Radeava xai e ED2 dé

EDP2

Modélisation par

Eléments Finis

d'une poutre en traction

compression

Nicolas Bonneel et Elise Durand

4ème année Génie mathématique et modélisation

Année 2004-2005

Introduction 2

1 Calcul de la solutionexacte 3

2 Programme de résolution par éléments nis 6

2.1 Cas général . . . 6

2.2 Application ànotre poutre . . . 7

3 Conclusion 14

On cherche à résoudre un problème de poutre en traction-compression,

dont ledéplacement peutêtrecalculépar :

−(EAu ⁰ ) ⁰ (x) + c(x).u(x) = F (x)

Le problème étudié est une poutre unidimensionnelle composée de deux

matériaux distincts ayant des propriétés constantes, que l'on décomposera

enN éléments etpour lesquelson appliquera laméthodedes élémentsnis.

On comparera ensuite le résultat obtenu avec la solution analytique et on

calculera l'erreuret letauxde convergence dela méthode employée.

1 Calcul de la solution exacte

Le problème général s'écrit :

−(EAu ⁰ ) ⁰ (x) + c(x).u(x) = F (x)

Ainsi,on déduit lesdeuxéquations de notre problème:

−a 0 u ⁰⁰ = F 0

≤ L

2

a 1 u ⁰⁰ − c 1 u = 0

≥ L

2

L'équation (1)nouspermetd'écrire :

−a 0 u ⁰⁰ = F 0 ⇒ u ⁰ (x) = − ^F _a ⁰

0 .x + α

⇒ u(x) = − _2a ^{F 0}

0 .x ² + α.x + β

où

α

β

Lesconditions auxlimitesen x=0 etx=

L

2

u(0) = 0 ⇒ β = 0 u( ^L ₂ ) = − _8a ^{F 0}

0 .L ² + α. ^L ₂ ⇒ α = (Λ + _8a ^{F 0}

0 .L ² ). _L ²

Λ = u( ^L ₂ )

Onobtient donc :

u(x) = − F 0

2a ⁰ .x(x − L 2 ) + 2Λ

L .x

Pour

L

2 ≤ x ≤ L

a 1 u ⁰⁰ − c 1 u = 0 ⇒ u ⁰⁰ − _a ^{c 1}

1 .u = 0

⇒ u(x) = A.e q _c

1

a 1 + B.e ⁻ q _c

1 a 1

(4)

Détermination desconstantes

Pourdéterminerlesconstantesonutiliseleraccorddesforcesélastiques

enx=

L

2

x = L

Onobtient un systèmede 3équations à 3inconnues :

A.e q _c

1 a 1

L

2 + B.e ⁻ q _c

1 a 1

L

2 − Λ = 0 A.e

q _c

a 1 1 L

.(k + r c 1

a 1

.a 1 ) + B.e ⁻ q _c

a 1 1 L

(k − r c 1

a 1

.a 1 ) = 0

A.e q _c

1 a 1

L 2 .

r c 1

a 1

.a 1 − B.e ⁻ q _c

1 a 1

L 2 r c 1

a 1

.a 1 − Λ. 2a 0

L = − F 0 L 4

Cesystèmesera résolusousMatlab:

function [A B Lambda] = poutre_analytique(a0,a1,c0,c1,L,k,F0);

a=(c1/a1)^0.5;

M = [ exp(a*L/2) exp(-a*L/2) -1 ;

exp(a*L)*(k+a*a1) exp(-a*L)*(k-a*a1) 0 ;

a1*a*exp(a*L/2) -a1*a*exp(-a*L/2) -2*a0/L];

P = [ 0 ;

0 ;

-F0*L/4 ];

S = M\P;

A = S(1);

B = S(2);

Lambda = S(3);

On écrit ensuite un programme qui plotte la solution exacte de la

poutre:

L = 5;

k = 0.05;

a0 = 2;

a1 = 1;

c0 = 0;

c1 = 0.05;

F0 = -3;

n = 501;

x=linspace(0,L, n);

N0 = find(x<=L/2);

N1 = find(x>L/2);

v = zeros(size(x));

v(N0) = -F0*x(N0).*(x(N0)-L/2)./(2.*a0) + 2*Lambda.*x(N0)./L;

v(N1) = A*exp(a*x(N1)) + B*exp(-a*x(N1));

plot(x, v,'r');

Onobtient lerésultat suivant :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Fig. 1 Solution exacte

Onvoit qu'il existe un point d'inexion un peu avant le centre de la

poutre quiest le lieu de ladiscontinuité. Ceciseproduit parce quela

forceest transmise de la premiere poutre à la seconde poutre au lieu

deles déformerà leurinterface.

