Ea eVe ie

Partie I

Appliation de la résolution

des systèmes linéaires

Cours et Exeries ave Solutions

M. Mouçouf

22 déembre 2013

1 Résolution des systèmes d'équations linéaires: méthode du pivot

de Gauss 1

2 Espaes vetoriels de dimensions nies :

Appliation de la résolution des systèmes linéaires 3

2.1 Généralités . . . 3

2.2 Sous-espaes vetoriels. . . 5

2.3 Sommeet sommedirete . . . 6

2.4 Famillesgénératries. . . 8

2.5 Dépendane etindépendane linéaire. . . 10

2.5.1 Famille liées, famillelibres. . . 10

2.6 Bases. . . 11

2.7 Rang d'une famillede veteurs. . . 16

2.8 Système d'équations linéairesassoié àune famillede veteurs . . . 16

2.8.1 Coordonnées d'un veteurdans une base . . . 18

2.8.2 Complétion d'unefamillelibre . . . 18

2.8.3 Détermination d'un supplémentaire . . . 19

2.8.4 Base extraite d'unefamille génératrie. . . 19

2.8.5 Représentation artésienne d'un espaevetoriel. . . 20

2.8.6 Relationsde dépendane linénaire . . . 22

2.9 Exeries . . . 24

2.10 Solutions . . . 29

Résolution des systèmes d'équations

linéaires : méthode du pivot de

Gauss

Espaes vetoriels de dimensions

nies :

Appliation de la résolution des

systèmes linéaires

Danstous e hapitre,

K

^désigne

R

ou

C

.

2.1 Généralités

Dénition1. Onappelleespaevetoriel sur

K

^(e.vsur

K

^)ou

K

^{-espaevetoriel}

(

K

^{-e.v) un ensemble non vide}

E

^muni

d'une loi interne

E

E

E

ˆ

u, v

^z

u

v

et d'une loi externe

K

E

E

ˆ

α, u

^z

α.u αu

telles que :

1) ˆ

E,

^{ est un groupe ommutatif :}

(i)

u, v, w

^>

E

u

^ˆ

v

w

^{ ˆ}

u

v

^

w u

v

w

^(sans parenthèses),

(ii) §

0 _E

>

E,

u

^>

E

0 _E u u

0 _E u

^,

(iii)

u

^>

E,

^§

u

^>

E

u

^ˆ

u

^{ ˆ}

u

^

u 0 _E

,

(iv)

u, v

^>

E

u

v v

u

^.

2)ˆ

u, v

^>

E ² ,

^ˆ

α, β

^>

K ²

^:

a)

α

^ˆ

u

v

^

αu

αv

^{. ) ˆ}

αβ

^

u α

^ˆ

βu

^

αβu

^(sans parenthèses).

b) ˆ

α

β

^

u αu

βu

^{. d)}

1 u u

^.

Les éléments de

K

^{sont appelés des salaires, eux de}

E

^{sont appelés des}

veteurs et onlesnote parfois par

u

^{(une lettre surmentée d'une èhe).}

Exemples 1.

1)

R

est un

R

-e.v.

2)

C

est un

C

-e.v et un

R

-e.v.

3) On muni

K ⁿ

^{des deux lois suivantes :}

ˆ

x 1 , . . . , x _n

^ˆ

y 1 , . . . , y _n

^{ ˆ}

x 1

y 1 , . . . , x _n

y _n

^

et

α

^ˆ

x 1 , . . . , x _n

^{ ˆ}

αx 1 , . . . , αx _n

^

K ⁿ

^{est alors un}

K

^-e.v.

4) L'ensemble

K X

^{des polynmesà oeients dans}

K

^{est un}

K

^-e.v.

5) Soit A un ensemble et

E

^un

K

^{-e.v. On désigne alors par FˆA}

, E

^{ l'ensemble}

de toutes les appliations de A dans

E

^.

