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Éléments de mathématiques du signal

David Viennot

6déembre 2007

1 Les signaux 5

1.1 Nature dessignaux . . . 5

1.2 Pereptiondessignaux . . . 7

1.2.1 Pereptiondesfréquenes . . . 7

1.2.2 Pereptiondel'amplitudeetdel'enveloppe . . . 8

1.2.3 Pereptiondelaphase . . . 9

1.3 Struturemathématiquedel'espaedessignauxet distributions. . . 10

1.3.1 L'espaedessignauxphysiques

L ² ( R , dt)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10}

1.3.2 Pereptionintégréeetsignauxréalistes. . . 11

1.3.3 Idéalisationdessignaux . . . 11

2 Dualité temps-fréquene: sérieettransforméede Fourier 13 2.1 SériedeFourierd'unsignalpériodique . . . 13

2.2 TransforméedeFourierd'unsignalquelonque . . . 14

2.3 PropriétésdestransforméesdeFourier . . . 15

2.4 TransforméesdeFourierlassiques . . . 15

2.5 TransforméedeFourierd'unsignalspatial . . . 17

3 Traitementdu signal: onvolution,ltrageet fontionsde transfert 19 3.1 Filtrage etfontionsdetransfert . . . 19

3.2 Produit deonvolution. . . 20

3.3 Propriétésduproduitdeonvolution . . . 21

3.4 Le problèmedelaausalité . . . 21

3.5 Corrélation . . . 21

3.6 Exemples detraitementdusignal. . . 22

3.6.1 Moyenneglissante . . . 22

3.6.2 OptiquedeFourier . . . 22

4 Éhantillonnage 25 4.1 Prinipedel'éhantillonnage . . . 25

4.2 Représentationenfréquenesd'unsignaléhantillonné . . . 25

4.3 Éhantillonnageréaliste:éhantillonneur-intégrateur . . . 26

4.4 Quantiationd'unsignal . . . 27

4.5 TransforméeFourierdisrète . . . 27

Les signaux

1.1 Nature des signaux

Dénition1. Unsignalest unegrandeurphysiquesuseptible devarier dansletemps oudansl'espae.

Deuxexemplesimportantsdesignaux:

lessignauxaoustiques:physiquementils'agitd'ondesdeompression-déompressiondel'air.Ils'agit

don d'unequantité physiquequi varie dans l'espae et dansle temps :

f (x, t)

^{(poursimplier l'axe}

(Ox)

^{est onsidéréommeladiretionde}propagation,lasoureestpontuelleet située suretaxe).

Souvent,onneonsidèrelesonqu'àl'endroitdesonémissionoudesaréeption

x 0

^{,danseasleson}

seramèneàunsimplesignaltemporel

g(t) = f (x 0 , t)

^.

les signaux optiques : physiquement il s'agit d'ondes életromagnétiques. Il s'agit don également

d'unequantitéphysiquequivariedansl'espaeet dansletemps:

f (x, y, z, t)

⁽ⁱⁱ

(Oz)

^{estladiretion}

de propagation et le plan

(Oxy)

^{est le plan de l'image).On} s'intéresse en général à la pereption des images en un point

x 0

^{, ramenant le problème pour une image xe àun signalspatial}

g(x, y) = f (x, y, z 0 )

^.

Ces deuxtypesdesignauxsontdessignauxondulatoires,quiseprésententsouslaformegénérale:

f (t) = Z +∞

0

E(ω, t)P(ωt + φ(ω, t))dω

pourunsignalnedépendantquede

t

^,ou

f (x, y, t) =

Z +∞

0

E(x, y, ω, t)P(ωt + φ(x, y, ω, t))dω

pouruneimage,oùdanslesdeuxas

P

^{estunefontion}

2π

-périodique.And'analyserlesdiérentséléments onstitutifsdessignaux,onsidéronslesaslimiteslesplussimplesetenpremierlieu,lessignauxdelaforme

(poursimplieronneferaplusderéféreneàladépendaneà

x, y

^):

f (t) = EP(ωt + φ) E ∈ R ⁺ , ω ∈ R ^+∗ , φ ∈ [0, 2π[

E

^{estappeléamplitudedusignal,}

ω

^{lapulsationdusignalet}

φ

^{laphase.Onintroduitégalement}

T

^lapériode

dusignalet

ν

^{safréquenesahantque}

T = 1 ν = 2π

ω

Ondistinguealorslessignauxenfontiondelafontion

P

^{,lessignauxlesplusfréquentsétant:}

les signaux sinusoïdaux :

EP(ωt + φ) = E cos(ωt + φ)

^{(les signauxoptiques sont toujoursde ette}

nature).

lessignauxréneaux:

P(t) =

( 1

^si

x ∈]2kπ, π + 2kπ[

^,

k ∈ Z

−1

^si

x ∈]π + 2kπ, 2(k + 1)π[

^,

k ∈ Z

lessignauxtriangulaires:

P(t) =

( − _π ² t + 1 + 4k

^si

x ∈]2kπ, π + 2kπ[

^,

k ∈ Z

2

π t − 3 − 4k

^si

x ∈]π + 2kπ, 2(k + 1)π[

^,

k ∈ Z

De fait, on peut fabriquer unsignal à partirde n'importe quelle fontion

g : [0, 2π] → R

en posant que

P

^{est obtenue en} reproduisant

g

^{sur toutes les périodes. Pour simplier à partir de e point, on ne}

onsidéreradanse paragraphe quedessignauxsinusoïdaux.

Dessignauxplusomplexesetplusrihessontobtenusquandlesonstantesdessignauxpréédents,sont

modulésdansletemps:

modulationd'amplitude:

f (t) = E(t) cos(ωt + φ)

modulationdefréquene:

f (t) = E cos(ω(t)t + φ)

modulationdephase:

f (t) = E cos(ωt + φ(t))

Onnoteraquemodulationdephaseetmodulationdefréquenesontéquivalentes,onsidérantunefréquene

moyenne

ω 0

^et

φ 0 = φ(0)

^{, onpassed'un asàl'autreenposant1}

φ(t) = (ω(t) − ω 0 )t + φ 0

ω(t) = ω 0 + φ(t) − φ 0

t

onaalors

ω(t)t + φ 0 = ω 0 t + φ(t)

Lessignauxlesplusintéressantsprésententsimultanémentunemodulation d'amplitudeet unemodulation

defréquene:

f (t) = E(t) cos(ω(t)t + φ)

La fontion

t 7→ E(t)

^{est alors appelée enveloppedu signal et la fontion}

t 7→ cos(ω(t)t + φ)

^{est appelée}

porteusedusignal.

1

onsupposeque

φ

^{estunefontiondérivable,onnotedonque}

ω(0) = ω 0 + φ ^′ (0)

^.

5 10 15 20 25 30

-1 -0.5 0.5 1

On notera que la fontion

g : [0, 2π] → R

reproduite périodiquement pour onstruire

P

^{, la fontion}

t 7→ E(t)

^et

t 7→ ω(t)

^{peuventêtredesproessusaléatoires(lavaleurdeesfontionsenunpoint}

t

^estalors

déterminéeparuneloideprobabilités).C'estleasdessignauxbruités.

