IFT 2425
DÉMONSTRATION N
o
8
Max Mignotte
DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationelle,loal2384.
http://www.iro.umontreal.a/
∼
mignotte/IFT2425/E-mail:mignotteiro.umontreal.a
Chapitre 4 Interpolation polynomiale
I ... Interpolationparlaméthodedesmoindresarrés.
II ... InterpolationparlaméthodedeNewtonGrégory.
III ... Interpolationparlaméthodedesmoindresarrésavehangement
demodèle.
Soitlespointssuivants:
x k
1 2 3 4 5 6y k
5.04 8.12 10.64 13.18 16.20 20.04Trouverlepolynmededegré troispassantpar espoints enutilisantlaméthode desmoindres arrés.
Interpoleren
x = 4.5
.Réponse
Onherhelepolynmedelaformesuivante,
P 3 (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 .
Onalesystèmed'équationssuivant,
a 3 +a 2 +a 1 +a 0 = 5.04 8a 3 +4a 2 +2a 1 +a 0 = 8.12 27a 3 +9a 2 +3a 1 +a 0 = 10.64 64a 3 +16a 2 +4a 1 +a 0 = 13.18 125a 3 +25a 2 +5a 1 +a 0 = 16.20 216a 3 +36a 2 +6a 1 +a 0 = 20.04
Oualorslesystèmesuivant,
Ax = b
avex =
a 3 a 2 a 1 a 0
, A =
1 1 1 1
8 4 2 1
27 9 3 1 64 16 4 1 125 25 5 1 216 36 6 1
, b =
5.04 8.12 10.64 13.18 16.20 20.04
.
Pardénition,f.Cours,ona,
a 3 a 2 a 1 a 0
= (A t A) − 1 A t b
Lealul de
A t A
nousdonne,A t A =
67171 12201 2275 441 12201 2275 441 21
2275 441 91 21
441 91 21 6
Lealul de
(A t A) − 1
nousdonne,
(5/324) − (35/216) (317/648) ( − 7/18) ( − 35/216) (871/504) ( − 575/108) (13/3)
(317/648) ( − 575/108) (76555/4536) ( − 257/18) ( − 7/18) (13/3) ( − 257/18) 13
a 3 a 2 a 1
a 0
= (A t A) − 1 A t b =
0.0767
−0.701 4.61 1.06
.
C'est àdirelepolynmesuivant,
P 3 (x) = 0.0767x 3 − 0.701x 2 + 4.61x + 1.06.
Oninterpole en
x = 4.5
etontrouveP 3 (4.5) = 14.599
.II. Interpolation par la méthode de Newton-Grégory
Desvaleursde
y(x) = √
x
sontlistéesdanslatable i-dessous.x y
1.0 1.00000
1.05 1.02470
1.10 1.04881
1.15 1.07238
1.20 1.09544
1.25 1.11803
1.30 1.14017
1. Calulerlesdiérenesjusqu'àl'ordre
6
etexpliquerbrièvementleursigniation(ononserveraquatrehiressigniatifspourlesdiérenes).
2. Utiliser es données pourinterpoler
√ 1.01
parla méthode de Newton-Grégorydesendante ave unpolynme d'ordre 1, 2, 3, et 4. Pour les polynme d'ordre 1, 2, 3, indiquer l'ordre de grandeur de
l'erreurabsoluefaitesuretteinterpolation.
3. Utiliser es données pour interpoler
√ 1.28
par la méthode de Newton-Grégoryasendante ave unpolynmed'ordre3.
Réponse
1.
x y
1.00 1.00000
2470
× 10 − 5
1.05 1.02470 -59
× 10 − 5
2411
× 10 − 5
5× 10 − 5
1.10 1.04881 -54
× 10 − 5
-2× 10 − 5
2357
× 10 − 5
3× 10 − 5
3× 10 − 5
1.15 1.07238 -51
× 10 − 5
1× 10 − 5
-6× 10 − 5
2306
× 10 − 5
4× 10 − 5
-3× 10 − 5
1.20 1.09544 -47
× 10 − 5
-2× 10 − 5
2259
× 10 − 5
2× 10 − 5
1.25 1.11803 -45
× 10 − 5
2214
× 10 − 5
1.30 1.14017
Lesdonnéesaluléespeuventêtreonsidéréesommedeseetsd'erreuretnonommedesinformations
utilesàl'évaluationdelafontionrainearrée.
