IFT 2425
DÉMONSTRATION N
o
3
Max Mignotte
DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationelle,loal2384.
http://www.iro.umontreal.a/
∼
mignotte/ift2425/E-mail:mignotteiro.umontreal.a
Chapitre 2 Résolution de systèmed'équationslinéaires
I ... MéthodedeGauss-Jordan.
II ... MéthodedeGausspourladéomposition LUd'unematrie.
III ... Normed'unematrie.
IV ... DéompositionLUdirete.
Trouverlasolutiondusystème suivantparlaméthodedeGauss-Jordansanspivotage.
7 x + 13 y − 4 z = 16 , 13 x − 7 y − 3 z = 3 ,
8 x + 2 y − 5 z = 5 ,
enfaisantlesalulsavetroishiressigniatifs.
II. Méthode de Gauss pour la déomposition LU d'une matrie
CetexerievarappelerleoursenprésentantommentlaméthodedeGausspeutêtreutiliséepour,en
plusderésoudrelesystèmed'équations,
•
Calulerledéterminantdelamatrie.•
DéomposerlamatrieinitialeendeuxmatriesLU;i.e., unematrietriangulairesupérieureet unematrietriangulaireinférieure.
1. Trouver la matrie triangulaire supérieure augmentée du système suivant par la méthode de Gauss
avepivotage.
4 x 1 − 2 x 2 + x 3 = 15 ,
−3 x 1 − x 2 + 4 x 3 = 8 , x 1 − x 2 + 3 x 3 = 13 .
2. Résoudrelesystèmeparsubstitutionarrière.
3. En déduireladéompositionLUdelamatrie.
4. endéduire ledéterminantdusystème.
III. Norme d'une matrie
Calulerlanorme
∞
etlanorme1
delamatriesuivante
1 −2 −3
2 4 −1
−1 −14 11
.
IV. Déomposition LU direte
1. Déomposerlamatrie
A A =
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44
=
1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 4
,
enune matrietriangulaireinférieure(
L
)etsupérieure(U
)telque:A = LU,
=
l 11 0 0 0 l 21 l 22 0 0 l 31 l 32 l 33 0 l 41 l 42 l 43 l 44
| {z }
L
×
1 u 12 u 13 u 14 0 1 u 23 u 24
0 0 1 u 34
0 0 0 1
| {z }
U
.
2. Puis résoudrelesystème
Ax = b
aveb =
1 1 1 1
.
V. Déterminant et inverse de matrie par déomposition LU
1. Déomposerlamatrie
A
enproduit dematrieLU
,ave
A =
1 4 −2
−1 2 −1
3 3 0
.
2. Calulerledéterminantdelamatrie