Deux signauxpeuventêtre superposés(parexemples'ilssontissusdedeux soures),onaalors omme

signalrésultant:

f (t) = f 1 (t) + f 2 (t) = E 1 (t) cos(ω 1 (t) + φ 1 ) + E 2 (t) cos(ω 2 (t) + φ 2 )

ennonpeutsuperposerune innitédesignaux:

f (t) = Z ∞

0

E σ (t) cos(ω σ (t)t + φ σ )dσ

enfaisantlehangementdevariablessuivant:

φ(ω, t) = (ω σ (t) − ω)t + φ σ

E(ω, t) = E σ (t) ω = σ

ona

f (t) = Z ∞

0

E(ω, t) cos(ωt + φ(ω, t))dω

etonretrouvel'expressiongénéraledessignauxondulatoiresdonnéeendébutdeparagraphe.

1.2 Pereption des signaux

1.2.1 Pereption des fréquenes

Lesituation est assezsimplepourlessignauxéletromagnétiques,seulsdessignauxdefréquenes om-

prisesentre

4.10 ¹³

^et

7.10 ¹³

^{Hzsontperçusparl'÷il.Lesdiérentesfréquenes}orrespondentauxouleurs:

IR rouge orange jaune vert bleu violet UV

< 4 4

^à

4.8 4.8

^à

5.1 5.1

^à

5.3 5.3

^à

5.8 5.8

^à

6.9 6.9

^à

7.9 > 7.9 ×10 ¹³

^Hz

On notera que la ouleur blanhe orrespond à une superposition de signaux dont les fréquenes orres-

pondentàtout lespetrevisible. Physiquement,onneperçoitenréalitéque3ouleursprimaires :rouge,

vert etbleu;laréponsedesréepteursoptiquesétantdetypegaussienentréesuresouleurs :

R G B

Lereouvrementdesréponsesauxsignauxpermetauerveaudereonstituertouteouleuràpartirdel'am-

plitudedestimulationdestrois typesdedéteteurdel'÷il. Ceipermetégalementdeonstruiren'importe

quelleouleur(enpereption)àpartird'une superposition detrois signauxde fréquenesorrespondantes

auxtrois ouleursprimaires.

Au niveaudessignauxaoustiques,lapereptiondel'oreilledistinguedeuxas:

desfréquenesaudessusde50Hzsontperçuesommeunenote.

Ainsi la desription dans le domaine temporel d'un signal aoustique est tout à fait pertinente si la

fréqueneest perçues ommeun rythme, parontre une desription dans ledomaine de lafréquenesera

pluspertinente pourlessignauxperçusommedesnotesetdontl'évolutiontemporellen'estpasdistinguée

parl'oreille.Nousreviendronssurladesriptiondessignauxenfréquenes.Lessonssontgénéralementlassés

entroisouleurs:

grave médium aigu

50

^à

500

^Hz

500

^à

5000

^Hz

5

^à

20

^kHz

Leontinuumdesfréquenesaoustiquesperçuespardesnotesesttraditionnellementquantié:onremplae

eontinuumparunesériedefréquenesdéterminées,remplaçantlaglissadehromatiqueontinue parun

shémaenpaliers:

do ré mi fa sol la si do f

Dansle système oidental lespalierssontappelé tons. Deux tonsonséutifs sonttelsque lerapport des

fréquenessoit

f 2

f 1

≃ 9 8

Ainsil'éartenfréquenesentredeuxtonsonséutifsn'estpasonstantetdépenddelafréqueneinitiale:

∆f

f 1 ≃ ¹ ₈

^{. La} quantiation oidentale prend également en ompte des demi-tons (exemple entre do et do

♯

^{ou entre ré et ré}

♭

^{), es demi-tons sont dits} hromatiques. Il y a don entre deux notes d'un lavier (entre deux touhesblanhes)unton(sauf entre le miet le faet entre lesi et ledo pour lesquelsil n'y a

qu'undemi-tonditdiatomique).Lesdemi-tonshromatiquessontportésparlestouhesnoires.Laréférene

(l'origine)pourettequantiation,appeléele diapason,est donnéparle ladu3ème otavequi setrouve

à

f diapason = 440Hz

^.Pluspréisément,laquantiationoidentale(moderne,ditegammetempérée)est donnéeparlaformule

f n oct ,n ton = f diapason × 2 ^{n oct −3+ nton}

−10 12

où

n oct ∈ Z

est lenumérodel'otaveet

n ton = 1, ..., 12

^{estlenumérodelanote:}

note do do

♯

^{ré ré}

♯

^{mi fa fa}

♯

^{sol sol}

♯

^{la la}

♯

^si

ré

♭

^mi

♭

^sol

♭

^la

♭

^si

♭

n ton

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}

f 3,n ton

^{(Hz) 261.63 277.18 293.66 311.13 329.63 349.23 369.99 392 415.3 440 466.16 493.88}

Letraitementnumériquedessignauxnéessiteaussiunequantiation(soitenfréquene,soitentemps)du

faitquelessystèmesinformatiquesdoiventreprésenterlessignauxpardessériesde0etde1.Lesproblèmes

de représentation disrète des signauxsera vu ultérieurement dans e ours. Ilreste intéressant de noter

que la représentation des signaux aoustiquesperçus en fréquene par unsystème physique limité tel un

instrument de musique (ave un nombreni de ordes ou de hambres de résonanes) et parun système

informatiquenedièrentquetrèspeu.

1.2.2 Pereption de l'amplitude et de l'enveloppe

L'÷il ommel'oreille nesont pardiretement sensibles àl'amplitude d'un signal mais àson intensité.

Celle-i dans leas simpled'un signal monohromatique

f (t) = E cos(ωt + φ)

^est

I = E ²

^{.An que ette}

opération passantdu signal

f

^{àson intensité soit lairement dénie, il est utile de passerà des notations}

omplexes(

ı ² = −1

^):

f (t) = Ee ^ı(ωt+φ)

Lesignalréel étantobtenu ommelapartieréelledusignalomplexe.Onaalors

I = |f (t)| ²

Cettenotationomplexe estpartiulièrementutilepourreprésenterleseetsd'interférenes:

f (t) = E 1 e ^{ı(ω 1 t+φ 1 )} + E 2 e ^{ı(ω 2 t+φ 2 )}

I(t) = |f (t)| ²

= E ₁ ² + E ₂ ² + E 1 E 2

e ^{ı((ω 1 −ω 2 )t+φ 1 −φ 2 )} + e ^{−ı((ω 1 −ω 2 )t+φ 1 −φ 2 )}

= I 1 + I 2 + 2E 1 E 2 cos ((ω 1 − ω 2 )t + φ 1 − φ 2 ) 6= I 1 + I 2

L'intensité d'une superposition de deux fréquenes n'est don pas la somme des intensités mais ette

sommemoduléeparunterme d'interférenes 2

.

Cette pereption de l'intensité plutt que de l'amplitude est due au fait que les systèmes physiologiques

sont sensiblesàl'énergie reçue dusignal. Orl'intensité est l'énergie reçue parunité de temps d'un signal.

L'énergietotaleportéeparunsignalestdon:

E f = Z ∞

−∞

|f (t)| ² dt

Onintroduitégalementlapuissanemoyennetransportéeparunsignal:

P f = lim

T →+∞

1 T

Z T /2

−T /2

|f (x)| ² dx

Onnoteraennquelessystèmesphysiologiques(l'÷ilet l'oreille)présententune réponselogarithmique

àl'intensité des signaux.Pouraugmenter la pereption de lahauteur d'un signal d'uneunité (une dB) il

fautmultiplierl'intensitédusignalpar10.

