Chaie5 S iede
beée

Suites de nombres réels

Prof.Mohamed El Merouani

DépartementdeStatistiqueetInformatique

2010-2011

Dénition

Suites roissanteset suites déroissantes

Suites majorées,suitesminorées et suites bornées

Limite d'unesuite,suite onvergente et suite divergente

Théorèmesgénéraux etappliations

Suites arithmétiques et suitesgéométriques

Suites réurrentes

Exeries

Introdution

Dénition

Une suite de nombresréels estune appliation

U

N

I

de

N

R

U : N −→ R

n 7→ U (n) = U n

Alorslasuite est ditede terme général

U n

(U n ) n ∈ N

simplement

(U n )

Remarque :

Une suite peut être nieou innie.

Si

I

(U n ) n ∈ I

Si

I

(U n ) n ∈ I

Introdution

Remarque :

L'ensemble

{ U n /n ∈ I }

(U _n ) _{n ∈ I}

Si une suite estnie, l'ensemblede sesvaleursest ni.Par ontre,

une suite innie peut avoirun ensemblede valeurs ni.

Exemple :

La suite

U : N −→ R

U n = ( − 1) ⁿ

(ar

I = N

1

− 1

{− 1, 1 }

Suites roissantes et suites déroissantes

Dénition

Soient

n

m

n, m ∈ N

(U _n ) _{n ∈} N

suite de nombres réels.

(U _n )

∀ n, m ∈ N (n ≤ m ⇒ U n ≤ U m )

(U n )

∀ n, m ∈ N (n < m ⇒ U n < U m )

(U n )

∀ n, m ∈ N (n ≥ m ⇒ U n ≤ U m )

(U n )

∀ n, m ∈ N (n > m ⇒ U n < U m )

Exemple :

(U _n ) _n N =

2n+1

Suites roissantes et suites déroissantes

Plusieurs méthodesde démonstration sontpossibles:

Méthode direte :

∀ n ∈ N ; U n+1 − U n = 2(n + 1) + 1

(n + 1) + 2 − 2n + 1 n + 2

= 2n + 3

n + 3 − 2n + 1 n + 2

= (2n + 3)(n + 2) − (n + 3)(2n + 1) (n + 2)(n + 3)

= 3

(n + 2)(n + 3) ≥ 0

Don, on amontré que

∀ n ∈ N ; U _n +1 − U _n ≥ 0

Suites roissantes et suites déroissantes

Autre méthode direte :

U _n+1 = 2n + 3

n + 3 = 2(n + 3) n + 3 − 3

n + 3 = 2 − 3 n + 3 U n = 2n + 1

n + 2 = 2(n + 2) n + 2 − 3

n + 2 = 2 − 3 n + 2

Don

∀ n ∈ N ; U n+1 ≥ U n

Puisque

∀ n ∈ N ; 3

n + 3 ≤ 3 n + 2

D'où

(U _n ) _{n ∈} N

Suites roissantes et suites déroissantes

Méthode par étude de fontion :

(U _n ) _{n ∈} N

U _n = f (n)

f (x) = ^2x+1 _x+2

Étudions

f

R ⁺

n ∈ N ⊂ R ⁺

f ^′ (x) = 2(x + 2) − (2x + 1)

(x + 2) ² = 3

(x + 2) ² > 0

Suites roissantes et suites déroissantes

Méthode par étude de fontion :

Don

f

R ⁺

∀ n ∈ N ; f (n + 1) ≥ f (n)

C'est-à-dire

∀ n ∈ N ; U _n +1 ≥ U _n

D'où

(U _n ) _{n ∈} N

Exerie :

Montrer demême, par esdeuxméthodes, que

(U n ) n ∈ N =

n+2 n+1

n ∈ N

est déroissante.

Suites roissantes et suites déroissantes

Remarque :

Il existe dessuitesqui ne sontni roissantes, ni déroissantes.