FˆA

, E

^{ peut être muni des lois + et . déni par :}

f

g

x

^z

f

^ˆ

x

^

g

^ˆ

x

^

αf

x

^z

αf

^ˆ

x

^

On vérie failement queFˆA

, E

^{est alors un}

K

^-e.v.

Cas partiuliers :

a) A

N , E R

et

K R

: dans e as FˆA

, E

^{ est l'ensemble des suites réelles}

quiest don un

R

-e.v.

b)A

I

^{unintervallede}

R

,

E R

et

K R

:FˆA

, E

^{estl'ensemble desfontions}

numériquesdénies sur

I

^{qui est don un}

R

-e.v.

Proposition 2. Soient

E

^un

K

^{-e.v et}

u, v

^>

E

^,

α, β

^>

K

^{. Alors on a :}

1)

0 _K u 0 _E

et

α 0 _E 0 _E

.

2)

αu 0 _E α 0 _K

ou

u 0 _E

.

3)

α

^ˆ

u

v

^

αu

αv

^{et ˆ}

α

β

^

u αu

βu

^.

4)

α

^ˆ

u

^

αu

^{et ˆ}

1



u

u

^.

On notra par la suite (s'iln'y a pas de onfusion à raindre)

0

les éléments

0 _K

et

0 _E

.

2.2 Sous-espaes vetoriels

Dénition 3. Soient

E

^un

K

^{-e.v et}

F

^{une partie de}

E

^{. On dit que}

F

^{est un}

sous-espae vetoriel de

E

⁽

F

^{est un sev de}

E

^{) si :}

1)

F

^xg,

2) ˆ

u, v

^>

F ²

u

v

^>

F

^{(on dit que}

F

^{est stable par la loi interne),}

3)

α

^>

K,

u

^>

F

αu

^>

F

^{(on dit que}

F

^{est stable par la loi externe).}

Proposition 4. (Caratérisation)

Soit

F

^{une partie d'un}

K

^-e.v

E

^{. Alors :}

F

^{est un sev de}

E

¢

¨

¨

¨

¨

¤

F

^xg

ˆ

u, v

^>

F ² ,

α

^>

K

αu

v

^>

F

Remarques 5.

1) Soientt

E

^{est un}

K

^{-e.v et}

F

^{une partienon vide de}

E

^.

F

^{est un sev de}

E

^veut

dire que

F

^{est un}

K

^{-e.v pour les lois induites par ellesde}

E

^:

E

E

E

^et

.

K

E

E

ˆ

u, v

^z

u

v

^ˆ

α, u

^z

αu

^.

2) Un sous espae vetoriel ontient toujours le veteur nul. Don pour montrer

que

F

^{est une partie non vide de}

E

^{, on se ontente de vérier que le veteur nul}

0

de

E

^{est dans}

F

^{. En eet, si}

0

~>

F

^alors

F

^{n'est pas un sev de}

E

^{; et si}

0

>

F

alors

F

^{est non vide.}

3) Si

F

^{est un sev de}

E

^{et si}

E

^{est un sev de}

G

^alors

F

^{est un sev de}

G

^.

Exemples 2.

1) Si

E

^{est un}

K

^{-e.v alors ˜}

0

 et

E

^{sont des sev de}

E

^.

2) Soit

K _n X

^˜

P

^>

K X

^~

deg

^ˆ

P

^D

n

^{(on onvient queª}

n

^).Alors

K _n X

est un sev de

K X

^.

Si

n

^D

m

^alors

K _n X

^{est un sev de}

K _m X

^.

3)

E R ²

est un

R

-e.v,

F 1

^˜

0



R

et

F 2 R

˜

0

 sont des sev de

E

^.

4) soit

I

^{un intervallede}

R

. L'ensembledes fontionsnumériques dénieset déri- vablessur

I

^{estunsevdel'ensembledesfontionsnumériquesdéniesetontinues}

sur

I

^{et e dernier est un sev de l'ensemble des fontions numériques dénies sur}

I

^.

Proposition 6. Soient

E

^un

K

^{-e.v, ˆ}

F _i

^

_i

>

I

^{une famille de sev de}

E

^{, alors}

i

^>

I

F _i

est un sev de

E

^.