Lorsqu'un son présente une modulation d'enveloppe, la pereption de ette modulation est diérente

enfontiondelavitesse deettemodulation. Parexempledesmodulations périodiquesde fréquenesde

l'ordrede10Hzserontperçuesommedesmodulationspériodiquesdel'intensitéduson(onsupposeiique

lesfréquenesdelaporteusesontdel'ordrede100Hzet sontdonperçuesommedes notes).Demanière

générale si la durée sur laquelle une modulation de l'enveloppe est signiative, est très supérieure à la

périodedelaporteuse,lamodulationestperçueommeunemodulationdel'intensité.Pouruninstrument

demusique, egenre demodulationorrespondàl'attaquedelanote et àsahute(duréed'établissement

etdeltureduson).Ainsil'attaqueesttrèsbrutalepourunpianoettrès progressivepourunviolon.

Des modulations d'enveloppe sur des durées du même ordre que la période de la porteuse ne sont plus

distinguées par l'oreille omme des modulations temporelles dans l'intensité. Ces modulations sont alors

perçuesommelatexture duson:exempleentre unenotedepianoquiest trèspure(enveloppeplate)et

unenotedeguitareéletrique(enveloppeprésentantbeauoupd'osillations).

1.2.3 Pereption de la phase

La phase dessignaux (optiques et aoustiques) n'estpas diretement perçus.Cei est évident puisque

elle-i est arbitraire (elle dépends du hoix de l'origine

t = 0

^{du temps). La phase n'est don pas une}

quantitéphysique,parontreladiérenedephaseaelleunsensphysique(voirparexemplelaformuledes

interférenes).Unediérenedephasepeutdonêtreperçueàonditiond'avoiruneréeptionstéréosopique.

Pourlessignauxoptiques,l'÷il droitet l'÷ilgauhereçoiventainsid'un mêmepointhaununsignalqui

nesediéreniequeparleursphases,elles-idépendentduheminparouruparlesignal:

2

onnoteraqu'ilestpossibledesepasserdesnotationsomplexespourreprésenterlephénomèned'interférenes,néanmoins

elui-iprésenteunestruturemathématiqueidentiqueàelledesnombresomplexes:

|z 1 + z 2 | ² = |z 1 | ² + |z 2 | ² + 2ℜ(z 1 z 2 )

^.

k 1 k 2

f droit (t) = Ee ^ı(ωt+

R

C 1

~ k 1 ·d~ ℓ+φ 0 )

f gauche (t) = Ee ^ı(ωt+

R

C 2

~ k 2 ·d~ ℓ+φ 0 )

⇒ ∆φ = Z

C 2

~k 2 · d~ℓ − Z

C 1

~k 1 · d~ℓ

Plus le pointsoure est loin moinsla diéreneentre leshemins parourusest grande et donplus la

diérene dephase gauhe/droiteest faible. Ainsile erveauinterprète ladiérene de phase ommeune

mesuredeladistanedelasoure;equi permet lavisionà3dimensions.

Pourlessignauxaoustiquesleprinipe estle même, diérenedephaseet intensité des signauxentre

lesoreilles droite et gauhe permettent derepérer laposition spatialede lasoure. Néanmoinse système

physiologiqueest moinseaequepourlessignauxoptiques(d'oùlamultipliationdesystèmesaudio5.1

remplaçantlessystèmesstéréolassiques).

1.3 Struture mathématique de l'espae des signaux et distribu-

tions

1.3.1 L'espae des signaux physiques

L ² ( R , dt)

On a vu qu'un signalest représenté par une fontion du temps à valeurs dans

C

(an de représenter les interférenes). De plus on doit pouvoiradditionner deux fontions représentant des signaux (pour les

superposer). Et enn,on avu que l'intégrale du module arréreprésentait l'énergie portée parun signal,

elle-idevantêtrenie,lesfontionsdoiventêtredearrésommable:

Z +∞

−∞

|f (t)| ² dt < +∞

Dénition2. L'ensembledesfontionsàvaleursomplexesde arrésommable,muni d'unestrutured'es-

pae vetoriel (addition desfontions etmultipliationd'une fontion parunsalaire)et dela norme :

kf k =

sZ +∞

−∞

|f (t)| ² dt

est noté

L ² ( R , dt)

^{(après avoir identié les fontions qui ne se diérenient que pour un nombre ni de}

points).

L ² ( R , dt)

^{estunespaede Hilbert,'estàdireque sionsedonne unesuite designaux}

(f n (t)) n∈ N

^telle

queladiéreneentredeuxsignauxonséutifs devientnulleàlalimite:

n→∞ lim kf n+1 − f n k = 0

alorsilexisteunsignallimite

f (t) ∈ L ² ( R , dt)

^telque

n→∞ lim kf n − f k = 0

1.3.2 Pereption intégrée et signaux réalistes

Un déteteurdesignauxréalistenedétete pasunsignalinstantanément,maisintègrelesignalsurune

période

T

^:

f (t) → f p (t) =

 

 



 

 

1 T

R T

0 f (t ^′ )dt ^′

^si

t ∈ [T, 2T ]

1 T

R 2T

T f (t ^′ )dt ^′

^si

t ∈ [2T, 3T ]

1 T

R 3T

2T f (t ^′ )dt ^′

^si

t ∈ [3T, 4T ] ...

Depluslaréponseduréepteursurunepériodederéeptionn'estpasnéessairementplane,maispeutêtre

unefontion. D'unemanièregénérale,unsystèmede réeptionintégratifest représenté parune fontion

g

tellequelerésultatdelapereptionest

hg|f i = Z ∞

−∞

g(t)f (t)dt

Uneréponseplaneestdonnéeparlafontionporte:

Π(t) =

( 1

^si

|t| < ¹ ₂ 0

^sinon

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 ÛH t L

danseas,onintègrelesignalsurune fenêtre:

hΠ|f i = Z 1/2

−1/2

f (t)dt

Lesfontionsqui représententdonlesréponsesdessystèmesàunsignalsontelles-mêmesdessignaux,

maisquiappartiennentàunelasseplusréduiteque

L ²

^{.Eneetsesontdesfontionsàsupportborné('est}

àdire qu'ilexiste

a

^et

b

^dans

R

tels que

f (t) = 0 ∀t < a

^et

∀t > b

^{). On note et ensemble}

D( R , dt)

^{. Les}

fontionsàsupportborné sontenfaitlessignauxréalistesdupointdevuephysique,

a

représentantladate dedébutd'émissiondusignalet

b

^landel'émission.Alorsquedans

L ²

^{setrouvedessignauxquisontémis}

depuistoujours(

t → −∞

^{)etdontl'émissionnes'arrêtejamais}

t → +∞

^.

1.3.3 Idéalisation des signaux

Considéronslesfontions

Π n (t) = nΠ(nt) =

( n

^si

|t| < _2n ¹ 0

^sinon

Cesontdessignauxréalistes(

Π n ∈ D

⁾orrespondantàunefenêtred'intégrationquidevientdeplusenplus faibleave

n

^.Unsignal

f ∈ L ²

^{estdonintégréomme}

hΠ n |f i = Z ∞

−∞

Π n (t)f (t)dt = Z _2n ¹

− _2n ¹

nf (t)dt = n

F ( 1

2n ) − F(− 1 2n )

où

F

^{estune primitivede}

f

^.