Demême,oncalculeladérivéeanalytiquement qu'onmultiplieparEA

pour avoirsigma, leseorts internes d'élasticité:

s = zeros(size(x));

s(N0) = (-F0*x(N0)./a0 + (Lambda + F0*L^2/(8*a0))*(2/L))*a0;

s(N1) = (A*a*exp(a*x(N1)) - B*a*exp(-a*x(N1)))*a1;

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

Fig.2 Eorts d'élasticité

2 Programme de résolution par éléments nis

2.1 Cas général

Pour obtenir ledéplacement u delapoutreauxpointsde discrétisation,

onrésoud lesystèmetridiagonal suivant :



















d 1 c 1

c 1 d 2 c 2

c 2 d 3

.

.

.

.

.

. .

.

.

c N − 1

c N − 1 d N

































 u 1

u 2

u 3

.

.

.

u N

















=















 b 1

b 2

b 3

.

.

.

b N

















avec pour e=1,...,(N-1) :

d e = ( ^{E [e −} _h ^{1] A [e − 1]}

e − 1 + ^{E [e]} _h ^{A [e]}

e ) + ( ^{c e−1/2} ₄ ^{h e−1} + ^{c e+1/2} ₄ ^{h e} ) d N = ^{E [N−1]} _h ^{A [N−1]}

N − 1 + ^{c N − 1/2} ₄ ^{h N−1} + k c e = − ^{E [e]} _h ^{A [e]}

e + ^{c e+1/2} ₄ ^{h e} b e = ( ^{F e−1/2} ₂ ^{h e−1} + ^{F e+1/2} ₂ ^{h e} ) b N = ^{F N−1/2} ₂ ^{h N − 1}

Pour cela,ona créélafonction Matlabsuivante:

de = zeros(1,N );

ce = zeros(1,N-1);

be = zeros(1,N );

de(1:N-1)=(EA(1:N-1)./h(1:N-1) + EA(2:N)./h(2:N)) + (c(1:N-1).* ...

h(1:N-1)/4 + c(2:N).*h(2:N)/4);

ce(1:N-1) = -EA(2:N)./h(2:N) + c(2:N).*h(2:N)/4;

de(N)=EA(N)./h(N) + c(N).*h(N)/4 + k;

be(1:N-1) = F(1:N-1).*h(1:N-1)/2 + F(2:N).*h(2: ...

N)/2;

be(N) = F(N)*h(N)/2;

A = sparse(N,N);

for i=1:N

A(i,i) = de(i);

end;

for i=1:N-1

A(i,i+1)=ce(i);

A(i+1,i)=ce(i);

end;

u = [0; A\(be')];

2.2 Application à notre poutre

On créé une fonction qui initialise la poutre en fonction du nombre

d'éléments souhaités etdescoecientsqui les caractérisent. Ondistinguera

le cas où N est pair pour lequel la discontinuité au milieu de la poutre est

exacte, ducas où N estimpair pour lequel lepoint central serala moyenne

deses voisins.

function [EA, c, h, F] = prepare(N,L,k,a0,a1,c0,c1,F0)

if (mod(N,2)==0)

c=[linspace(c0,c0,N/2) linspace(c1,c1,N/2)];

h=linspace(L/N,L/N,N);

EA=[linspace(a0,a0,N/2) linspace(a1,a1,N/2)];

else

F=[ linspace(F0,F0, (N-1)/2) F0/2 zeros(1,(N-1)/2)];

c=[linspace(c0,c0,(N-1)/2) (c0+c1)/2 linspace(c1,c1,(N-1)/2)];

h=linspace(L/N,L/N,N);

EA=[linspace(a0,a0,(N-1)/2) (a0+a1)/2 linspace(a1,a1,(N-1)/2)];

end

Cette fonction renvoie donc les coecients EA, c et F de chaque poutre,

ainsiqueleur tailleh (ici,on gardera hconstant).