Exemple :

(U n ) n ∈ N = ( − 1) ⁿ

U 0 = 1 > U 1 = − 1

U 1 = − 1 < U 2 = 1

Suites majorées, suites minorées et suites bornées

Dénition :

Une suite

(U _n ) _{n ∈} N

M ∈ R

∀ n ∈ N ; U n ≤ M

Une suite

(U _n ) _{n ∈} N

m ∈ R

∀ n ∈ N ; m ≤ U n

Une suite

(U n ) n ∈ N

m, M ∈ R / ∀ n ∈ N ; m ≤ U _n ≤ M

Suites majorées, suites minorées et suites bornées

Exemple :

Montrons quelasuite

(U n ) n ∈ N

Là enore plusieurs méthodessontpossibles:

Méthode direte :

( ∀ n ∈ N ), 2n + 1 n + 2 ≥ 0;

don

(U _n ) _{n ∈} N

( ∀ n ∈ N ), U n = 2n + 1

n + 2 ≤ 2n + 4

n + 2 = 2(n + 2) n + 2 = 2;

don

(U n ) n ∈ N

Ainsia-t-on :

(U n ) n ∈ N

( ∀ n ∈ N ), 0 ≤ U n ≤ 2

Suites majorées, suites minorées et suites bornées

Méthode par étude de fontion :

Comme ona déjà remarqué

U n = f (n)

f (x) = ^2x+1 _x+2

de variations de

f

Don;

( ∀ n ∈ N ); ¹ ₂ ≤ f (n) ≤ 2

Soit;

( ∀ n ∈ N ); ¹ ₂ ≤ U n ≤ 2

Suites majorées, suites minorées et suites bornées

Remarque :

Onobtient unenadrement de

U _n

(parétude de fontion).

Exerie proposé:

Montrer demême, par esdeuxméthodesque

n+2 n+1

n ∈ N

estbornée.

divergente

Limite d'une suite, suite onvergente et suite divergente

Dénition

Soit lasuite de nombresréels

U : N −→ R n 7→ U _n

La suite

(U _n )

ℓ

∀ ǫ > 0, ∃ A ∈ N , n > A ⇒ | U n − ℓ | < ǫ

Onérit :

U n −→ ⁿ → + ∞ ℓ

lim

n → + ∞ (U n ) = ℓ

divergente

Limite d'une suite, suite onvergente et suite divergente

Une suite non onvergente est ditedivergente. Une suite divergente est

une suite qui n'admetpasde limite ousalimite est innie.

Une suite

(U _n )

( ∀ K > 0); ( ∃ A ∈ N ); ( ∀ n ≥ A ⇒ U _n ≥ K)

Ondit que

(U n )

+ ∞

n

+ ∞

n → lim + ∞ (U n ) = + ∞

divergente

Limite d'une suite, suite onvergente et suite divergente

Exemples:

(U n ) n ∈ N = (e ^{− n} ) n ∈ N

0

lim

n → + ∞ (e ^{− n} ) = 0

divergente

Limite d'une suite, suite onvergente et suite divergente

Exemples:

(U n ) n ∈ N = (e ^{− n} ) n ∈ N

0

lim

n → + ∞ (e ^{− n} ) = 0

(V n ) n ∈ N = (n) n ∈ N

lim

n → + ∞ (n) = + ∞

divergente

Limite d'une suite, suite onvergente et suite divergente

Exemples:

(U n ) n ∈ N = (e ^{− n} ) n ∈ N

0

lim

n → + ∞ (e ^{− n} ) = 0

(V n ) n ∈ N = (n) n ∈ N

lim

n → + ∞ (n) = + ∞

(W n ) n ∈ N = (( − 1) ^{− n} ) n ∈ N

lim

n → + ∞ ( − 1) ⁿ

paspuisque

( − 1) ⁿ =

1

n

− 1

n

divergente

Étude de la suite

( a ⁿ )

a ∈ R ^∗

Pour toutréel

a

Si

| a | < 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = 0

divergente

Étude de la suite

( a ⁿ )

a ∈ R ^∗

Pour toutréel

a

Si

| a | < 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = 0

Si

| a | > 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = + ∞

divergente

Étude de la suite

( a ⁿ )

a ∈ R ^∗

Pour toutréel

a

Si

| a | < 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = 0

Si

| a | > 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = + ∞

Si

a = 1

(a ⁿ )