Enfaisanttendre

n

^{versl'inni,onaunefenêtre quidevientdeplusenplusfaiblepourseonentrersurle}

point

t = 0

^{.Onpeutdonpenserqu'enintégrantlesignalsurunefenêtredeplusenplusourte,lerésultat}

tendeverslavaleurdusignalen0.Eneet:

n→∞ lim hΠ n |f i = lim

n→∞

Z +∞

−∞

Π n (t)f (t)dt

= lim

n→∞ n (F (1/(2n)) − F(−1/(2n)))

= lim

h→0

F (0 + h/2) − F (0 − h/2) h

= F ^′ (0)

= f (0)

Unsystèmeparfait(lalimite

n → ∞

^{)quimesurelesignalàl'instant}

t = 0

^devraitdonorrespondreà:

hδ|f i = f (0)

où

δ

^{serait la fontion du signal} impulsionnel que l'on obtiendrait si on pouvait intervertir la limite et l'intégrale:

n→+∞ lim Z +∞

−∞

Π n (t)f (t)dt = Z ∞

−∞

δ(t)f (t)dt

Bien entendu la limite et l'intégrale ne peuvent pas être interverties, et l'objet

δ

^{n'est pas une fontion}

(

δ(t) = 0 ∀t 6= 0

^et

δ(0) = ∞

^).

L'objet

δ

^{estequel'onappelleune}distribution(

δ

^estladistributiondeDira),etonditque

δ

^estlalimite

faiblede

Π n

^:

w

lim

n→∞ Π n (t) = δ(t) ⇐⇒ lim

n→∞

Z ∞

−∞

Π n (t)f (t)dt = Z +∞

−∞

δ(t)f (t)dt = f (0) ∀f ∈ L ²

-1-0.75 -0.5 -0.25 0.250.50.75 1 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 ÛH 4 t L

-1-0.75 -0.5 -0.25 0.250.50.75 1 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ä ₂ HtL

-1-0.75 -0.5 -0.25 0.250.50.75 1 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ä ₃ HtL

-1-0.75 -0.5 -0.25 0.250.50.75 1 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

∆ HtL

L'ensemble des distributions (ensemble des limites faibles des signauxréalistes) est noté

D ^′ ( R , dt)

^{. Le}

passagedes fontions aux distributions (des fontionsgénéralisées ave des propriétés étranges omme

δ

⁾

traduitlefaitquel'onproèdeàuneidéalisation(auunsystèmephysiqueréelneprésenteunsignalimpul-

sionnelmaisaumieux unsignalémissurunefenêtre temporellefaible).

Notons que les signaux fondamentaux que l'on a onsidérés dans la setion préédente

f (t) = Ee ^ı(ωt+φ)

ne sont pas dessignaux physiques puisque

kf k = +∞

^{mais des}idéalisations de signaux du type

f n (t) = Π(t/n)Ee ^ı(ωt+φ)

^{pourlesquels:}

kf n k ² = Z n/2

−n/2

E ² dt = nE ² < ∞

w

lim

n→∞ f n (t) = f (t)

Cessignauxidéaliséessontdondesdistributionspartiulières,assimilablesàdesfontionsquine sontpas

dearrée sommable(signaux transportantune énergieinnie) quel'on appelledes distributions régulières

(lesdistributions quinepeuventpasêtreassimiléesàdesfontionsomme

δ

^{sontappelées}singulières).

Lorsquel'onveutune impulsionenpoint

t 0

^diérantde

0

^,onutiliseladistribution

δ t 0 (t) = δ(t − t 0 )

^:

hδ t 0 |f i =

Z +∞

−∞

δ(t − t 0 )f (t)dt = f (t 0 ), ∀f ∈ L ²

Dualité temps-fréquene : série et

transformée de Fourier

Commeonl'avu, lessignauxpeuventêtreperçussoitentempssoitenfréquene.Ilestdonnéessaire

de pouvoirreprésenter en temps

t

^(en

s

^{) et en fréquene}

ν

^(en

s ⁻¹

^{= Hz)et de pouvoirpasser de l'un à}

l'autre.C'est lebut deehapitre.

2.1 Série de Fourier d'un signal périodique

Considéronsunsignalpériodiqueélémentaire:

f (t) = Ee ^ı(ωt+φ)

Il est lair puisque e signal n'est omposée que d'une seule fréquene

ν 0 = _2π ^ω

^{, que dans l'espae des}

fréqueneslesignalserareprésentéparunefontionn'indiquantquelavaleur

ν 0

^{,'estàdireune}distribution deDira:

f (t) = Ee ^ı(ωt+φ) ↔ f ˆ (ν) = Ee ^ıφ δ(ν − ν 0 )

Lepassagedelareprésentationdusignalentemps

f

^àsa représentationenfréquene

f ˆ

^{est appeléetrans-}

forméedeFourier(onnote

f ˆ (ν) = TF[f ](ν)

^et

f (t) = TF ⁻¹ [ ˆ f ](t)

⁾

Pourunsignalpériodiquequelonque,ondémontrelerésultatsuivant:

Théorème1. Soit

t 7→ f (t)

^unefontion

T

-périodique(

f (t + T ) = f (t)

^,

∀t

^{).Alorsonpeutérire}

f

^sousla

forme d'unesérie :

f (t) = X +∞

k=−∞

c k e ^{ı2πkν 0 t}

ave

c k = 1 T

Z T /2

−T /2

f (t)e ^{−ı2πkν 0 t} dt

et

ν 0 = _T ¹

Dénition3.Soit

f

^unefontion

T

-périodique,l'ensembledesoeients

c k

^deladéompositionpréédente estappelé spetreenfréquenesdusignal

f

^.

La déomposition en série de Fourierdéompose le signalpériodique en une superposition de signaux

élémentairesdontlesfréquenessontdesmultiplesdelafréquenedepériodiité.Lespetredisret

{c k , k ∈ Z }

^{représenteainsilepoidsdehaundessignaux}élémentairesdansladéomposition.

Deettedéomposition,ontirelareprésentationenfréquenes d'unsignalpériodique :

f (t) =

+∞ X

k=−∞

c k e ^{ı2πkν 0 t T F} −−→ f ˆ (ν) =

+∞ X

k=−∞

c k δ(ν − kν 0 )

Dénition4. Soitunefontion

T

-périodique

f

^.

ν 0 = _T ¹

^{estappelée fréquene}fondamentale de

f

^.Lesfon-

tions

t 7→ c k e ^{ı2πkν 0 t}

^ave

k ∈ Z

,sontappeléesharmoniques de

f

^.

|c k | ²

^{estlepoidsde la}

k

^{-ièmeharmonique}

danslesignal

f

^.

Dansunson,'estlapréseneetlepoidsrelatifdesdiérentesharmoniquesquimodieletimbre(equi

diérenieunLa440Hzd'uneguitare,dumêmeLad'uneûte).

