E ai

(1)

IFT 2425

INTRODUCTION AUX

ALGORITHMES NUMÉRIQUES

ADDENDUM

Max Mignotte

Département d'Informatique et de Reherhe Opérationnelle.

Http : //www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425 E-mail : mignotteiro.umontreal.a

(2)

CHIFFRES SIGNIFICATIFS (COMPLEMENT)

Exerie

X ^⋆ = 4085.6

Intervalle de onane, erreur absolue & relative?

Convention

X ^⋆ = 0 . 0002780

7

^se ^dans

X ^⋆

^(i.e., ^après ^la ^virgule) ^ou

8

^se ^en ^tout

X ^⋆ = 0.2780 × 10 ⁻ ³

4

^se ^dans ^la ^mantisse ^(notation ^ottante)

X ^⋆ = 3 . 0002780

8

^se ^(en ^tout)

(3)

ERREURS D'ARRONDIS (EXEMPLE)

Défaillane du missile US patriote

Le 25/02/1991, durant la guerre du golf, un missile

patriote US à Dharan manque un sud Iraquien et frappe

une aserne US tuant

28

^soldats êt ^blessant ûne êntaine

d'autres.

◮

La ause de e problème fut une erreur d'estimation

du temps éoulé depuis la mise en tension de l'ordinateur

du missile (100 heures), ausée par une simple erreur

d'aetation.

Tps de l'horloge interne est mesuré en dizième de se-

ondes puis multiplié par la valeur

1/10 = 1/2 ⁴ + 1/2 ⁵ + 1/2 ⁸ + 1/2 ⁹ + .... = (0.00110011001 . . .) 2

^(stoké ^dans

un registre de

24

^bits).

◮

întroduit ûne êrreur ^de

_ǫ

⁼

_(0. ₋ ₂₃ _× ₀ ₋ 11001100...) 2

ou

(0.000000095) 10

^. ^Soit ^une ^erreur ^totale

= ǫ × 100 × 60 × 60 × 10 = 0.34

^seondes.

Cf. Page Web du Cours (Rubriques : Interesting Links)

(4)

ERREURS D'OVERFLOW (EXEMPLE)

L'explosion de la fusée Ariane

5

^juste ^après ^son ^déollage

le 04/06/1996 est la onséquene d'un simple overow.

Explosion d'Ariane 5

◮

^La ^ause ^de ^la ^défaillane ^venait ^d'une ^erreur ^logiielle

dans le sytème de référene inertielle. Plus préisement

un nombre ottant de

64

^bits ⁽

> 32768

⁾ ^lié ^à ^la ^vitesse

horizontale de la fusée fut onvertit en

16

^bits.

(5)

CONDITION DE CONVERGENCE DU POINT FIXE

Méthode de Newton / du point xe

◮ _x _n ₌ _g(x _n ₋ ₁ ₎

L'erreur d'estimation à l'itération

n

^est

◮ _ε ₌ _| _x _n ₋ _r _| ( x n − r ) = g ( x n − 1 ) − g ( r )

( x n − 1 − r ) ( x n − 1 − r )

= g ^′ (ξ) (x _n ₋ 1 − r)

ave

ξ ∈ J

⁽

J

êst ûn înterval ôntenant

x 0 , x 1 , . . . , x _n

⁾

Si g est ontinue sur

J = [ a, b ]

∃ ξ ∈ J

^tq

g ( b ) − g ( a )

(b − a) = g ^′ (ξ)

En posant

K = | g ^′ (ξ) |

| x n − r | = K | x n − 1 − r |

= K ² | x _n ₋ 2 − r |

= . . .

= K ⁿ | x 0 − r |

≤ K ⁿ ( b − a )

Convergene si lim

n →∞ x n = r

^, ^ad ^ssi

| g ^′ ( ξ ) | < 1

⁽

∀ ξ ∈ J

⁾

Convergene d'autant plus rapide que

K < 1

(6)

APPLICATION DES POINTS FIXES

Génération d'images fratales

Les trois premières opies générées par la photoopieuse

pour diérentes images d'entrée

◮

^Tôute ^les ôpies ônvergent ^vers ^la ^même

(7)

COMPRESSION FRACTALE (2)

Résultat nal

◮

dépend uniquement de la manière dont l'image d'entrée est transformée

H

Résultat nal peut être dérit par un ensemble de trans-

formations anes du type

w _i x

y

=

a i b i

c _i d _i x y

+

e i

f _i

Condition Néessaire : transformation ontratante (i.e.,

1

transformation donnée appliquée à

2

^p^oints ^de ^l'image

initiale les rapprohe l'un de l'autre dans la opie)

Des transformations, leurs attrateurs et un agrandissement

(8)

Chaque image est formée de opies transformées (et

réduites) d'elle-même et don doit avoir des détails à

toute les éhelles

◮

image fratale

Prinipe de la ompression fratale

Consiste à stoker les paramètres de la transformation

donnant l'image nale onsidérée omme étant un at-

trateur (M. Barnsley)

Compression fratale d'images réelles

L'image d'un visage n'est pas fratales ou pas exate-

ment auto-similaire, par ontre ...

