Dé iid eieeede aéBeî ieebeRai29j i2006S

(1)

Benoît Louise Lebreton Romain

29 juin2006

Sousladiretion deNiolasBergeron,quenousremerionsdesonaidepréieuse.

(2)

1 Préambule 3

2 Lejardin des déliesmodulaires 4

2.1 Premièresdénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 ÉtudedugroupeΓ(1) ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁶

2.3 ÉtudedugroupeΓ0(4) ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁷

2.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Lesformesmodulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Résultatssurlesformesmodulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Étudedesvaleursauxpointesd'unefontionmodulaire . . . . . . . . . . . 12

2.5.2 Leszérosetlesplesd'unefontionmodulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Laformulede Jaobi 17 3.1 Étudedelafontionθ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁷

3.2 Lessériesd'Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 LaformuledeJaobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A Unpeu de sériede Fourier omplexe 26

B Unpeu de transforméede Fourier 26

C Lesséries d'Eisensteinde poids stritementsupérieur à 2 27

Référenes 29

(3)

manière originale. Lagrange a montré que tout entier naturel s'érit omme somme de quatre

arrés.Onpeutalorssedemanderquelestlenombredefaçonsd'érireunentierdonnéensomme

de4ârrés.^Jaobiâ^résoluê^problème^vers1830^.^Notonsr4(n)^le^nombre^dedéompositions de l'entiernên^somme^de4ârrés.^La^formule^de^Jaobiêst ^:

r4(n) = 8X

d|n 4∤d

d.

Lebut de etexposé est dedonner une démonstrationomplète dela formulede Jaobipar

une méthode moderne, qui permet de plus d'obtenir un équivalent expliite quand n ^tend ^vers

l'innidunombredefaçonsd'érirel'entiernômme^somme^dedârrés,âved>4^.

1 Préambule

Voiiuntableauréapitulatifdesentiersde0^à12^,déomposablesounon,ensommedearrés.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 · · ·

arrésd'entiers X X X X · · ·

sommesde2^arrés X X X X X X X X X · · ·

sommesde3^arrés X X X X X X X X X X X X X · · ·

sommesde4^arrés X X X X X X X X X X X X X X · · ·

Onremarquequelespremiersentierspositifss'ériventtousommesommede4arrésd'entier.

Mais 7nes'érit pasommesomme de3arrés.On sait ependantaratériser lesnombresqui

s'ériventommesommede2ou3arrés.

Théorème 1 (Fermat, Euler). Unentier natureln ^s'érit ^omme ^somme ^de ² ^arrés ^ssi ^la ^va-

luationvp(n) ^est^paire ^pour^toutp^premier, p≡3 ^mod4^.

Démonstration. L'appliation

N : Z[i]\{0} → N^∗ a+ib 7→ a²+b²

est une norme multipliative sur l'anneau Z[i]^; ^son îmage Σ êst ^l'ensemble ^des êntiers n ^qui

s'ériventomme somme de 2 ârrés.^L'ensemble Σêst ên ^partiulier ^stable ^parmultipliation.

Cherhonsd'abordlesentierspremierssommede2 ^arrés.

Si p êst ^somme ^de 2 ârrés, p ≡ 0,1ôu2 mod 4^. Îl êst ^don ^égal ^à 2 ôu ^bien ≡ 1 mod 4^.

Montronslaréiproque.

Onaimmédiatement2∈Σ^.^Supposons^don^quep≡1 mod 4^.Âlors−1êstûnârré^modulo p^:−1≡a² modp^,êt p|a²+ 1 = (a+i)(a−i)^;^l'idéal(p)êst^donnéessairementrédutible

1

etp=xy âvex, y∈Z[i]^qui^ne^sont^pas^desûnités, î.e.N(x)6= 1 êtN(y)6= 1^. ÔrN(p) =p²= N(x)N(y)^.^Donp=N(x) =N(y)∈Σ^.

Ononlutladémonstrationduthéorèmeendéomposantn^en^fateurs^premiers^:n= Πp^v^p⁽ⁿ⁾^.

Supposons n = a²+b² ∈ Σ^. ^Si p ≡ 3 mod 4^, âlors p 6∈ Σ êt (p) êst irrédutible. On a don

p |n= (a+ib)(a−ib) ^don p|a+ibôua−ib^. Ôrp= ¯p^don p|a+ibêta−ib êt p² |n^. Ôn

onlutalorsladémonstrationparréurrenedesendante.