-2 -1 1 2 t

1 2 3 4 Re@fHtLD

-15 -10 -5 5 10 15 Ν

0.2 0.4 0.6 0.8 TF@fDH 1 Ν L

Partie réellede

f (t) = P +∞

k=−∞

1

|k|! e ^ı2πk3t

^et

f ˆ (ν)

2.2 Transformée de Fourier d'un signal quelonque

Lorsqu'un signal présente une périodiité, on a vu que l'on pouvait représenter elui-ià l'aide d'une

sommedisrètesurlessignauxélémentaires

e ^ı2πνt

^{pourlesfréquenes}

ν

^{multiplesdelafréquenefondamen-}

tale. En l'absene de périodiité, il est lair que le signalne vase déomposersur un ensemble disret de

fréquenesmaissurtoutleontinuum.En utilisantunedéompositionsurtouslessignauxélémentaires,on

trouveladénitiongénéraledelatransforméedeFourier:

Dénition5. Soit

f ∈ L ² ( R , dt)

^,ondénitla transforméede Fourierdusignal

f

^par1

f ˆ (ν) = TF[f ](ν) =

Z +∞

−∞

f (t)e ^−ı2πνt dt

ave

f (t) = TF ⁻¹ [ ˆ f ](t) = Z +∞

−∞

f ˆ (ν)e ^ı2πνt dν

Danseas, lespetreenfréquenesde

f

^estlafontion

ν 7→ f ˆ (ν)

^.

Théorème 2(FormuledePareval-Planherel). Soit

f, g ∈ L ² ( R , dt)

^{deuxsignaux. Alorsona}

Z +∞

−∞

g(t)f (t)dt = Z +∞

−∞

ˆ

g(ν) ˆ f (ν)dν

⇐⇒ hg|f i = hˆ g| f ˆ i

De la formule de Pareval-Planherel on tire que l'énergie totale transportée par un signal, peut être

aluléesoit àpartirdesareprésentationentemps soitàpartirdesa représentationenfréquene:

E f = Z +∞

−∞

|f (t)| ² dt = Z +∞

−∞

| f ˆ (ν )| ² dν

On a déjà dit que

t 7→ |f (t)| ²

^{était la densité d'énergie par unité de temps} transportée par le signal.La fontion

ν 7→ S f (ν) = | f ˆ (ν)| ²

^{estl'énergie parunité defréquene}transportéepar lesignal.Autrementdit

S f (ν )dν = | f ˆ (ν)| ² dν

^{estl'énergie}transportéedanslesfréquenesde

ν

^à

ν + dν

^parlesignal.

Dénition6. Onappelle lafontion

ν 7→ S f (ν) = | f ˆ (ν)| ²

^{densité spetraled'énergie (DSE).}

1

enfaitette dénitions'appliqueà

D

^,ledomainedel'opération

TF

^{estensuiteétenduà}

L ²

^{parpropriétédeslimites}

2.3 Propriétés des transformées de Fourier

•

^Linéarité:

∀α, β ∈ C , ∀f, g ∈ L ² TF[αf + βg](ν) = αTF[f ](ν) + β TF[g](ν)

⇐⇒ αf \ + βg = α f ˆ + β g ˆ

•

Transpositionetonjugaison :

∀f ∈ L ² f ^T (t) = f (−t) TF[f ^T ](ν ) = ˆ f(−ν)

∀f ∈ L ² TF[f ](ν) = ˆ f (−ν )

•

^{Changementd'éhelle:}

∀f ∈ L ² , ∀α ∈ R ^∗ TF[f (αt)] = 1

|α| f ˆ ( ν α )

•

Translation:

∀f ∈ L ² , ∀t 0 ∈ R TF[f (t − t 0 )] = e ^{−ı2πνt 0} f ˆ (ν )

•

^{Modulationdephase:}

∀f ∈ L ² , ∀ν 0 ∈ R TF[e ^{ı2πν 0 t} f (t)] = ˆ f (ν − ν 0 )

•

Dérivations:

∀f ∈ L ² , TF[f ^′ ](ν) = f b ^′ (ν) = c df

dt (ν) = 2ıπν f ˆ (ν)

∀f ∈ L ² , ∀n ∈ N ^∗ , TF[f ⁽ⁿ⁾ ](ν) = f d ⁽ⁿ⁾ (ν) = d d ⁿ f

dt ⁿ (ν) = (2ıπν) ⁿ f ˆ (ν )

∀f ∈ L ² , ∀n ∈ N ^∗ , g(t) = (−2ıπt) ⁿ f (t) TF[g] = ˆ f ⁽ⁿ⁾ (ν ) = d ⁿ f ˆ dν ⁿ (ν)

2.4 Transformées de Fourier lassiques

f (t) TF(f )(ν) = ˆ f (ν)

Π(t) sin(πν)

πν = sinc(πν )

δ(t) 1

1 δ(ν)

e ^{ı2πν 0 t} δ(ν − ν 0 )

cos(2πν 0 t) δ(ν − ν 0 ) + δ(ν + ν 0 )

2

sin(2πν 0 t) δ(ν − ν 0 ) − δ(ν + ν 0 )

2ı

e ^{−πt 2} e ^{−πν 2}

e ^−|α|t 2α

α ² + 4π ² ν ² vp[ 1

t ] −ıπsgn(ν)

sgn(t) − ı

π vp[ 1 ν ]

H (t) 1

2 δ(ν) − ı 2π vp[ 1

ν ]

lafontionsigneétantdéniepar

sgn(t) =

 



 

−1

^si

t < 0

0

^si

t = 0

+1

^si

t > 0

ladistributionvaleurprinipaleestdénie par

∀f ∈ L ² , hvp[ 1

t ]|f i = lim

ǫ→0

Z

]−∞,−ǫ[∪]+ǫ,+∞[

f (t) t dt

⇐⇒ vp[ 1

t ] =

^w

lim

ǫ→0

1

t (1 − Π( t 2ǫ ))

etlafontiondeHeavisideest déniepar

H (t) =

 



 

0

^si

t < 0

1

2

^si

t = 0

+1

^si

t > 0

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 t

-4 -2 2 4 1t

-3 -2 -1 1 2 3 Ν

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

sgnH 1 Ν L

-1 1 2 3 t

2 4 6 8 10 e ^{- È Α Èt}

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Ν

0.2 0.4 0.6 0.8 1

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ 2 Α Α 2 + 4 Π ² Ν 2

-3 -2 -1 1 2 3 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1 e ^{-Πt 2}

-3 -2 -1 1 2 3 Ν

0.2 0.4 0.6 0.8 1 e ^{-ΠΝ 2} -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 t

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 cosH2ΠΝ 1 0 tL

-6 -4 -2 2 4 6 Ν

0.5 1 1.5 2 2.5 TF@cosH2ΠΝ 3 0 tLD

-4 -2 2 4 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1

∆ HtL

-4 -2 2 4 Ν

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 TF@ ∆ D -1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 t

0.2 0.4 0.6 0.8 ÛHtL 1

-6 -4 -2 2 4 6 Ν

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 sincH 1 ΠΝ L

2.5 Transformée de Fourier d'un signal spatial

Un signal spatial

(x, y) 7→ f (x, y)

⁽

(x, y)

^en

m

^{) ommeune image possèdeaussi une} représentationen fréquenesspatiales

(ν x , ν y )

^(en

m ⁻¹

^{).Dans easla}transforméedeFourierest

TF[f ](ν x , ν y ) = ˆ f (ν x , ν y ) = Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f (x, y)e ^{−ı2π(ν x x+ν y y)} dxdy

Traitement du signal : onvolution,

ltrage et fontions de transfert

Dans ehapitre,ons'intéresseautraitementdessignauxparunsystèmeanalogiqueouàl'eetqu'un

systèmeintermédiaireasurunsignal:

signald'entrée

−→

^{système traitantlesignal}

−→

^{signaldesortie}

exemple: signaléletrique

−→

haut-parleur

−→

^{signalaoustique}

Dans et exemple le système sert à onvertir la nature physique du signal.Un tel système s'il était idéal

n'aeteraitpaslesignallui-même(maisseulementsonsupportphysique);maisdanslaréalité,lessystèmes

derestitution modient lesignalàause de leursimperfetionset deleurs limitationsphysiques.Dans e

asletraitementdusignalestenfaitunealtérationdusignalparlesystème.