Exemple de régions qui sont similaires à diérentes éhelles

H

L'image est formée de opies onvenablement transformée

de parties d'elle-même

H

Compression d'une image quelonque : stokage des dé-

(9)

Exemple

Image originale, première, seonde et dixième

(10)

CRAMER





5 − 2 1 3 2 0 1 1 − 1







 x 1

x 2

x 3



 =



 1 3 0





det







.... .... ....







x 1 = − − − − − − − − − − −−

det







.... .... ....







(11)

CALCUL DE DETERMINANT?

Super Calulateur 2004

Earth Simulator (ES)

Installé au Japon a l'Agene spatiale japonese NASDA

(2004)

- 5120 CPUs (640 x 8) NEC 500 Mhz

- Puissane de alul : 41 TeraFlops (8 GFlops par CPU)

- Mémoire de 2 Giga Otets par CPU

- 16 GigaOtet par noeuds

Utilisé pour la simulation de phénomène limatique, oéa-

nique, atmosphérique, tetonique, et.

(12)

CALCUL DE DETERMINANT?

Super Calulateur 2014

National Super Computer Center in Guangzhou (China)

- 3 120 000 CPUs (Intel Xeon)

- Puissane de alul : 40 000 TeraFlops

Utilisé à l'Université nationale de tehnologie de la dé-

fense de la République populaire de Chine

(13)

INVERSION DE MATRICE (RÉSUMÉ)

Inversion de la Matrie A

A =





1 2 − 1 2 1 0

− 1 1 2





1- Méthode de Cramer

A ⁻ ¹ = − 1 9





2 − 5 1

− 4 1 − 2 3 − 3 − 3





(f. Chap. 3 page 5)

2- Élimination de Gauss

A =





1 2 − 1 2 1 0

− 1 1 2





Pour aluler

A ⁻ ¹

^, ^on ^doit ^résoudre ^le ^système ^augmenté





1 2 − 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

− 1 1 2 0 0 1





(14)

A =





1 2 − 1 1 0 0 0 − 3 2 − 2 1 0 0 0 3 − 1 1 1





On doit résoudre par substitutions arrière les trois sys-

tèmes suivants





1 2 − 1 1 0 − 3 2 − 2 0 0 3 − 1









1 2 − 1 0 0 − 3 2 1

0 0 3 1









1 2 − 1 0 0 − 3 2 0

0 0 3 1





Ce qui donne par substitutions arrière



 x 1

x 2

x 3



 =





− 2 / 9 4/9

− 1/3







 x 1

x 2

x 3



 =





5 / 9

− 1/9 1/3







 x 1

x 2

x 3



 =





− 1 / 9 2/9 1/3





don

A ⁻ ¹ = 1 9





− 2 5 − 1 4 − 1 2

− 3 3 3





(15)

A =





1 2 − 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

− 1 1 2 0 0 1





H

A =





1 0 0 − 2/9 5/9 − 1/9 0 1 0 4 / 9 − 1 / 9 2 / 9 0 0 1 − 1/3 1/3 1/3





4- Fatorisation LU

Élimination de Gauss

L U =





1 0 0 2 1 0

− 1 − 1 1









1 2 − 1 0 − 3 2 0 0 3





Fatorisation direte

L U =





1 0 0 2 − 3 0

− 1 3 3









1 2 − 1 0 1 − 2 / 3 0 0 1





1- Résolution pour

b 1 =



 1 0 0



 , b 2 =



 0 1 0



 , b 3 =



 0 0 1



 .

(16)

L U x = b

en posant

y = U x ◮ _{L y} ₌ _b U x = y

2- On trouve

U ⁻ ¹

^et

L ⁻ ¹

(respetivememt par substitu- tion arrière et avant pour haque veteur

b _i

^), ^puis

A ⁻ ¹ = (L U ) ⁻ ¹ = U ⁻ ¹ L ⁻ ¹

(17)

FACTORISATION DIRECTE

Exeries







2 − 1 − 1 0 − 4 2 6 − 3 0







=







. 0 0 . . 0 . . .













1 . . 0 1 . 0 0 1













3 3 6 1 2 3 2 4 7







=







. 0 0 . . 0 . . .