Remarque 7. La réunionde deux sev de

E

^{n'est pas en générale un sev de}

E

^.

Exemples 3.

1) On sait que

F R ²

˜

0

 et

G R

˜

0



R

sont des sev de

R ³

.

On a

u

^>

F

G

^§

x, x

^œ

, y, z

^>

R u

^ˆ

x, y, 0

 ˆ

x

^œ

, 0 , z

^

x x

^{œ et}

y z 0

don

F

⁹

G

^˜ˆ

x, 0 , 0

~

x

^>

R



R

˜

0

˜

0

.

2)

F

^˜ˆ

x, y

^>

R ²

~

x

y 0

 et

G

^˜ˆ

x, y

^>

R ²

~

2 x

y 0

sont deuxsousespaes vetoriels de

R ²

. On aˆ

1 ,

1

>

F

^{et ˆ}

1 ,

2

>

G

^maisˆ

1 ,

1

ˆ

1 ,

2

 ˆ

2 ,

3

~>

F

et~>

G

^{, donˆ}

1 ,

1

ˆ

1 ,

2

~>

F

⁸

G

^{, alors}

F

⁸

G

^{n'est pas un sousespaevetoriel}

de

R ²

.

2.3 Somme et somme direte

Proposition et Dénition 8. Soient

F 1

^et

F 2

^{deux sev d'un}

K

^-e.v

E

^{. On note}

F 1

F 2

^{l'ensemble ˜}

u 1

u 2

^~

u 1

^>

F 1

^et

u 2

^>

F 2

^.

F 1

F 2

^{est appelé la somme de}

F 1

et

F 2

^{et 'est un sev de}

E

^.

Proposition 9. Soient

F 1 , F 2

^et

F 3

^{des sev d'un}

K

^-e.v

E

^{. Alors :}

1)

F 1

F 2 F 2

F 1

^.

2)

F 1

^b

F 1

F 2

^.

3)

F 1

^b

F 2

F 1

F 3

^b

F 2

F 3

^.

4) ˆ

F 1

^b

F 3

^et

F 2

^b

F 3

^

F 1

F 2

^b

F 3

^.

5)

F 1

F 1 F 1

^.

6)

F 1

^˜

0



F 1

^.

7)

F 1

E E

^.

8) ˆ

F 1

F 2

^

F 3 F 1

^ˆ

F 2

F 3

^{ (on peut don ne pas utiliser les} parenthèses).

Remarque 10.

F 1

F 2

^{est le plus petit sous espae vetoriel de}

E

^ontenant

F 1

et

F 2

^.

Dénition 11. Deux sev

F 1

^et

F 2

^d'un

K

^-e.v

E

^{sont dit} supplémentaires dans

E

^{si et seulement si}

E F 1

F 2

^et

F 1

F 2

^˜

0

.

On érit alors

E F 1

^`

F 2

^{et on dit que}

E

^{est la somme direte de}

F 1

^et

F 2

^.

F 1

(resp.

F 2

^{) est dit un} supplémentaire de

F 2

^(resp.

F 2

^{) dans}

E

^.

Exemples 4.

1) On a

E E

^`˜

0

.

2) Soient

K R , E R ² , F 1 R

˜

0



, F 2

^˜

0



R

. On a

E F 1

^`

F 2

^{. En eet,}

ˆ

x, y

^>

E

^{on a ˆ}

x, y

^{ ˆ}

x, 0

ˆ

0 , y

^>

F 1

F 2

^{. Don}

E

^b

F 1

F 2

^{, et puisqu'on}

a déjà

F 1

F 2

^b

E

^{, on onlut que}

E F 1

F 2

^{. D'autre part, si ˆ}

x, y

^>

F 1

F 2

^,

alors

y 0

puisque ˆ

x, y

^{ >}

F 1

^et

x 0

puisque ˆ

x, y

^{ >}

F 2

^{. Don ˆ}

x, y

^{ ˆ}

0 , 0

, d'où

F 1 F 2

^˜ˆ

0 , 0

. En onlusion,

E F 1

^`

F 2

^.