Maisdansd'autresexemples,lamodiationdusignalparlesystèmeestlebut reherhé:

exemple2:uneguitareéletrique,

signaléletro-aoustiqueissudesordes

−→

^{pédalededistorsion}

−→

^{signaldistordu}

Il va don s'agir de modéliser mathématiquement l'eet d'un système de traitement du signal par un

opérateur

H

^:

f in (t) −→ ^H f out (t)

oudanssareprésentationenfréquene:

f ˆ in (ν ) −→ ^{H ˆ} f ˆ out (ν)

3.1 Filtrage et fontions de transfert

Considéronsunsignald'entrée

ν 7→ f ˆ in (ν)

^{dans unsystèmequi vaavoirpoureetdeneonserverque}

lesfréquenes setrouvantentre

[ν 0 − ∆ν, ν 0 + ∆ν]

^{('est parexempleleas en}téléphonie, onneonserve quelesfréquenesmédiumslesmieuxperçuesparl'oreilleandelimiterlaquantité d'informationsà

transmettre),onaalors

f ˆ in (ν) −→ ^{H ˆ} f ˆ out (ν) =

( f ˆ in (ν)

^si

ν ∈ [ν 0 − ∆ν, ν 0 + ∆ν]

0

^sinon

Unetelleopérations'appelleunltrage.On voit quedans eas,l'opérationonsistantàne onserverque

ertainesfréquenespeutêtreériteommesuit:

f ˆ out (ν ) = ˆ f in (ν)Π

ν − ν 0

2∆ν

L'opérateuronsistedon àmultiplier le signald'entrée parlafontion porte

ν 7→ Π((ν − ν 0 )/(2∆ν ))

^.

D'une manière générale, un ltrage peut au lieu de supprimer ertaines fréquenes, se ontenter des les

atténuer.Demêmeertainesfréquenespourraientêtreampliées.Ainsi,onadansl'espaedesfréquenes:

Dénition 7. L'ation d'un système de ltrage sur un signal représenté en fréquene est donnée par la

multipliation dusignal d'entréeparune fontion

ν 7→ H ˆ (ν ) ∈ D( R , dν)

^:

f ˆ out (ν ) = ˆ f in (ν) ˆ H (ν)

Lafontion

H ˆ

^{estappeléefontion detransfert.}

Un exempleintéressantdefontiondetransfertesteluidultrepasse-bas:

H(ν) = Π ˆ ν

2ν c

Ce ltre supprimetoutes lesfréquenesau dessus de

ν c

⁽

ν c

^{est appelé fréquenede oupuredu ltre).}

Onreviendrasuretexempleplustardaril posedesproblèmesphysiques.

3.2 Produit de onvolution

Onavu omment estmodéliséletraitementd'unsignaldanssa représentationen fréquenes.On s'in-

téressemaintenant àla représentation en temps d'un traitement du signal. On sait que le passage d'une

représentationàuneautresefaitàl'aidedelatransforméedeFourier.Onmontrelerésultatsuivant:

Théorème 3. Soient

f , ˆ g ˆ ∈ L ² ( R , dν)

^,alors

TF ⁻¹ [ ˆ f ˆ g](t) =

Z +∞

−∞

f (ξ)g(t − ξ)dξ

où

f = TF ⁻¹ [ ˆ f ]

^et

g = TF ⁻¹ [ˆ g]

^.

Dénition8. Onappelle produitde onvolution, la loide omposition

∗ : L ² × L ² → L ²

^déniepar

f (t) ∗ g(t) =

Z +∞

−∞

f (ξ)g(t − ξ)dξ

Onadon

TF[f ∗ g](ν ) = ˆ f(ν)ˆ g(ν) TF ⁻¹ [ ˆ f ˆ g](t) = f (t) ∗ g(t)

Onadonpourletraitementdusignal:

f ˆ out (ν ) = f in (ν) ˆ H (ν)

f out (t) = TF ⁻¹ [ ˆ f out ](t)

= TF ⁻¹ [ ˆ f in H ˆ ](t)

= Z +∞

−∞

f in (ξ)H(t − ξ)dξ

= f in (t) ∗ H (t)

où

H

^est transforméedeFourierinversedelafontiondetransfert.Onadon

Dénition9. L'ationd'unsystème de traitementdusignal représenté entempsest donnéeparleproduit

de onvolutiondusignal d'entréeparune fontion

t 7→ H (t) ∈ D( R , dt)

^:

f out (t) = f in (t) ∗ H(t)

Lafontion

H

^{estappeléeréponse} impulsionnelle dusystème.

Onappelle

H

^réponseimpulsionnellearladistributiondeDira(uneimpulsiontemporelle)estl'élément neutreduproduitdeonvolution:

δ(t) ∗ H (t) = Z +∞

−∞

δ(ξ)H(t − ξ)dξ = H (t)

Ainsisi lesignalenentréeestuneimpulsion

f in (t) = δ(t)

^{,lesignaldesortieseralaréponse}impulsionnelle

ψ out (t) = H(t)

^.

3.3 Propriétés du produit de onvolution

•

^{Élémentneutre:}

∀f ∈ L ² f (t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ f (t) = f (t)

•

Commutativité:

∀f, g ∈ L ² f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t)

•

Assoiativité:

∀f, g, h ∈ L ² f (t) ∗ (g(t) ∗ h(t)) = (f (t) ∗ g(t)) ∗ h(t) = f (t) ∗ g(t) ∗ h(t)

•

^Linéarité:

∀f, g ∈ L ² , ∀α, β ∈ C f (t) ∗ (αg(t) + βh(t)) = αf (t) ∗ g(t) + βf(t) ∗ h(t)

3.4 Le problème de la ausalité

Reprenonsl'exempledultrepasse-basparfait,sa fontiondetransfert est

H(ν) = Π ˆ ν

2ν c

Onadonpourréponse impulsionnelle:

H (t) = TF ⁻¹ [ ˆ H ](t) = sin(2πν c t) πt

D'où, si

f in (t) = δ(t)

^,

f out (t) = ^sin(2πν _πt ^{c t)}

^{. Don}

f out (t) 6= 0

^pour

t < 0

^{, on reçoit le signalavant que}

elui-in'aitété émis!An dene pasviolerle prinipede ausalité,unltretemps réel doitdonvérier

H(t) = 0

^,

∀t < 0

^{.Ilfautdonveilleràeque}

H(t) = H 0 (t) H (t)

où

H 0

^{estuneréponse} impulsionnellequelonque.Onaalors

H ˆ (ν ) = 1

2 H ˆ 0 (ν) − ı

2π H 0 (ν) ∗ vp[ 1 ν ]

= 1

2 H ˆ 0 (ν) − ı 2π lim

ǫ→0

Z

R \[−ǫ,ǫ]

H 0 (ξ) ξ − ν dξ

3.5 Corrélation

Onrappellequeladensitéspetraled'énergied'unsignal

f

^{est donnéepar}

S f (ν) = | f ˆ (ν)| ²

Ons'intéresseàl'équivalentdelaDSEdansl'espaedutemps :

R f (t) = TF ⁻¹ [S f ](t) = f (t) ∗ f (−t) = Z +∞

−∞

f (ξ)f (ξ − t)dξ

Dénition10. Lafontion

R f = f ∗ f ^T

^{estappelée fontion}d'autoorrélationde

f

^.