1 . . 0 1 . 0 0 1







(18)

APPLICATION DES BÉZIERS (1)

(19)

APPLICATION DES BÉZIERS (2)

(20)

APPLICATION DES B-SPLINES CUBIQUES

(21)

EXERCICE

Qu'approxime la formule de diérene suivante ? :

1 h

h

f (x 0 + 2h) − 2 f (x o ) + f (x 0 − h) i

(22)

EXERCICE

x 0 π/ 4 π/ 2 3 π/ 4 π f (x) 0 ^√ ₂ ² 1 ^√ ₂ ² 0

Formule entrées :

f ^′′ (1) = f (0) − 2 f (1) + f (2)

( π/ 4) ² ≈ − 0.67149 + O(h ² )

f ^′′ (2) = f (1) − 2f (2) + f (3)

(π/4) ² ≈ − 0.95 + O(h ² )

f ^′′ (3) = f (2) − 2 f (3) + f (4)

( π/ 4) ² ≈ − 0.67149 + O(h ² )

Formule non entrées :

f ^′′ (0) = f (2) − 2f (1) + f (0)

( π/ 4) ² ≈ − 0.67149 + O(h ² )

f ^′′ (4) = −

f (2) − 2f (1) + f (0)

(π/4) ² ≈ 0.67149 + O(h ² )

(23)

MÉTHODES DE RUNGE-KUTTA D'ORDRE N

Compromis Preision/Rapidité

Euler Modié (RK2) RK 4 RK 5 RK 6

Ordre Glob.

O ( h ² ) O ( h ⁴ )

Pas h=0.1

Préision 0.01

Cout al. /iter.

Nb. d'Iter.

Cout al. Glob.

(24)

EULER MODIFIÉ ET MID-POINT

MÉTHODE D'EULER MODIFIÉ

M

1 0

y

0 h

M ₁

t t t

y _j+1 = y _j + h 2

y _j ^′ + y _j+1 ^′ y ˜ _j+1 = y j + hf (t j , y j ),

y _j+1 = y _j + h 2

f (t _j , y _j ) + f (t _j , ˜ y _j+1 ) .

MÉTHODE DU POINT MILIEU

M

0 1

0 +(h/2)

y

0 M 1

h

t t t t

y _j+1 = y _j + h

y _j ^′ ₊₀ _. ₅

˜ y _j+1/2 = y _j + h

2 f (t _j , y _j ),

y _j+1 = y _j + h f (t _j+1/2 , y ˜ _j+1/2 ).

(25)

APPLICATION DES VALEURS PROPRES

Modes de déformations des vertèbres

E ai

∼

X ⋆ = 4085.6

X ⋆ = 0 . 0002780

7

X ⋆

8

X ⋆ = 0.2780 × 10 − 3

4

X ⋆ = 3 . 0002780

8

28

◮

1/10 = 1/2 4 + 1/2 5 + 1/2 8 + 1/2 9 + .... = (0.00110011001 . . .) 2

24

◮

ǫ

(0. − 23 × 0 − 11001100...) 2

(0.000000095) 10

= ǫ × 100 × 60 × 60 × 10 = 0.34

5

◮

64

> 32768

16

◮ x n = g(x n − 1 )

n

◮ ε = | x n − r | ( x n − r ) = g ( x n − 1 ) − g ( r )

( x n − 1 − r ) ( x n − 1 − r )

= g ′ (ξ) (x n − 1 − r)

ξ ∈ J

J

x 0 , x 1 , . . . , x n

J = [ a, b ]

∃ ξ ∈ J

g ( b ) − g ( a )

(b − a) = g ′ (ξ)

K = | g ′ (ξ) |

| x n − r | = K | x n − 1 − r |

= K 2 | x n − 2 − r |

= . . .

= K n | x 0 − r |

≤ K n ( b − a )

n →∞ x n = r

| g ′ ( ξ ) | < 1

∀ ξ ∈ J

K < 1

◮

◮

H

w i x

y

=

a i b i

c i d i x y

+

e i

f i

1

2

◮

H

H





5 − 2 1 3 2 0 1 1 − 1







 x 1

x 2

x 3



 =



 1 3 0









X ^⋆ = 4085.6

X ^⋆ = 0 . 0002780

X ^⋆

X ^⋆ = 0.2780 × 10 ⁻ ³

X ^⋆ = 3 . 0002780

1/10 = 1/2 ⁴ + 1/2 ⁵ + 1/2 ⁸ + 1/2 ⁹ + .... = (0.00110011001 . . .) 2

_ǫ

_(0. ₋ ₂₃ _× ₀ ₋ 11001100...) 2

◮ _x _n ₌ _g(x _n ₋ ₁ ₎

◮ _ε ₌ _| _x _n ₋ _r _| ( x n − r ) = g ( x n − 1 ) − g ( r )

= g ^′ (ξ) (x _n ₋ 1 − r)

x 0 , x 1 , . . . , x _n

(b − a) = g ^′ (ξ)

K = | g ^′ (ξ) |

= K ² | x _n ₋ 2 − r |

= K ⁿ | x 0 − r |

≤ K ⁿ ( b − a )

| g ^′ ( ξ ) | < 1

w _i x

c _i d _i x y

f _i

A ⁻ ¹ = − 1 9

A ⁻ ¹