Remarque 12. Un sev

F

^de

E

^{peut avoir plusieurs} supplémentaires dans

E

^.

Proposition 13. Soient

F 1

^et

F 2

^{deux sev d'un espae vetoriel}

E

^{. Alors}

E

^est

somme diretede

F 1

^et

F 2

^{ssitout élémentsdeE se déomposed'unefaçon unique}

en somme d'un éléments de

F 1

^{et d'un élément de}

F 2

^{. àd :}

E F 1

^`

F 2

u

^>

E,

^{il existe et unique ˆ}

u 1 , u 2

^>

F 1

F 2

^{tel que}

u u 1

u 2

^.

Exemple 1. Soient

K R , E

^Fˆ

R , R

 le

R

-e.v des appliations de

R

dans

R

. Soit

F 1

^˜

f

^>

E

^~

f

^{paire et}

F 2

^˜

f

^>

E

^~

f

^impaire.

On a

F 1

^et

F 2

^{sont des sev de}

E

^{. En eet,} l'appliation nulle

0

x 0

est à la fois paire et impaire, don

F 1

^{x g et}

F 2

^{x g. De plus, la somme de deux}

appliations paires (resp. impaires) est une appliation paire (resp. impaire), et si

onmultiplieune appliationpaire(resp.impaire)par unréelquelonque onobtient

une appliation paire (resp. impaire).

Soit

f

^>

F 1

⁹

F 2

^{, alors}

f

^ˆ

x

^

f

^ˆ

x

^

f

^ˆ

x

^{, don}

f

^ˆ

x

^

0

pour tout

x

^>

R

, 'est-ç-dire,

f 0

. Par suite

F 1 F 2

^˜

0

.

D'autre part,Soit

f

^>

E

^{. Il est faile de vérier que} l'appliation

g

^ˆ

x

^

^f

^ˆ

^x

^

₂ ^f

^ˆ

^x

^

est paire et que l'appliation

h

^ˆ

x

^

^f

^ˆ

^x

^

₂ ^f

^ˆ

^x

^{ est impaire. Comme}

f g

h

^{, alors}

E F 1

F 2

^{. Ce qui fait que}

E F 1

^`

F 2

^{. En onlusion, toute appliation de}

R

dans

R

s'érit de manière unique omme somme de deux appliations l'une paire et l'autre impaire.

Remarque 14. On montre de la même façon que toute fontion dénie sur un

domaine (de dénition) qui est symétrique par rapport à l'origine ('est à dire,

x

^>

D _f

x

^>

D _f

^{), s'érit de manière unique omme somme de deux fontions}

l'une paire et l'autre impaire.

2.4 Familles génératries.

Dénition 15. Soient

u 1 , . . . , u _n

^,

n

^{veteurs d'un}

K

^-e.v

E

^{. On appelleombinai-}

son linéaire des veteurs

u 1 , . . . , u _n

^{tout veteur}

u α 1 u 1

α _n u _n

n

Q

i 1

α _i u _i

ave

α 1 , . . . , α _n

^>

K

^.

Exemples 5.

1)Toutpolynme

P

^>

K _n X

^{estuneombinaisonlinéairedesveteurs}

1 , X, X ² , . . . , X ⁿ

^.

2) Dans le

C

-e.v

C ²

, tout veteur ˆ

z, z

^{œ est une ombinaison linéairedes veteurs}

ˆ

1 , 0

 et ˆ

0 , 1

 :

ˆ

z, z

^œ

z

^ˆ

1 , 0



z

^œˆ

0 , 1



.