1

divergente

Étude de la suite

( a ⁿ )

a ∈ R ^∗

Pour toutréel

a

Si

| a | < 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = 0

Si

| a | > 1

lim

n → + ∞ (a ⁿ ) = + ∞

Si

a = 1

(a ⁿ )

1

Si

a = − 1

(a ⁿ )

1

− 1

l'entier naturel

n

Théorèmes généraux et appliations

Théorème fondamental:

Toute suiteroissante et majoréeest onvergente.

Toute suitedéroissante et minoréeestonvergente.

Expliation :

Si

(U n ) n ∈ N

M

U 1 ≤ U 2 ≤ U 3 ≤ · · · ≤ U n ≤ U n+1 ≤ · · · ≤ M

(Les

U _n

Si

(U n ) n ∈ N

m

U 1 ≥ U 2 ≥ U 3 ≥ · · · ≥ U _n ≥ U _n +1 ≥ · · · ≥ m

U

Théorème fondamental :

Exemple :

Montrer quelasuite de terme général

U n = X n

k=0

1 k! = 1

0! + 1 1! + 1

2! + 1

3! + · · · + 1

(n − 1)! + 1 n!

est onvergente.

Cettesuite est roissante, en eet:

U _n +1 − U _n =

n +1

X

k=0

1 k! −

X n k=0

1

k! = 1

(n + 1)! > 0, ( ∀ n ∈ N ).

Théorème fondamental

Exemple :

Elle estmajorée, eneet :

U n = 1 0! + 1

1! + 1 2! + 1

3! + · · · + 1

n! ≤ 1+1+ 1 2 + 1

2 · 2 + · · · + 1 2 · 2 . . . 2

| {z }

n − 1f ois

=

(ar

1

k! = ₂ ¹

× 3 ×···× k ≤ 2 ^{k 1 − 1}

= 1 +

n − 1

X

k=0

1

2 ^k = 1 + 1 − 2 ^{1 n}

1 − ¹ 2

Don

U _n ≤ 1 + 1 − 2 ^{1 n}

1 − ¹ 2

= 1 + 2

1 − 1 2 ⁿ

= 3 − 1

2 ^{n − 1} ≤ 3

Théorème fondamental

Exemple :

Ainsi

( ∀ n ∈ N ), U n ≤ 3.

(U n )

Onremarque que lemajorant trouvé (

3

(U n ) n ∈ N

lim

n → + ∞ (U n ) = e

Propriété :

Une suite roissante, maisnon majorée tend vers

+ ∞

Une suite déroissante,maisnon minorée tend vers

−∞

Théorème des suites adjaentes

Dénition et théorème:

(U n ) n ∈ N

(V n ) n ∈ N

(U n ) n ∈ N

(V n ) n ∈ N

n → lim + ∞ (V n − U n ) = 0

Danse as essuitesonvergent et ont même limite.

Expliation :

(U _n )

(V _n )

lim

n → + ∞ (V _n − U _n ) = 0

ℓ

ommune :

U 1 ≤ U 2 ≤ · · · ≤ U n ≤ U n+1 ≤ · · · ≤ ℓ ≤ · · · ≤ V n+1 ≤ V n ≤ · · · ≤ V 2 ≤ V 1

Théorèmes d'enadrements

Théorème 1 :

Soient

(U n ) n ∈ N

(V n ) n ∈ N

(W n ) n ∈ N

Si

∀ n ∈ N ; U _n ≤ V _n ≤ W _n

(U _n ) _{n ∈} N

(W _n ) _{n ∈} N

n → lim + ∞ U n = lim

n → + ∞ W n = ℓ ∈ R ;

