1 `a partir de la rang´ee kassure que Ek,i est soit monocolore, soit tricolore.
Je dirai qu’un ensemble de boules a la propri´et´e P si les nombres respectifs de boules bleues, rouges et vertes qu’il contient ont le mˆeme reste modulo 3.
On voit que lesEk,iont la propri´et´e P. Il en sera de mˆeme pour les ensembles form´es par la r´eunion d’un nombre quelconque d’ensemblesEk,i.
Je vais mettre dans cette r´eunion des copies deEk,i, en nombre rk,i = 0, 1 ou 2, d´efini par
rk,i= (−1)n−k−1Cn−k−1i−1 (mod 3)
de mani`ere `a faire disparaˆıtre (dans les restes modulo 3) les boules des rang´ees interm´ediaires.
En effet, pour 1 < k < n,1 < j ≤ n−k, la boule ak,j appartient aux 3 ensembles Ek−1,j, Ek,j, Ek,j−1 et par la r`egle de formation du triangle de Pascal
rk−1,j+rk,j+rk,j−1=
(−1)n−kCn−kj−1 + (−1)n−k−1Cn−k−1j−1 + (−1)n−k−1Cn−k−1j−2 = 0 (mod 3) De mˆeme, pour 1< k < n, la bouleak,1 appartient aux 2 ensembles Ek−1,1
etEk,1. La bouleak,n−k+1 appartient aux 2 ensemblesEk−1,n−k+1etEk,n−k; on a
rk−1,1+rk,1 =rk−1,n−k+1+rk,n−k = (−1)n−k+ (−1)n−k−1= 0 (mod 3) Dans la rang´ee n, la boule an,1 appartient `a En−1,1 dont rn−1,1 = 1 copie figure dans la r´eunion.
Dans la premi`ere rang´ee, pour 1 < i < n, la boule a1,i appartient aux 2 ensemblesE1,i−1 etE1,i; on a
r1,i−1+r1,i= (−1)n−2Cn−2i−2 + (−1)n−2Cn−2i−1 = (−1)nCn−1i−1 (mod 3) La boulea1,1appartient seulement `aE1,1pour lequelr1,1 = (−1)n (mod 3).
De mˆeme la boule a1,n appartient seulement `a E1,n−1 pour lequel r1,n−1 = (−1)n (mod 3).
Soitsi = (−1)nCn−1i−1 (mod 3). L’ensemble constitu´e de la boulean,1 et de si copies des boules a1,i (1≤ i≤ n) ne diff`ere de la r´eunion de rk,i copies de chaque Ek,i que par des boules en nombre multiple de 3 dans chaque
1
couleur. Il a la propri´et´e P, ce qui permet de d´eterminer la couleur de la boulean,1 en observant la composition de la premi`ere rang´ee.
L’algorithme est le suivant :
D´eterminer les nombres respectifs de boules bleues, rouges et vertes dans l’ensembleSconstitu´e desi copies des boulesa1,i(1≤i≤n) de la premi`ere rang´ee. La derni`ere boule est celle qu’il faut ajouter `a cet ensemble pour que ces nombres aient mˆeme reste modulo 3.
Remarquons que l’ensemble S peut toujours ˆetre compl´et´e de cette fa¸con.
En effet, X
i
(−1)nCn−1i−1 = (−1)n2n−1 = 2(−2)n−2= 2 =X
i
si (mod 3) ce qui ne laisse, comme triplets possibles de restes modulo 3, que : 2(+1),0,0 ; 1,1,0(+1) ; 2,2,1(+1).
L’indication (+1) montre `a quelle cat´egorie il faut ajouter une boule pour obtenir la propri´et´e P.
Ainsi, pour n = 16, les si non nuls sont 1 = s1 = s7 = s10 = s16 et 2 = s4 = s13. Cela fait, hors la boule de la 16e rang´ee, 2 boules bleues, 3 rouges et 3 vertes. Pour respecter la propri´et´e P, il faut que la boule de la derni`ere rang´ee soit bleue.
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