Lerésultatsuivant,plusdéliat,reposesurlelassiationdesformesquadratiquesrationnelles

en3^variables^(f.^[Serre℄).

1 Z[i] Z[i]

(4)

Théorème 2(Gauÿ). Unentiernatureln^s'éritômme^somme^de ³ârrés^ssiîl ^n'est^pâs^de ^la

forme 4^a(8b+ 7)^avea, b∈N^.

L'existenedel'algèbredesquaternionspermetdemontrerplusfailementlethéorèmesuivant.

Théorème 3(Lagrange). Toutentiernaturels'éritomme sommede quatrearrésd'entier.

Pourd, n∈N^,^posons rd(n) =Card

(n1, n2, . . . , nd)∈Z^d:n=n²₁+n²₂+· · ·+n²_d .

C'estlenombrededéompositionsdenên^somme^dedârrés.Îl^déoule^du^théorème³^que^pour

toutn, d∈N^aved>4^,rd(n)>1^.

Remarquonsqueladénitionderd(n)^tientômpte^de^l'ordre^des^éléments^de^ladéomposition denên^somme^dedârrésâinsi^que^des^solutions^négatives.

Exemple.Traitonsleasden= 12^:^les^diviseurs^de12^sont1,2,3,4,6,12^.^Ceux^qui^ne^sont^pas

desmultiples de4sont1,2,3,6^. ^La^formule^de^Jaobi^donne^donr4(12) = 8·12 = 96^.^Vérions

erésultatenexpliitantles96déompositions.

Lesarréspouvantintervenirdansladéompositionde12^sont^0,1,4^et^9.^Les2 ^seules^façons

d'érire12ômme^sommes^de4ârrés^sont^don12 = 9+1+1+1êt12 = 4+4+4+0^.^Les^éléments^de Z⁴^dont^leârréômporteûn9êt^trois1^sont{(±3,±1,±1,±1),(±1,±3,±1,±1), . . .}^.Îl^yênâ4· 2⁴^.^Les^éléments^deZ⁴^dont^leârréômporteûn0êt^trois4^sont{(0,±2,±2,±2),(±2,0,±2,±2), . . .}^.

Ilyena4·2³^.Ônââinsi^trouvé4·2³·(2 + 1) = 12·8 = 96déompositions.

And'étudierlesrd(n)^,^on^introduit^la^série^génératrie φd(q) =

X∞

m=0

rd(n)qⁿ.

Ilsetrouveque esséries φd ^ont ^des^symétries mirauleuses,qui vontnous permettrede les réérire,and'obtenirune expressionderd^.

2 Le jardin des délies modulaires

2.1 Premières dénitions

NotonsH^le^demi^planhyperbolique(oudemi-plandePoinaré)

H={z∈C : Im(z)>0}.

Notons

Γ(1) =SL2(Z) ={ a b

c d

∈SL2(R) :a, b, c, d∈Z}

Γ0(N) ={ a b

c d

∈Γ(1) :N|c}.

NousnoteronsΓûn^groupe^égal^àΓ(1)ôu^àûnΓ0(N)^.

LegroupeΓ(1)^agit^surH ^parhomographie:

γ·z= az+b

cz+d ^oùz∈H ^etγ=

a b c d

∈SL2(Z).

L'ationdeγ∈Γ(1)^envoie^bienH ^dansH ^arIm(γ·z) = Im(z)

|cz+d|²^.

(5)

Remarque. Onaainsi une ationde P SL2(Z) =SL2(Z)/{±1} ^surH ^puisque ^l'ation^de γ ^ne

dépend quede salassedans P SL2(Z)^.

Dénition4. Pourγ=

a b c d

∈Γ^et z∈H^,^on^pose

j(γ, z) = dz

d(γ·z)

z

= (cz+d)²

Proposition 5. Lafontion j ^vérie^l'équation

j(γγ^′, z) =j(γ, γ^′·z)j(γ^′·z)

Démonstration. Érire j(γ, z) =

dz d(γ·z)

z

et appliquer la règle de dérivation pourles fontions

omposées.

Dénition 6. Soit k ∈ N^. ^On ^appelle ^fontion ^faiblement ^modulaire ^de ^poids 2k ^pour Γ ^toute

fontion méromorphef ^sur^le^demi ^plan H^,^telle^que

∀γ∈Γ, f(γ·z) =j(γ, z)^kf(z).

Ladénition préédentesigniequelaformediérentiellef(z)(^dz)^k ^estΓ-invariante,'est-à- dire

∀γ∈Γ, f(γ·z)(^dγ·z)^k =f(z)(^dz)^k.