R f (0) = Z +∞

−∞

|f (ξ)| ² dξ = E f

en0lafontiond'autoorrélationestl'énergietotale dusignal.Supposons que

f

^soit

T

-périodique,alors

R f (T ) E f

= 1

E f

Z +∞

−∞

f (ξ)f (ξ − T )dξ

= 1

E f

Z +∞

−∞

f (ξ)f (ξ)dξ

= 1

R f (T )/R f (0) = 1

^{traduit le fait que}

f (t − T ) = f (t) ∀t

^{. En fait la fontion} d'autoorrélation normée

t 7→ R f (t)/R f (0)

^mesurelaressemblanedusignaloriginelavelesignaltranslatédansletempsd'unedurée

t

^{(retardé de}

t

^si

t > 0

^{ou avané de}

|t|

^si

t < 0

^).

R f (t)/R f (0) ≤ 1

^,

= 1

^{si le signaltranslaté est égale}

au signal originel.

R f

^{permet don de repérer la régularité d'un signal, des motifs répétés, et... Elle est}

partiulièrementutilepourrepérerrégularitéset motifsdansunsignaltrèsbruité.

Onpeutgénéraliserenherhantàétudierlaressemblaneentredeuxsignauxquelonques:

Dénition11. Soient,

f, g ∈ L ²

^{deuxsignaux. Onappellefontion} d'interorrélationdessignaux

f

^et

g

^la

fontion

R f g (t) = f (t) ∗ g(−t) = Z +∞

−∞

f (ξ)g(ξ − t)dξ

Danseassi lesignal

g

^{est enfaitlesignal}

f

^{retardéd'unlapsdetemps}

T

^,onaura

R f g (T )

p R f (0)R g (0) = 1

La fontion d'interorrélation normée

R f g (t)/ p

R f (0)R g (0)

^{permet de mesurer la} ressemblane de deux signaux. En partiulier,

f

^et

g

^se ressemblent le plus lorsque

g

^{est translaté dulaps de temps}

T

^{tel que}

R f g (T )/ p

R f (0)R g (0)

^{soit maximal.}

3.6 Exemples de traitement du signal

3.6.1 Moyenne glissante

Ils'agitdelaréponse impulsionnelle:

H(t) = Π(αt), α ∈ R

etdondelafontiondetransfert

H ˆ (ν) = sin( ^πν _α ) πν

f out (t) = f in (t) ∗ H (t)

=

Z +∞

−∞

f in (t)Π(αt − αξ)dξ

=

Z t+ _2α ¹ t− _2α ¹

f in (ξ)dξ

Cettetransformationquimoyennelesignalautourdehaquepoint

t

^{surunefenêtrede}

± _2α ¹

^{,lisse lesignal}

ensupprimantlesvariationsqui sedéroulentsuruneduréeinférieureà

1 α

^.

3.6.2 Optique de Fourier

Un système d'imagerie peutêtrereprésenté parune fontion detransfert

H(ν ˆ x , ν y )

^{. Ainsiune image à}

traversunsystèmeoptiquevérie:

I out (x, y) = I in (x, y) ∗ H (x, y)

⇐⇒ I ˆ out (ν x , ν y ) = ˆ I in (ν x , ν y ) ˆ H (ν x , ν y )

Onmontrequ'enélairageohérent,l'amplitudedelatahededirationest laTFinversedelapupille.

Pourunobjetpontuelenposition

(x 0 , y 0 )

^{vueàtraversune lentille,ona}

I in (x, y) = δ(x − x 0 )δ(y − y 0 )

H ˆ (ν x , ν y ) = circ





q ν _x ² + ν _y ² ν c





où

circ(r) =

( 1

^si

r ≤ 1 0

^sinon

ν c = sin(θ max )

γλ

θ max

^{étantl'anglequefaitlerayonissudel'objetparallèlel'axeoptiqueavelerayonleplusinlinéissude}

l'objetet passantàtraversla lentille;

λ

^{est lalongueurd'ondedurayonlumineux issude l'objet,}

γ

^{est le}

grandissementdelalentille.

H (x, y) = TF ⁻¹ [ ˆ H ](x, y) = J 1 (2π p

x ² + y ² ν c ) p x ² + y ² ν c

où

J 1 (z)

^{estlapremièrefontiondeBessel.}

D'où

I out (x, y) = (δ(x − x 0 )δ(y − y 0 )) ∗ H (x, y) = J 1 (2π p

(x − x 0 ) ² + (y − y 0 ) ² ν c ) p (x − x 0 ) ² + (y − y 0 ) ² ν c

Tahedediration=tahed'Airy

-15 -10 -5 5 10 15 r

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

J 1 H r L r

Éhantillonnage

4.1 Prinipe de l'éhantillonnage

Considérons

f ∈ L ² ( R , dt)

^{unsignal.Ils'agitd'unefontion ontinue(oupresquepartout ontinue)du}

tempsquel'onnepeutpasreprésentertellequelleeninformatique(queesoitpourgénérerlesignalparun

programmeinformatiqueoupouraquérirnumériquementunsignalanalogique).Ilvadonfalloirreprésenter

numériquement(parunesuitedenombre)lesignal,'estequel'onappelleunsignaléhantillonné.Onne

vadononserverle signalqu'à desinstantspartiuliers(ou àdespositionspartiulières si'est unsignal

spatial)

{..., t −2 , t −1 , t 0 , t 1 , t 2 , ...}

^{. Cettesuite de points est appelée} éhantillonnage. Poursimplier, on va supposerquel'éhantillonnageestpériodiqueetintroduire

T e

^lapérioded'éhantillonnage

t k = kT e

⁽

∀k ∈ Z

, onposedepluslaréféreneà

t 0 = 0

^).Lesignaléhantillonnéestdonlasuite

(f (kT e ), k ∈ Z )

^,quel'onpeut

représenterparladistribution

f e (t) =

+∞ X

k=−∞

f (t)δ(t − kT e ) = 1 T e

f (t) ⊔⊔

t T e

où

⊔⊔

^{est la}distributionpeigne deDira:

⊔⊔ (t) =

+∞ X

k=−∞

δ(t − k)

4.2 Représentation en fréquenes d'un signal éhantillonné

Soit

f ∈ L ²

^unsignalanalogique,

f e

^sonéhantillonnageet

T e

^lapérioded'éhantillonnage.Lareprésen- tationenfréquenedusignaléhantillonnéeest donnépar

1

f ˆ e (ν) = TF[f e ](ν)

= 1

T TF[f e ⊔⊔(./T e )](ν)

= f ˆ (ν) ∗ ⊔⊔ (T e ν)

=

+∞ X

k=−∞

f ˆ (ν ) ∗ δ(T e ν − k)

= 1

T e +∞ X

k=−∞

f ˆ (ν) ∗ δ(ν − k T e

)

Ainsi la représentation en fréquenes d'un signal éhantillonné en temps est un spetre périodique, la

périodespetralétant

ν e = _T ¹

e

.