On applique les fonctions "prepare" et "poutre" pour N=4 et les

coecientsfournis. Onobtient lerésultat suivant :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Fig. 3 Solutionapprochée pour 4poutres élémentairesetSolution exacte

Onfait demême avec N =5:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Fig. 4 Solutionapprochée pour 5poutres élémentairesetSolution exacte

On remarque que la solution approchée s'éloigne de la solution exacte

carlasolution exactea été calculéepour un discontinuitée parfaiteen

L 2

nonpour une "discontinuité approchée".

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Fig.5Solutionapprochéepour10poutresélémentairesetSolution exacte

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Fig.6Solutionapprochéepour11poutresélémentairesetSolution exacte

exacte,etla solutionesttoujours meilleure pour N pair.

Oncalcule ensuitel'erreur relative par lanorme

L ²

Z b

a

f (x) ² dx ≈ b − a N .

N − 1

X

i=0

f ² (a + (i + 1

2 ) ∗ ( b − a N ))

avec ici f(x) = u(x)-v(x) où u est la solution approchée et v la solution

exacte (ici

b − a

N = h

erreur relative,donc unquotient desnormes):

numerateur = 0;

denominateur = 0;

for i=1:N-1

numerateur = numerateur + ((u(i)+u(i+1))/2 - v(i))^2;

denominateur = denominateur+v(i)^2;

end

erreur=sqrt(numerateur/denominateur)

avec u la solution obtenue par les éléments nis, et v la solution exacte

calculée sur les N points au centre de chaque poutre. On itère sur les N

poutres,etonprendlavaleurdelasolutionexacteetapprochéeaumilieude

chaque poutre. Onfera attention pour les Nimpair à évaluer EA au centre

de lapoutre commela moyenne desEA des deux éléments voisins (pour le

calculde lasolutionexactesur peu depointsau lieu des500 points).

En itérant sur les N pairs de 4 à 20, on obtient la courbe log-log suivante,

montrant une droite de pente 2.0715 évaluée par la commande polyval,

correspondant à l'ordre du schéma. L'erreur relative calculée s'étend de

0.26% pour N=20 à6.46% pourN=4.

10 ^−0.6 10 ^−0.5 10 ^−0.4 10 ^−0.3 10 ^−0.2 10 ^−0.1 10 ⁰ 10 ⁻³

10 ⁻² 10 ⁻¹

Fig.7 loglog(L/N, erreur)

Parailleurs,pourlesNimpairsde5à21,onobtientunepentede1.7938,

ce qui montre que le schéma est moinsbon pour les N impairs (il converge

pluslentement):

10 ⁰ 10 ⁻³

10 ⁻² 10 ⁻¹

Fig.8 loglog(L/N, erreur)

numerateur = 0;

denominateur = 0;

for i=1:N-1

numerateur = numerateur + ((EA(i)*(u(i+1)-u(i)))/h(i) - s(i))^2;

denominateur = denominateur+s(i)^2;

end

erreur=sqrt(numerateur/denominateur)

avec s la valeur de sigma calculée analytiquement au centre de chaque

poutre, et u la valeur du déplacement sur chaque poutre (donc

u _i+1 − u _i h

donnera ladérivée au centre de lapoutre à l'ordre 2 saufpour le cas de la

Nièmepoutreoùelle donnera ladérivée décentrée à gauche à l'ordre1).

Onobtient pour le casN pair (de4 à 20 par pasde 4) une droite de pente

1.9738(= ordrede convergence sursigma)

10 ^−0.6 10 ^−0.5 10 ^−0.4 10 ^−0.3 10 ^−0.2 10 ^−0.1 10 ⁰ 10 ⁻⁵

10 ⁻⁴ 10 ⁻³ 10 ⁻²

Fig.9 loglog(L/N, erreur)

10 ⁰ 10 ⁻²

10 ⁻¹ 10 ⁰

Fig.10 loglog(L/N,erreur)

3 Conclusion

On a pu observer que la méthode des éléments nis nous donnait une

solutionexacteauxpointsdediscrétisationpourlecasNpair(puisquepour

lecasNimpair,ladiscontinuitéaumilieudelapoutren'apuqu'êtreappro-

chée par une moyenne). Deplus, on remarque que lasolutionen tout point

converge à l'ordre 2 pour le cas N pair et 1.8 pour le cas N impair, et que

leseortsd'élasticitéconvergent àl'ordre2 pourlecasNpairet1.5pour le

casN impair(enutilisant laméthodedes pointsmilieux).

Danslecasgénéral,ons'évertueraàprendreunnombrepairdepoutrespour

éviterd'approximer ladiscontinuité aucentre.