Laproposition5rendladénitionohérentear

f((γγ^′)·z) =j(γγ^′, z)f(z) =j(γ, γ^′·z)j(γ^′, z)f(z) =j(γ, γ^′·z)f(γ^′·z) =f(γ·(γ^′·z))

Soitf ^une^fontion^faiblement^modulaire.^D'après^la^dénition^appliquée^àγ=

1 1 0 1

,on

af(z) =f(z+ 1)^.Ôn^peut^don^ériref ômme^somme^de^sa ^série^de^Fourier^(f.ÂnnexeÂ),êt

l'exprimerommefontiondeq=e^2iπz^,^que^nous^noteronsf˜^: f(z) =X

n∈Z

cne⁻^2πnye^2iπnx

f˜(q) =X

n∈Z

cnqⁿ.

Lafontionf˜^est^méromorphe^dans^le^disque|q|<1^privé^de^l'origine.

Dénition 7. Soit f ûne ^fontion ^faiblement ^modulaire. ^Si f˜^dénie ômme préédemment se prolongeenunefontionméromorphe(resp.holomorphe)àl'origine,onditquef êst^méromorphe

(resp.holomorphe) àl'inni.

Celasigniequef˜^admet^undéveloppementdeLaurentauvoisinagedel'origine:

f˜(q) =X

n∈Z

cnqⁿ

oùlescn ^sont^nuls^pourn^assez^petit^(resp.^pourn <0^).

Lorsquef ^est^holomorphe^à^l'inni,^on^posef(∞) = ˜f(0)^, ^'est^la^valeur^def ^à^l'inni.

(6)

−2 −1 −1/2 0 1/2 1 2 ρ

S

STS ST ST

T⁻¹ T

−1 −1

ST S 1

T S⁻¹ TS

Fig.1Domainefondamental deΓ(1)^et ^ses^images^par^quelques^éléments.

2.2 Étude du groupe

Γ(1)

SoientS ^etT ^les^lasses^des^éléments

0 −1 1 0

et

1 1 0 1

deΓ(1)^.^On^a^les^relations^: S²= 1, (ST)³= 1.

SoitD^lesous-ensembledeH^formé^des^pointsz^tels^que|z|>1^et|Re(z)|61/2^.^Nous^allons

montrerqueDêstûn^domainefondamental del'ationdeΓ(1) ^surH^.Ên ^d'autres^termes^:

Théorème 8. 1. Pourtoutz∈H^,^il^existe γ∈Γ(1) ^tel^queγ·z∈ D.

2. Supposonsquedeuxpointsdistintsz, z^′∈ D^soientôngrus^moduloΓ(1)^.Ônââlorsz∈∂D^,

oupluspréisément,soit Re(z) =±1/2^etz^′=z±1^,^soit |z|= 1 ^etz^′=−1/z=−z.

3. Soitz∈ D^,^et^soit I(z) ={γ∈Γ(1)/{±1}:γ·z=z}^lestabilisateur de z ^dansΓ(1)/{±1}^.

On aI(z) ={1}^sauf ^dans^les^trois^as^suivants^:

z=i^,âuquel âsI(z)êst^le ^groupe ^d'ordre²êngendré^parS^;

z=ρ=e^2iΠ³ ^,âuquel âsI(z)êst ^le^groupe^d'ordre ³êngendré^par ST^;

z=−ρ^,âuquel âsI(z)êst ^le^groupe^d'ordre ³êngendré^par T S^.

Démonstration. Soit Γ^′ ^le^groupe êngendré^par S êt T^. ^Nous âllons^montrer^qu'il êxiste γ^′ ∈Γ^′

telqueγ^′·z∈ D^, ^e^qui^démontreral'assertion1.duthéorème8.Siγ=

a b c d

∈Γ^′^,^on^a

Im(γ·z) = Im(z)

|cz+d|². ⁽¹⁾

Commecêtd^sontêntiers,^le^nombre^deôuples(c, d)^tels ^que|cz+d|^soitînférieur^àûn^nombre

donnéestni.Onenonlutqu'ilexisteγ∈Γ^′^tel^queIm(γ·z)^soit^maximum.^On^peut^supposer,

quitteàomposerpar unT^k^,^que ^la^partie^réelle ^deγ·z êst ômpriseêntre −¹2 êt 1

2^. ^L'élément

γ·zâppartient^àD^;ênêet,îl^sut^de^voir^que|γ·z|>1^,^sinon,^si^l'onâvait|γ·z|<1^,^l'élément

−1

γ·z âuraitûne^partie îmaginaire^stritement^plus^grande^queIm(γ·z)^,ê^quiêst impossible.