3) Dans le

R

-e.v

C ²

, tout veteur ˆ

z, z

^{œ est une ombinaison linéairedes veteurs}

ˆ

1 , 0



,

^ˆ

0 , 1



,

^ˆ

i, 0

 et ˆ

0 , i

^{. Si}

z x

iy, x, y

^>

R

et

z

^œ

x

^œ

iy

^œ

, x

^œ

, y

^œ>

R

, alors on a :

ˆ

z, z

^œ

x

^ˆ

1 , 0



x

^œˆ

0 , 1



y

^ˆ

i, 0



y

^œˆ

0 , i

^

.

Théorème 16. Soit

E

^un

K

^{-e.v et}

u 1 , . . . , u _n

^>

E

^{. Alors :}

1) L'ensemble

F

^des ombinaisons linéaires des veteurs

u 1 , . . . , u _n

^{est un sev de}

E

^.

2)

F

^{est le plus petit ( au sens de} l'inlusion)sev de

E

^ontenant

u 1 , . . . , u _n

^.

Dénition 17. Soient

E

^un

K

^{-e.v et}

A

^˜

u 1 , . . . , u _n

^{ une famille de veteurs de}

E

^{. on appelle sev engendré par}

A

^l'ensemble

F

^˜

α 1 u 1

α _n u _n

^~

α 1 , . . . , α _n

^>

K

^

des ombinaisons linéaires des veteurs

u 1 , . . . , u _n

^{('estàdire des élémentsde}

A

^).

On dit aussi que

A

^engendre

F

^{(ouune famillegénératrie de}

F

^).

Notation . On note

F

^sev`

u 1 , . . . , u _n

^{e sev`}

A

^e

ou

F

^vet`

u 1 , . . . , u _n

^{e vet`}

A

^e

Remarque 18. Par onvention on pose sev`ge ˜

0

.

Exemples 6.

1)

K ⁿ

^sev`ˆ

1 , 0 , . . . , 0



, . . . ,

^ˆ

0 , . . . , 0 , 1

e.

2)

K _n X

^sev`

1 , X, X ² , . . . , X ⁿ

^e.

3) Dans

R ³ ,

^soient

v 1

^ˆ

2 , 1 , 0



, v 2

^ˆ

0 ,

1 , 0



,

v 3

^ˆ

2 ,

1 , 0

etsoit

F

^sev`

v 1 , v 2 , v 3

^{e.Onmontreque}

F

^sev`

v 1 , v 2

^{e sev`}

v 1 , v 3

^e

sev`

v 2 , v 3

^{e, et don un e.v peut avoir plusieurs familles génératries. D'une façon}

générale,le sev nul˜

0

possède exatement deuxfamilles génératries g et ˜

0

, et n'importe quelautresev possèdeune innitédefamillesgénératries.Par exemple,

onsidérons le

R

-ev

R

(haque réel est à la fois salaire et veteur). On a

α α. 1

, don

R

sev`

1

e. En général, si

d

^{est un réel non nul, alors on a}

α ^α _d .d

^{, et don}

R

sev`

d

^e.

4) Soit

u, v

^>

E

^{, alors sev`}

u

^{e ˜}

αu

^~

α

^>

K

^

Ku

^{et sev`}

u, v

^{e ˜}

αu

βv

^~

α, β

^>

K

^

Ku

Kv

^.

Proposition 19. Soient

E

^un

K

^{-e.v et}

A, B, F

^{des parties de}

E

^{, alors :}

1)

F

^sev`

F

^e

F

^{est un sev de}

E

^.

2)

A

^b

B

^sev`

A

^ebsev`

B

^e.

3) Si

F

^{est un sev de}

E

^{, alors :}

A

^b

F

^sev`

A

^{e b}

F

^(ar

F

^{est stable par}

ombinaison linéaire).

4) sev`

A

⁸

B

^{e sev`}

A

^esev`

B

^{e. Consequenes :}

a) sev`

u 1 , . . . , u _m

^{e sev`}

u 1

^esev`

u _m

^e

Ku 1

Ku _m

b) Si

A

^{est une famille génératrie de}

F 1

^et

B

^{est une famille génératrie de}

F 2

^,

alors

A

B

^{est une famillegénératrie de}

F 1

F 2

^.

