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9axigeDRDéaeedfai eedeRe he heéaie

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Texte intégral

(1)

IFT 2425

DÉMONSTRATION N

o

9

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationelle,loal2384.

http://www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425/

E-mail:mignotteiro.umontreal.a

Chapitre 4 Interpolation polynomiale

I ... CaluldeB-splineubiquenaturelle.

II ... Interpolationtroisdimensions.

Chapitre 5 Dérivation numérique

III ... Dérivationnumérique.

(2)

CalulerlaB-splineubiquenaturelleutilisantlespointsdeontrlesuivants(etpassantobligatoirement

parlepoint

p 0

etseterminanten

p 3

).

points

p 0 p 1 p 2 p 3

x

1 2 3 4

y

4 -2 3 1

Réponse

Si on veut que la B-spline ubique ommene en

p 0

et se termine en

p 3

, il faut ajouter les points de

ontrlesuivants,

p − 2

,

p − 1

,

p 4

, et

p 5

telque

p − 2 = p − 1 = p 0

et

p 5 = p 4 = p 3

. Ainsi,onpourraalulerles

splines

B − 1

,

B 0

,

B 1

,

B 2

et

B 3

.Ontrouve1,

B − 1 (u) = 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 p − 2

p − 1

p 0

p 1

= 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 1 4 1 4 1 4 2 − 2

=

1 + u 6 3 4 − u 3

B 0 (u) = 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 p − 1

p 0

p 1

p 2

= 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 1 4 1 4 2 − 2 3 3

=

7

6 + u 2 + u 2 2 − u 3

6 3 − 3u − 3u 2 + 17 6 u 3

B 1 (u) = 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 p 0

p 1

p 2

p 3

= 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 1 4 2 − 2 3 3 4 1

=

2 + u − 1

6 − u

2 + 11 2 u 2 − 3u 3

1

(3)

B 2 (u) = 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 p 1

p 2

p 3

p 4

= 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 2 − 2 3 3 4 1 4 1

=

3 + u − u 3

6 11

6 + 3u 2 − 7u 2

2 + 3u 2 3

B 3 (u) = 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 p 2

p 3

p 4

p 5

= 1

6 u 3 u 2 u 1

− 1 3 − 3 1 3 − 6 3 0

− 3 0 3 0

1 4 1 0

 3 3 4 1 4 1 4 1

=

23

6 + u 2 − u 2

2 + u 6 3 4 3 − u + u 2 − u 3

3

II. Interpolation trois dimensions

Soit letableau i-dessous,donnantles valeursde

z = f (x, y)

. Interpoler

f

en

(x = 3.32, y = 0.51)

ave

unpolynmeubiqueen

x

et unpolynmededimension

1

en

y

(trouverlarégionlaplusappropriée pour

alulerepolynme).

x y

0.1 0.4 0.6 0.9 1.2

1.1 1.100 0.864 0.756 0.637 0.550

3.0 8.182 6.429 5.625 4.737 4.091

3.7 12.445 9.779 8.556 7.205 6.223

5.2 24.582 19.314 16.900 14.232 12.291

6.5 38.409 30.179 26.406 22.237 19.205

Réponse

Onveutlapluspetite régionpourinterpoleren

(3.32, 0.51)

.Onabesoindequatrepointsen

x

etdeux

pointsen

y

.Ononsidèrelarégionsuivante:

(4)

x y

0.4 0.6

1.1 0.864 0.756

3.0 6.429 5.625

3.7 9.779 8.556

5.2 19.314 16.900

Onvainterpoleren

x

enpremier,onherheunpolynmededegrétroisdelaforme,

P 3 (x, y = 0.4) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 .

Puisque lespointsnesontpaséquidistants,onutiliseralesdiérenesdivisées.

Pour

y = 0.4

,ona,

x z ∆ ∆ 2 ∆ 3

1.1 0.864

2.929

3.0 6.429 0.714

4.786 0

3.7 9.779 0.714

6.357

5.2 19.314

Etonobtientlepolynmed'interpolationsuivant

P 3 (x, y = 0.4) = 0.864 + 2.929(x − 1.1) + 0.714(x − 1.1)(x − 3.0)

et,

P 3 (3.32, 0.4) = 0.864 + 2.929(2.22) + 0.714(2.22)(0.32)

= 7.874

Pour

y = 0.6

,ona,

x z ∆ ∆ 2 ∆ 3

1.1 0.756

2.563

3.0 5.625 0.625

4.187 0

3.7 8.556 0.625

5.563

5.2 16.9

Etonobtientlepolynmed'interpolationsuivant,

P 3 (x, y = 0.6) = 0.756 + 2.563(x − 1.1) + 0.625(x − 1.1)(x − 3.0)

et,

P 3 (3.32, 0.6) = 0.756 + 2.563(2.22) + 0.625(2.22)(0.32)