2.
OnutiliselaformuledesendantedeNewton-Grégorypourdesabsisseséquidistantes(f.NotesdeCours,
hapitre4,page18).Ona
s = (x − x 0 )/h = (1.01 − 1)/0.05 = (1/5)
,ilvient,P 1 (s = 1
5 ) = 1.00000 + 1
5 (0.02470) = 1.00494, P 2 (s = 1
5 ) = 1.00000 + 1
5 (0.02470) − 2
25 ( − 0.00059) = 1.0049872, P 3 (s = 1
5 ) = 1.00000 + 1
5 (0.02470) − 2
25 ( − 0.00059) + 6
125 (0.00005) = 1.0049896, P 4 (s = 1
5 ) = 1.00000 + 1
5 (0.02470) − 2
25 ( − 0.00059) + 6
125 (0.00005) − 21
625 ( − 0.00002) = 1.004990272.
Etlavraievaleurde
√ 1.01
est1.004987562
.LameilleureapproximationestdonnéeparP 2 (1.01)
.L'ordredegrandeur del'erreurabsolue faitesurl'interpolation,donnéeparle polynmed'ordre
n
, estdonnéeparletermequel'onajoutepouronstituerl'interpolationdonnéeparlepolynmed'ordre
n + 1
.3.
Ii'estlaformuleasendantedeNewton-Grégoryquiest laplusonvenable.Ilvient
s = (x − x 0 )/h = (1.28 − 1.30)/0.05 = ( − 2/5)
quenousreportonsdanslaformulesuivante(f.omplémentdeCours),P n (s) = y 0 + s∆y 0 + s(s + 1)
2! ∆ 2 y 0 + . . . + s(s + 1) . . . (s + n − 1)
n! ∆y 0 n
Ontrouve,
P 3 (s = −2/5) = 1.14017 − 2
5 (0.02214) − 3
25 (−0.00045) − 8
125 (0.00002)
= 1.13137
ment de modèle
Soitlespointssuivants:
t k
1.0 1.6 2.5 5.2 6.6 8.2 9.4 11.4d(t k )
1.9 24.9 34.9 29.7 36.1 13.0 -3.1 -28.7Onsupposequees donnéessontobtenuesparlemodèlephysiquesuivant:
d(t) = α + β sin((π/10)t).
1. Transformeretteéquationpourqu'ellesoitdelaforme
y = ax + b
etalulerparlesmoindresarréslesoeients
a
etb
optimaux.2. Interpoler
d(.)
aupointt = 7
.Réponse
1.
Posons,
b = α
y = d(t)
x = sin((π/10)t)
a = β
Ondoitmaintenantonvertir
t
enx
etd(t)
eny
.Onay = d(t)
etx = sin((π/10)t)
.x
0.3090 0.4818 0.7071 0.9980 0.8763 0.5358 0.1874 -0.4258y
1.9 24.9 34.9 29.7 36.1 13.0 -3.1 -28.7Onalulemaintenant
a
etb
parlaméthodedesmoindresarré,ona,
0.3090 1 0.4818 1 0.7071 1 0.9980 1 0.8763 1 0.5358 1 0.1874 1 0.4558 1
| {z }
A
a b
=
1.9 24.9 34.9 29.7 36.1 13.0
−3.1
−28.7
| {z }
u
Etontrouve,
a b
= (A t A) − 1 A t u
A t A a
b
= A t u
ave
A t A = P m
i=1 x 2 i
P m
i=1 x i
P m
i=1 x i m
et
A t u = P m
i=1 x i y i
P m
i=1 y i
où
m = 8
.OnaX 8 i=1
x 2 i = (0.3090) 2 + . . . + ( − 0.4258) 2 = 3.121416, X 8
i=1
x i = (0.3090) + . . . + ( − 0.4258) = 4.5512 X 8
i=1
x i y i = (0.3090)(1.9) + . . . + ( − 0.4258)( − 28.7) = 117 X 8
i=1
y i = (1.9) + . . . + ( − 28.7) = 91.8397
Don,
a b
=
3.12146 4.5512 4.5512 8.0000
− 1 91.8397
117
≈ 56.4
− 18.5
Don,
α = b ≈ − 18.5 β = a ≈ 56.4
Etonobtient,
d(t) ≈ − 18.5 + 56.4 sin((π/10)t)
2.
Pourl'interpolationaupoint