Dénition 20. On dit qu'un

K

^-e.v

E

^{est de dimension nie s'il admet au moins}

une famille génératrie nie.

'est à dire : §ˆ

u 1 , . . . , u _n

^>

E ⁿ

^{tel que}

E

^sev`

u 1 , . . . , u _n

^e.

Exemples 7.

1)

R ²

sev`ˆ

1 , 0



,

^ˆ

0 , 1

e est de dimension nie.

2) ˜

0

 sev`ge sev`

0

e est de dimension nie.

3)

K _n X

^sev`

1 , X, . . . , X ⁿ

^{e est de dimension nie.}

4)

K X

^{n'est pas de dimension nie.}

2.5 Dépendane et indépendane linéaire.

2.5.1 Famille liées, famille libres.

Dénition21. Soient

E

^un

K

^{-e.vet ˜}

u 1 , . . . , u _n

^{une familleniede veteurs de}

E

^.

1) On dit que ˜

u 1 , . . . , u _n

^{ est une famille liée si :}

il existe

α 1 , . . . , α _n

^>

K

^{, non tous nuls, tels que}

α 1 u 1

α _n u _n 0

. Les veteurs

u 1 , . . . , u _n

^{sont dits} linéairement dépendants.

2) On dit que ˜

u 1 , . . . , u _n

^{ est une famille libre si:}

α 1 u 1

α _n u _n 0 α 1

α _n 0 .

Les veteurs

u 1 , . . . , u _n

^{sont dits} linéairement indépendants.

Remarques 22.

1) Une famille est libre ssi elle n'est pas liée. Par onséquent, une famille quel-

onque est ou bien libre ou bien liée.

2) ˜

u

^{ est liée ssi}

u 0

.

3) Toute sous-famille d'une famille libre est libre.

4) Toute famille ontenant une famille liée est une famille liée. En partiulier :

- Une famillequi ontient un veteur nul est une famille liée.

- Une famillequi ontient deuxveteurs égaux est une famille liée.

5) La notion de libre ou liée ne dépends pas de l'ordre dont ses éléments sont

disposés.

6) Une famille

A

^{est liée ssi il existe}

u

^>

A

^{tel que}

u

^>sev`

A

^ƒ˜

u

^{e; 'est à dire,}

u

est une ombinaison linéaire des autres veteurs de

A

^.

7) Une famille

A

^{est libre ssi}

u

^~>sev`

A

^ƒ˜

u

^{e pour tout}

u

^>

A

^{; 'est à dire, auun}

veteur de

A

^{n'est ombinaison linéaire des autres veteurs de}

A

^.

Exemples 8.

1)

E R ²

: ˜ˆ

1 , 0



,

^ˆ

0 , 1

 et ˜ˆ

1 ,

1



,

^ˆ

1 , 1

 sont des familles libres.

2)

E R ²

: ˜ˆ

1 ,

1



,

^ˆ

1 , 1



,

^ˆ

3 ,

1

 est une familleliée puisqueˆ

3 ,

1



2

ˆ

1 ,

1



ˆ

1 , 1

.

3)

E R ₂ X

^{: ˜}

1 , X, X ²

^{ et ˜}

2 3 X, 3 X

X ² , X ²

^{ sont des familles libres.}

2.6 Bases.

Dénition 23. On dit qu'une famille

B

^ˆ

u 1 , . . . , u _n

^{ d'éléments d'un}

K

^-e.v

E

est une base de

E

^{si et seulement si}

B

^{est une famillelibre et génératrie de}

E

^.

Remarque 24. Soient ˆ

u 1 , . . . , u _n

^{ une base de}

E

^et

α 1 , . . . , α _n

^{une famille de}

salaires non nuls. Alors ˆ

α 1 u 1 , . . . , α _n u _n

^{ est une base de}

E

^.

Exemples 9.

