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IFT 2425

DÉMONSTRATION N

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4

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationelle,loal2384.

http://www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425/

E-mail:mignotteiro.umontreal.a

Chapitre 2 Résolution de systèmed'équationslinéaires

I ... Déomposition

P ^t LU

^.

II ... Méthodedesmoindresarréspourlessystèmessurdéterminés.

III ... Améliorationitérative(omplémentduours).

IV ... Conditionnementd'unematrie.

V ... Résolution d'un systéme parla méthodede Jaobi et de Gauss-

I. Déomposition

P ^t LU

Résoudrelesystémesuivantet déomposerlamatrie

A

^{dusystèmesuivantenmatrie}

P ^t LU

^ave

P

^la

matrie depermutationet LU lesmatrie triangulairesinférieureset supérieures obtenues parlaméthode

d'éliminationdeGauss avepivot (résolutiondusystèmeparsubstitutionarrière).

x 2 − x 3 + x 4 = 1, x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 = 4,

−x 1 − x 2 + x 3 = 0, x 1 + 2x 2 + 2x 4 = 3.

II. Méthode des moindres arrés pour les systèmes surdéterminés

Lorsd'uneexpériene,onalesobservationssuivantessurunphénoménephysique

(x , y) (2 , 6.5) (4 , 8.5) (5 , 11) (6 , 12.5)

On herhe à trouver une relation linéaire liant la premiére et la deuxieme donné de ette experiene.

Conrétement on herhe àtrrouver lameilleur droite (ausens de l'erreur quadratique moyenne)passant

parespoints.

III. Amélioration itérative (omplément du ours)

Soit

x ^∗

^lasolutionapproximative(à ausede l'erreurd'arrondieet detronature) dusystème

Ax = b

^.

Il est possible d'améliorer itérativement ou de orriger ette approximationen dénissant

e = x − x ^∗

^et

r = b − Ax ^∗

^.Montrerque

e

^,l'erreursurl'approximationde

x ^∗

^{est solutiondusystémesuivant:}

Ae = r.

Calulerensuiteunevaleurplusexatede

x

^enréalisantl'opérationsuivante.

x = x ^∗ + e.

En fait,etteestimationde

e

^{et ettedernièreorretionest elleaussisujetteauxerreurs}d'arrondis,et de e fait, onpeut répéter etteopérationdeorretion itérativejusqu'ae que l'onobtientlavraivaleurde

x

^{. Faite un exemplesur le systéme suivant,en prenant}

3

^{se apres lavirgule(tronquée) pour lapremiere}

approximationetenalulantlaorretionave

6

^{se(doublepréision):}

A =





4.23 −1.06 2.11

−2.53 6.77 0.98 1.85 −2.11 −2.32





^ave

b =



 5.28 5.22

−2.58



 .

Trouverleonditionnementdesmatriessuivante

A =





1 4 −2

−1 2 −1 3 3 0





^et

B =





1 4 −2

1.000001 4.000001 −2.000001

3 3 0



 .

Utiliserlanorme

k.k 1 = max 1≤j≤n P n i=1 |a ij |

^.

V. Méthode de Jaobi et de Gauss-Seidel.

Résoudrelesystème suivantparlaméthodede Jaobipuisparlaméthodede Gauss-Seidelen prenant

laonditioninitiale

x ⁽⁰⁾ = (0 0 0) ^t

^{danslesdeuxas.}

8x 1 + x 2 − x 3 = 8,

2x 1 + x 2 + 9x 3 = 12,

x 1 − 7x 2 + 2x 3 = −4.