(V n ) n ∈ N

lim

n → + ∞ V n = ℓ

Théorème 2 :

Soient

(U n ) n ∈ N

(V n ) n ∈ N

Si

∀ n ∈ N ; U n ≤ V n

lim

n → + ∞ U n = + ∞

lim

n → + ∞ V n = + ∞

Théorème 3 :

Soient

(U n ) n ∈ N

(V n ) n ∈ N

Si

∀ n ∈ N ; U _n ≤ V _n

lim

n → + ∞ V _n = −∞

lim

n → + ∞ U _n = −∞

Théorèmes d'enadrements

Remarque :

Par passage àlalimite les inégalités seonservent (onséquenedes

troisthéorèmes préédents)maisilfaut noterqueles inégalitésstrites

setransforment en inégalitéslarges :

Si

( ∀ n ∈ N )

U n < V n

lim

n → + ∞ U n ≤ lim

n → + ∞ V n

néessairement

lim

n → + ∞ U _n < lim

n → + ∞ V _n

Contre-exemple :

( ∀ n ∈ N )

U n = 1

n + 2 < V n = 1 n + 1 ;

mais

lim

n → + ∞ U _n = 0 ≤ lim

n → + ∞ V _n = 0

Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques :

Onappelle suite arithmétiquede nombres réels,toute suite réelle

(U _n )

telleque :

∃ r ∈ R

∀ n ∈ N ; U n+1 − U n = r.

Le nombre réel

r

Remarque :

Il résulte deladénition qu'une tellesuite estdéterminée dèsque l'on

xe lepremierterme (

U 0

U 1

r

Ona :

U n+1 = U n + r

U n = U n − 1 + r

Ondéduit :

U _n = ^{U n − 1 +U} ₂ ⁿ⁺¹

Don

U n

U n − 1

U n+1

enadrent

U n

Suites arithmétiques :

Compléments :

Le mot "Raison"vient du latin "Ratio"(qui veut dire : alul, ompte,

mesure, faultédejuger, motif)qui adonnéégalementration,rationnel,

et, plusréemment,ratio (en passant par l'Anglais) ausens d'indie

exprimant lerapportde deuxgrandeurs, en Comptabilitéet Gestion.

Eriture généraled'unesuite arithmétique :

Soit unesuite arithmétique

(U n )

r

U 1 = a

a ∈ R

Le premier terme

a

U 1 = a U 2 = a + r

U 3 = U 2 + r = a + r + r = a + 2r

Suites arithmétiques :

Eriture généraled'unesuite arithmétique :

.

.

.

U _n = U _{n −} 1 + r = a + (n − 1)r

⇒ U n = a + (n − 1)r

Somme destermes d'unesuite arithmétique:

Soit

S _n

n

S _n = U 1 + U 2 + · · · + U _n = X n i=1

U _i

Remplaçons lesdiérents termesparleurs valeursdonnéespar l'ériture

Suites arithmétiques :

Somme destermes d'unesuite arithmétique:

S _n = a + (a + r) + (a + 2r) + (a + 3r) + · · · + (a + (n − 1)r)

Onpeut érireaussi(etdans l'ordreinverse) :

S n = U n + (U n − r) + (U n − 2r) + · · · + (U n − (n − 1)r)

Maintenant, faisonslasommedes termes:

2S n = (U n + a) + (U n + a) + · · · + (U n + a) = n(U n + a)

D'où

S n = n(U n + a) 2

où

n

a = U 1

Suites géométriques :

Dénition :

Onappelle suite géométrique denombresréels, toutesuite réelle

(U _n )

telleque :

∃ q ∈ R

∀ n ∈ N ; U n+1 = qU n

Le nombre réel

q

Remarque :

Une tellesuite est déterminée dèsquel'on xelepremier terme (

U 0

U 1

q

De:

U n+1 = qU n

U n = qU n − 1

Ondéduit :

| U _n | = √

U _{n −} 1 × U _n +1

Don, haqueterme est lamoyenne géométrique desdeuxtermes qui

l'enadrent.D'où lenomde "suitegéométrique".