Prouvonsmaintenantl'assertion 2.duthéorème 8:

Soientz∈ D^etγ=

a b c d

∈Γ(1)^tels^queγ·z∈D^.^Quitte^à^remplaer(z, γ)^par(γ·z, γ⁻¹)^,

onpeutsupposerque Im(γ·z)>Im(z)^, î.e.^que|cz+d| êst61^. ^Cei êstîmpossible^si |c|>2

ar|c|^√2³ 6|c Im(z)|6|cz+d|61^.^Restent^don^les^asc= 0,1,−1^.

Si c = 0 âlors d = ±1 êt γ êst ûne translation par ±b^. ^Comme Re(z) êt Re(γ·z) ^sont

omprisentre−1/2êt1/2 âlors^l'un^vaut−1/2êt^l'autre 1/2^.

(7)

Si c = 1 âlors|z+d|61 êntraîne d= 0^, ^sauf^si z =ρ^(resp.z =−ρ⁾ âuquelâs ôn^peut

avoird= 0,1^(resp.d= 0,−1^).^Le^asd= 0^donne|z|61^don|z|= 1^.^Commead−bc= 1

alorsb=−1^.^Donγ·z=a−¹z ^et^la^première^partie^de^la^disussion^montre^quea= 0^sauf

si Re(z) =±1/2^,î.e.^si z=ρôu−ρ^,âuquelâs ôn^peut^prendrea= 0,−1ôua= 0,1^.^Le

as z=ρ^,d= 1^, ^donnea−b = 1^etγ·ρ=a−1/(1 +ρ) =a+ρ^,^d'où a= 0,1^;^on^traite

demêmeleasz=−ρ^,d=−1^.

Leas c=−1 ^se^ramèneâuâsc= 1 ên^hangeant^les^signes^dea, b, c, d^(e ^qui^ne^hange

pasγ^).

Ceiahèvelavériationdesassertions2.et3. etdonduthéorème8.

Théorème 9. Le groupeP SL2(Z) = Γ(1)/{±1} êstêngendré^parS êtT^.

Démonstration. Soit γ ûn ^élément ^deΓ(1)^. Choisissonsunpoint z0 întérieur ^à D ^(parêxemple 2i^),êt ^soit z =γ·z0^. Ôn â^vu ^plus^haut^qu'ilêxiste γ^′ ∈Γ^′ ^tel ^queγ^′·z ∈ D^. ^Les^pointsz0 êt

γ^′·z= (γ^′γ)·z0 ^deD^sontôngrus^moduloΓ(1)^,êt^l'un^d'euxêstîntérieur^àD^.^D'après^2.êt^3.,

il en résulte quees points sontonfondus et que γ^′γ =±1^.Ôn â^bien γ ∈Γ^′^, ê^qui âhève^la

démonstration.

Remarque. 1. Onidentie S,Tetleursimages respetives dansP SL2(Z).

2. Enfait, P SL2(Z) = < S, T :S²= 1,(ST)³= 1>^,'est-à-dire queP SL2(Z) ^est^l'ensemble

desmots enS ^etT^,^modulo^les²^relationsS²= 1 ^et(ST)³= 1^.

PosonsD^′ =

z∈ D/^non(|z|= 1^et Re(z)>0)^et(Re(z)6= 1/2) ^.

Corollaire10. L'appliation anoniqueD^′→H/Γ(1)^est^bijetive.

2.3 Étude du groupe

Γ

0

(4)

2.3.1 Préliminaires

Posons a=

1 0 4 1

∈Γ0(4) ^et b=^T=

1 1 0 1

∈Γ0(4)

Γa,b= ^lesous-groupedeΓ0(4)^engendré^para, b DΓ0(4) =

z∈H/ |Re(z)|61/2

et |z±1/4|>1/4 .

Montronsd'abordqueD^Γ0(4) ^est^un^domainefondamentaldel'ationdeΓ0(4)^sur H^.

Proposition 11. L'indie de Γ0(4)^dansΓ(1) ^est^6.

Démonstration. Lemorphismedegroupeanoniqueϕ: Γ(1)→SL2(Z/4Z)^est ^surjetif.^Soit B=ϕ(Γ0(4)) =n a b

c d

∈SL2(Z/4Z) :c= 0o .