1

TF[⊔⊔] = ⊔⊔

Théorème 4 (Théorèmede Shannon). Soit

f

^{un signal analogique dont la} représentation en fréquene

f ˆ

estàsupportborné.Pouronvertiresignal analogiqueen unsignal numériquesansperted'information, il

fautquela fréquened'éhantillonnage

ν e = _T ¹

e

soit auminimumdoublede lafréquenedeoupure

ν c

^de

f ˆ

^.

La fréquene de oupure étant dénie omme le plus petit réel positif

ν c

^{tel que}

f ˆ (ν) = 0

^si

ν > ν c

^{et si}

ν < −ν c

^.

Ceidéouledelareprésentationenfréquened'unsignaléhantillonné:

f ˆ e (ν) = ν e

X +∞

k=−∞

f ˆ (ν) ∗ δ(ν − kν e )

Ainsilemotifde

f ˆ (ν)

^{(quiestdetaille}

2ν c

^{)estreproduit}périodiquementpartranslationde

ν e

^surl'axedes

fréquenes.

•

^si

ν e > 2ν c

^{ilyaunvide entrelarépétitiondesmotifs,onaun}sur-éhantillonnage.

•

^si

ν e = 2ν c

^lesmotifss'enhaînentdiretementlesunsaprèslesautres,onaunéhantillonnageritique.

•

^si

ν e < 2ν c

^{lesmotifsvontse}superposer,lasuperpositiondesmotifs surleszonesdereouvrementde larépétition vaproduire desinterférenes spetrales,

f ˆ

^{ne seraplusorretementextratible de}

f ˆ e

^,

on adon perdu de l'information. On aun sous-éhantillonnage (repliement spetral, enoreappelé

reouvrementspetral).

Danslapratique,onnepeutpaséhantillonnéunsignalaveunnombreinnid'éhantillons.Soit

N ∈ N

lenombred'éhantillonseetivementutilisés. Onaalors

f e (t) = f (t) ⊔⊔(ν e t)Π ν e t

N

d'où

f ˆ e (ν) = ˆ f (ν) ∗ ⊔⊔ (T e ν) ∗ sin(πN T e ν) πν

Unéhantillonnageniprovoquedonuneatténuationdesfréquenesauxbordsdesmotifs

f ˆ

^(onsuppose

toujours que elle-i est bornée), atténuationqui peut porter sur très grande partdu motif si le nombre

d'éhantillonsestfaible.

4.3 Éhantillonnage réaliste : éhantillonneur-intégrateur

Considérons un signal analogique

f

^{porté par un support physique (ondes} aoustiques, ondes éle- triques,...)quel'onherheànumériser.Ondoitdondisposerd'unsystèmed'aquisitiondusignal.Physi-

quement,il estimpossibledefabriqueruntelsystèmequi soitapabledemesurerinstantanémentlavaleur

dusignal analogique. Autrement dit, il est impossible deonstruire unsystème physiquedont la réponse

impulsionnellesoit

δ

^{,maisseulementdessystèmesqui intègrentlesignalsurunefenêtretemporelleavela}

pondérationd'uneréponseimpulsionelle

H

^.

Lesignaléhantillonnéestalors

f e (t) = ν e (f (t) ∗ H (t)) ⊔⊔(ν e t)

Onadondansledomainespetral

f ˆ e (ν ) = ⊔⊔ (T e ν) ∗ ( ˆ f (ν) ˆ H(ν ))

C'estdonlemotif de

f ˆ

^{moduléparlafontiontransfertdusystème}d'aquisitionquiserépète.

Exemple:silesystèmeintègrelesignalsurunefenêtretemporelle

τ

^,ona

H(t) = 1

τ Π t

τ

etdon

H ˆ (ν ) = sin(πντ) πντ

Lesfréquenesauxbordsdesmotifs

f ˆ

^{sontatténués.}

4.4 Quantiation d'un signal

Une autre façonde représenter numériquement unsignal, et d'approherla fontion

t 7→ f (t)

^parune

fontionenesaliers,'estlaquantiation.Soit

q ≥ 0

^lepasdequantiation,laversionquantiéede

f

^est

f q (t)

^telleque

f q (t) = nq

^si

(n − 1/2)q ≤ f (t) < (n + 1/2)q

^.

4.5 Transformée Fourier disrète

And'analyser unsignalnumérique, onabesoindepouvoirréalisernumériquementuntransforméede

Fourier.

Soit

f ∈ D( R , dt)

^{unsignalanalogiqueàsupportborné.Pardénition,ona}

f e (t) =

+∞ X

k=−∞

f (kT e )δ(t − kT e )

Orommelesupportdusignalestborné,ilexiste

T c

^telque

∀t > T c

^et

∀t < −T c

^,

f (t) = 0

^.Donl'expression préédenteseréduità

f e (t) =

+N/2 X

k=−N/2

f (kT e )δ(t − kT e )

où

N

^{estlenombredepoints}d'éhantillonnagedanslesupportde

f

^:

N =

2T c

T e

Onadonpourlareprésentationenfréquenes:

f ˆ e (ν ) =

+N/2 X

k=−N/2

f (kT e ) Z +∞

−∞

δ(t − kT e )e ^−ı2πνt dt

=

+N/2 X

k=−N/2

f (kT e )e ^{−ı2πkνT e}

PourqueladénitiondelatransforméedeFourierdisrèted'unsignalnumériqueonordeavel'éhan-

tillonnagedelatransforméedeFourierd'unsignaléhantillonné,onpose:

Dénition12 (TransforméedeFourierDisrète). Soit

f (t) = P +N/2

k=−N/2 f k δ(t − kT e )

^{unsignalnumérique.}

Latransforméede Fourierdisrètede e signalest

f ˆ (ν) =

+N/2 X

m=−N/2

f ˆ m δ(ν − mν e )

f ˆ m =

+N/2 X

k=−N/2

f k e ^−ı2πmk/N

Lapériodedel'éhantillonnagedelatransforméedeFourierquiaétéhoisiest

p = ^ν _N ^e

^{e quiassurede}

nepasperdred'informationsurlesignaltemporel.

Si

f ˆ

^{estunsignalnumériqueenfréquene,sa}transforméedeFourierdisrèteinverseest

f (t) =

+N/2 X

n=−N/2

f n δ(t − nT e )

f n = 1 N

N/2 X

k=−N/2

f ˆ k e ^ı2πnk/N

L'éhantillonnageduspetreinduisantunepériodiitédusignaldisrétisé(réiproquedufaitquel'éhan-

tillonnagedusignalinduitunepériodiitédanslespetre),onpeuttranslaterlealul destransforméesde

Fourierdisrètes:

f ˆ m =

+N X

k=0

f k e ^−ı2πmk/N

f n = 1 N

X N k=0

f ˆ k e ^ı2πnk/N

il faut juste alors faire attention que les fréquenes d'indies supérieursà

N/2

orrespondentaux fré- quenesnégatives(importantpourleltrage).

Dans lapratique, le alul d'une transformée de Fourier disrète n'est pasaisée à ause de lasomme sur

lenombredepointsd'éhantillonnagequipeutprendrebeauoup detemps.Pourrésoudree problème,on

utilisenumériquementdesalgorithmesditsdeTransforméesdeFourierRapides(FFT).