Suites géométriques :

Ériture généraled'unesuite géométrique :

Soit

a ∈ R

(U _n )

q

U 1 = a

U 2 = qa

U 3 = qU 2 = qqa = q ² a

.

.

.

U n = qU n − 1 = q(q ^{n − 2} )a

⇒ U n = q ^{n − 1} a

Suites géométriques :

Somme destermes d'unesuite géométrique :

Soit

S n

n

(U n ) S n = U 1 + U 2 + · · · + U n =

X n

i =1

U i

Remplaçons lesdiérentstermes par leurs valeurs:

S _n = a + qa + · · · + q ^{n − 1} a

Alors

qS n = q ⁿ a + q ^{n − 1} a + · · · + q ² a + qa

Don

S _n − qS _n = a − q ⁿ a

C'est-à-dire

S n (1 − q) = a(1 − q ⁿ )

Suites géométriques :

Somme destermes d'unesuite géométrique :

Soit, si

q 6 = 1, S n = a(1 − q ⁿ ) 1 − q

si

q = 1

S n = na

où

n

a = U 1

et

q

Suites réurrentes

Dénition :

Une suite réurrente est unesuite numérique

(U n ) n ∈ N

U 0

U n+1 = f (U n )

f

Exemple 1:

Les suitesde type

U 0 = λ ∈ R

U _n+1 = aU _n + b; ∀ n ∈ N

a

b

sont dessuites réurrentesoù lafontion est

f (x) = ax + b

Onles appelle,parfois, dessuitesarithmétio-géométriques.

Suites réurrentes

Remarque :

Pour étudier laonvergene d'unesuite réurrente, on tenterad'utiliser

lethéorème fondamental, 'est-à-dire"Toute suite roissante et

majorée, est onvergente..."

La diulté résidedon danslareherhe d'un minorant oud'un

majorant et l'étudede lamonotoniede lasuite.

Exemple 2:

Soit

(U _n ) _{n ∈} N

( U 0 = α > 0 U n+1 = ^1+U ₂ √ ⁿ

U n

Montrons que

( ∀ n ∈ N ^∗ ); U n ≥ 1

Suites réurrentes

Exemple 2:

Ona :

( ∀ n ∈ N ^∗ )

U n − 1 = ^{1+U n − 1}

2 √ _U

n − 1 − 1

= 1 + U n − 1 − 2 √ U n − 1

2 √ U _{n −} 1

= (1 − √ U n − 1 ) ² 2 √

U _{n −} 1 ≥ 0

Don

( ∀ n ∈ N ∗ )

U _n ≥ 1

Suites réurrentes

Théorème :

Si

f

(U _n ) _{n ∈} N

par

U n+1 = f (U n )

Ainsi, si

U 0 ≤ U 1 ; (U n ) n ∈ N

si

U 0 > U 1 ; (U _n ) _{n ∈} N

Suites réurrentes

Déterminationdelalimited'unesuiteréurrenteonvergente:

Théorème :

Soit

f

Si on sait que

(U n ) n ∈ N

U 0

U n+1 = f (U n )

ℓ

f(ℓ) = ℓ

Démonstration :

La suite

(U n ) n ∈ N

lim

n → + ∞ U n+1 = lim

n → + ∞ U n = ℓ

Mais

lim

n → + ∞ U n+1 = lim

n → + ∞ f (U n ) = f ( lim

n → + ∞ U n )

f

Don

lim

n → + ∞ U _n +1 = f (ℓ)

D'où

f (ℓ) = ℓ

Suites réurrentes

Remarque :

Ce théorèmepermet dealuler lalimite

ℓ

(U n ) n ∈ N

ondition d'avoirpréalablement montréqu'elle estonvergente. Il ne

permet pasd'établir que

(U n ) n ∈ N

(L'équation

f (x) = x

(U n ) n ∈ N

onverge!).

Exeries

Les exeriesserontorrigés en T.D.