= 6.89

(5)

Maintenantpour

x

xé,i.e.,pour

x = 3.32

,ona

y z = f (x, y) ∆

0.4 7.874

-4.92

0.6 6.89

Etonobtientlepolynmed'interpolationsuivant

P 1 (x = 3.32, y) = 7.874 − 4.92(y − 0.4)

et,

P 1 (x = 3.32, y = 0.51) = 7.874 − 4.93(0.11)

= 7.333

Donlerésultatestlesuivant

P (3.32, 0.51) = 7.333

.

III. Dérivation numérique

Ondonnelethéorèmesuivant:

Soit

f

une fontionontinue sur

[a, b]

et

c 1 , c 2

, deuxonstantes positivesnon

nulles. Alors,

∀ x 1 , ∀ x 2 ∈ [a, b]

,ilexiste,

ξ ∈ [x 1 , x 2 ]

telque

f (ξ) = c 1 f (x 1 ) + c 2 f (x 2 )

c 1 + c 2

En vousaidantde e théorèmeet ledéveloppement deTaylorde lafontion

f

au voisinagede

x = x 0

,

démontrerque

f 0 ′ = f ′ (x 0 ) = − f 2 + 8f 1 − 8f − 1 + f − 2

12h + O(h 4 )

ave

f

,unefontiondelasse

C 2

.

Réponse

ParledéveloppementdeTaylordelafontion

f

auvoisinagede

x = x 0

,ona

f 2 = f 0 + 2hf 0 ′ + 4h 2

2 f 0 ′′ + 8h 3

6 f 0 ′′′ + 16h 4

24 f 0 [4] + 32h 5

120 f [5] (ξ 1 )

(1)

f 1 = f 0 + hf 0 ′ + h 2

2 f 0 ′′ + h 3

6 f 0 ′′′ + h 4

24 f 0 [4] + h 5

120 f [5] (ξ 2 )

(2)

f − 1 = f 0 − hf 0 ′ + h 2

2 f 0 ′′ − h 3

6 f 0 ′′′ + h 4

24 f 0 [4] − h 5

120 f [5] (ξ 3 )

(3)

f − 2 = f 0 − 2hf 0 ′ + 4h 2

2 f 0 ′′ − 8h 3

6 f 0 ′′′ + 16h 4

24 f 0 [4] − 32h 5

120 f [5] (ξ 4 )

(4)

(6)

f 1 − f − 1 = 2hf 0 ′ + h 3

3 f 0 ′′′ + h 5

120 f [5] (ξ 2 ) + h 5

120 f [5] (ξ 3 )

En utilisantlethéorèmedel'énoné,

∃ ξ ′ ∈ [ξ 2 ξ 3 ]

telque

120 1 f [5] (ξ 2 ) + 120 1 f [5] (ξ 3 ) = 60 1 f [5] (ξ ′ )

,don

f 1 − f − 1 = 2hf 0 ′ + h 3

3 f 0 ′′′ + h 5 60 f [5] (ξ ′ )

d'où

f 0 ′ = f 1 − f − 1

2h − h 2

6 f 0 ′′′ + h 4

120 f [5] (ξ ′ )

(5)

En soustrayantl'équation(1)del'équation(4)et enutilisantlethéorèmedel'énoné,onobtient

f 2 − f − 2 = 4hf 0 ′ + 16h 3

6 f 0 ′′′ + 32h 5

60 f [5] (ξ ′′ )

d'où

f 0 ′ = f 2 − f − 2

4h − 4h 2

6 f 0 ′′′ − 16h 4

60 f [5] (ξ ′′ )

(6)

Maintenant,enmultipliantl'équation(5)par

4

et enluisoustrayantl'équation(6), ontrouve

3f 0 ′ = 8f 1 − 8f − 1 − f 2 + f − 2

4h + h 4

30

f [5] (ξ ′ ) + 8f [5] (ξ ′′ )

En utilisantlethéorèmedel'énoné

∃ ξ ∈ [ξ ′ ξ ′′ ]

telque

9f [5] (ξ) = f [5] (ξ ′ ) + 8f [5] (ξ ′′ )

,don

f 0 ′ = − f 2 + 8f 1 − 8f − 1 + f − 2

12h + h 4

10 f [5] (ξ)

Don

f 0 ′ = − f 2 + 8f 1 − 8f − 1 + f − 2

12h + O(h 4 )

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