1)

E K ⁿ

^{, soient}

e 1

^ˆ

1 , 0 , . . . , 0



, e 2

^ˆ

0 , 1 , 0 , . . . , 0



, . . . , e _n

^ˆ

0 , . . . , 0 , 1

. Alors

ˆ

e 1 , . . . , e n

^{ est une base du}

K

^-e.v

E

^{, appelée base anonique (ou standard) de}

E

^.

2) ˆ

1 , X, . . . , X ⁿ

^{ est une base de}

K _n X

^{, appelée base anonique de}

K _n X

^.

3) ˜g est une base de ˜

0

.

PropositionetDénition25. Soit

B

^ˆ

u 1 , . . . , u _n

^{unefamillenied'un}

K

^-e.v

E

^{. Alors les propriétés suivantes sont} équivalentes :

1)

B

^{est une base de}

E

^.

2)

u

^>

E

^,

u

^{s'éritdemanièreuniquesouslaforme:}

u α 1 u 1

α _n u _n , α 1 , . . . , α _n

^>

K

^.

Les salaires

α 1 , . . . , α _n

^{sont appelés les oordonnées (ou les} omposantes) de

u

dans la base

B

^.

x _i

^{s'appelle la}

i

^{ème oordonnée (ou omposante) de}

u

^{dans la base}

B

^.

Notation . On utilise les notations

u

^ˆ

α 1 , . . . , α _n

^

_B

^et

u _B

^ˆ

α 1 , . . . , α _n

^{ pour}

dire que

u α 1 u 1

α _n u _n

^.

Proposition 26. Soient

E

^un

K

^-e.v,

F

^{un sev de}

E

^et

B

^ˆ

v 1 , . . . , v _m

^{ une}

familledeveteursde

E

^{. Alors}

B

^estunebasede

F

^{sietseulementsi}

F

^sev`

v 1

^e`

`sev`

v _m

^e

Remarques 27.

1. Si

B

^ˆ

u 1 , . . . , u n

^{est une base de}

E

^{, alors enhangeantl'ordredes veteurs}

u i

on aura une autre base de

E

^{. C'est pour ette raison qu'on note souvent les bases}

ave des parenthèses et non ave des aolades.

Par exemple :

B 1

^ˆˆ

1 , 0



,

^ˆ

0 , 1

 et

B 2

^ˆˆ

0 , 1



,

^ˆ

1 , 0

 sont deux bases du

K

^-e.v

K ²

^{, et on a ˆ}

x, y

^{ ˆ}

x, y

^

_B 1

^ˆ

y, x

^

_B 2

^.

2. Cesontlesoordonnéesdes veteurs quidépendentdes bases etpas lesveteurs.

Théorème et Dénition 28. Soit

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie.Alors :}

1)

E

^{admet au moinsune base .}

2) Toutes lesbases de

E

^{sont nies et ont lemême ardinal('est à dire le même}

nombre d'éléments).

On appelle alors dimension de

E

^{, et on note}

dim _K

ˆ

E

^{ ou}

dim

ˆ

E

^{, le ardinal}

d'une base de

E

^.

Exemples 10.

1)

dim

ˆ˜

0



0

(g est une base de ˜

0

).

2)

dim

ˆ

K

^

1

et

dim

ˆ

K ⁿ

^

n

^.

3)

dim

ˆ

K _n X

^

n

1

(ˆ

1 , X, X ² , . . . , X ⁿ

^{ est une base de}

K _n X

^).

4)

dim _C

ˆ

C



1

et

dim _R

ˆ

C



2

(ar ˆ

1 , i

^{ est une base du}

R

-espae vetoriel

C

).

5) Les sous-espaes vetoriels de dimension

1

sont appelés droites vetorielles et les sous-espaes vetoriels de dimension

2

sont appelés plans vetorielles.

6) Les sous-espaes vetoriels de dimension

n

1

d'un e.v de dimension

n

^sont

appelés hyperplans vetoriels. Lorsque

n 1

, on parle plutt des veteurs. Lorsque

n 2

, on parle de droites vetorielles. Enn, si

n 3

, les hyperplans sont exate-

ment lesplans vetoriels.