L'appliationϕ^passe âu^quotientêt ^donneûneâppliation

˜

ϕ: Γ(1)/Γ0(4)→SL2(Z/4Z)/B.

L'appliation ϕ˜ êst ^surjetive âr ϕ ^l'est. Êlle êst înjetive âr ϕ⁻¹(B) = Γ0(4). ^Don ^l'indie [Γ(1) : Γ0(4)] = [SL2(Z/4Z) :B]^.

Lemme. Leardinal deGL2(Z/4Z) ^est^96.

(8)

touslesveteurssauf

0 0

,

2 0

,

0 2

et

2 2

,equi donne12 = 4·4−4 possibilités.

Pour le deuxième veteur, on a le hoix parmi tous les veteurs sauf les 4préédents et les

multiples dupremier veteurs(qui ne peuvent être parmi les 4préédents). Ce qui nous donne

8 = 4·4−4−4 possibilités.Finalementleardinalreherhéest12·8 = 96^.

Paronséquent,leardinaldeSL2(Z/4Z)êst ^48.^Leârdinal^deB êst ⁸⁽²possibilitéspour ladiagonaleet4pourleoinsupérieurdroit).Finalement

[Γ(1) : Γ0(4)] = [SL2(Z/4Z) :B] = 6

Proposition 12. Leséléments1,S,T

−1

S,TS,T

−2

S ouT

2

S,ST

−2

S ouST

2S ^sont ^des^représen-

tantsde haque lassed'équivalene de Γ/Γ0(4)^.

Démonstration. Onvérieaisémentàlamainqueesélémentsnesontpasdanslamême lasse.

Parexemplepour TS et T

−1

S, on a(^T⁻¹^S)⁻¹·^TS=^{S T}²^S =

1 0 2 1

∈ Γ(1)\Γ0(4)^. ^Comme

l'indieest 6,onreprésentebien toutesleslasses.

Notonslesélémentspréédentsrespetivementg1, g2, g3, g4, g5 ^etg₅^′, g6 ^etg₆^′^.

2.3.2 Résultats

Théorème 13 (DomaineFondamental).

1. Pour toutz∈H^,^il ^existeΓ∈Γ0(4)^tel ^queγ·z∈ DΓ0(4)^.

2. Supposonsque deuxpointsdistints z, z^′∈ DΓ0(4) ^soientôngrus ^moduloΓ0(4)^.Ôn ââlors,

soit Re(z) =±1/2 ^etz^′=z±1^,^soit |z±1/4|= 1/4 ^etz^′= 1/(∓4z+ 1)^.

3. ∀z∈ D^Γ0(4)^,I(z) ={1} ^oùI(z)^est ^lestabilisateurde z ^dansΓ0(4)/{±1}^.

Démonstration. NotonsD¹ ^etD²^les^demi ^pavés

D¹={z∈ D/Re(z)60} ^et D²={z∈ D/Re(z)>0}.

Alors

D^Γ0(4)= (_i=1∪⁴ g⁻_i ¹D)[

(_i=5∪⁶ g⁻_i ¹D¹)[

(_i=5∪⁶ g^′−_i ¹D²).

Demême notonsD1^′ ^etD^′2 ^les^demi^pavés^restreints

D^′1={z∈ D^′/Re(z)<0} ^et D^′2={z∈ D/Re(z)>0}.

Posons

D^′Γ0(4)=

(_i=1∪⁴ g_i⁻¹D^′)[

(_i=5∪⁶ g_i⁻¹D1^′)[

(_i=5∪⁶ g_i^′−¹D^′2)

− {^S·ρ,^ST⁻¹·i,^ST⁻²·i}.

LedomaineD^′Γ0(4) êst^dessiné^dans^la^gure^2.^C'estûne^restrition^deD^Γ0(4) ^pour^laquelleôn

n'aqu'unreprésentantparlasse.

Montrons l'assertion1.:Soitz∈H^,^il^existe g∈Γ(1)^tel^queg·z∈ D^′^.^Posons

γ=







gg⁻_i ¹ ^sig∼gi ^pour16i64

gg⁻_i ¹ ^sig∼gi ^pouri= 5,6^et g·z∈ D^′1

gg^′−_i ¹ ^sig∼gi ^pouri= 5,6^et g·z∈ D^′2.

Dé iid eieeede aéBeî ieebeRai29j i2006S 

Γ(1)

Γ

(4)

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