Remarque 29. le seul espae vetoriel qui a un nombre ni de bases (une seule)

'est l'espae nul.

Théorème30 (Théorèmedelabaseinomplète).Soient

E

^un

K

^{-evdedimension}

nie,

B

^ˆ

e 1 , . . . , e _n

^unebasede

E

^et

L

^ˆ

v 1 , . . . , v _r

^{unefamillelibrede}

E

^{. Alors}

on peut toujours ompléter

L

^par

n

r

^{éléments de}

B

^{pour obtenirune base de}

E

^.

Remarque 31. Soit

E

^un

K

^{-e.v de dimension}

n

^et

L

^ˆ

v 1 , . . . , v _r

^{une famille}

librede

E

^{. Alorsonpeuttoujours ompléter}

L

^par

n

r

^{veteurs de}

E

^{pour obtenir}

unebasede

E

^{;eneet,erésultatsedéduitduthéorèmepréédentetdel'existene}

d'une base de

E

^.

Théorème 32 (Théorème de labase extraite). Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension}

nie

n

^et

A

^{une famille génératrie de}

E

^{. Alors}

A

^{ontient une base de}

E

^.

Remarque 33. On déduitdesthéorèmes30et32quetoute famillelibre estonte-

nue dans une base, et toute famillegénératrie ontient une base.

On en déduit de plus que:

Si

A

^{est une famille génératrie de}

E

^{, alors on peut ompléter toute famille libre}

de

E

^{par des éléments de}

A

^{pour obtenir une base de}

E

^.

Proposition 34. Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie}

n

^et

A

^{une partie de}

E

^.

Alors :

1)

A

^{est une famille libre ardˆ}

A

^D

n

^.

2)

A

^engendre

E

^ardˆ

A

^E

n

^.

3) (

A

^{est une famillelibre et ardˆ}

A

^

n

^

A

^{est une base de}

E

^.

4) (

A

^engendre

E

^{et ardˆ}

A

^

n

^

A

^{est une base de}

E

^.

Remarques 35. Les ontraposées des impliations et équivalenes de la proposi-

tion préédente s'érivent :

1) Si

A

^{ontient au moins}

n

1

éléments alors

A

^{est liée.}

2) Si

A

^{ontient au plus}

n

1

éléments alors

A

^{n'est pas une famille génératrie}

de

E

^.

3)

A

^{n'est pas une base de}

E

A

^{n'est pas libre ouardˆ}

A

^x

n

A

^{n'engendre pas}

E

^{ou ardˆ}

A

^x

n.

Corollaire 36. Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie}

n

^et

A

^{une partie nie de}

E

^{telle que ardˆ}

A

^

n

^{. Alors les propriétés suivantes sont} équivalentes:

1)

A

^{est une famille libre.}

2)

A

^{est une famille génératrie de}

E

^.

3)

A

^{est une base de}

E

^.

Tableau réapitulatif. Soit

A

^{une famille de veteurs d'un espae vetoriel}

E

de dimension

n

^{. Alors on a le tableau suivant :}

A est libre génératrie de E base de E

ard(A)> n non ? non

ard(A)< n ? non non

ard(A)= n ? ? ?

A libre et ard(A)= n oui oui oui

A génératrie de E et ard(A)= n oui oui oui

Le point d'interrogation signie qu'on ne peut pas tranher.

Proposition37. Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie et}

F

^{un est un sev de}

E

^.

Alors

1)

F

^{est de dimension nie et on'a}

dim

ˆ

F

^D

dim

ˆ

E

^.

2)

dim

ˆ

F

^

dim

ˆ

E

^

F E

^.

Remarque38. La propositionpréédenten'est plusvalable sil'onremplae

E

^par

un espae vetoriel dimension innie.

Théorème 39. (Formule de Grassmann) Soient

E

^un

K

^{-e.v et}

F, G

^{deux sev de}

E

^{de dimensions nies. Alors :}

dim

ˆ

F

G

^

dim

ˆ

F

^

dim

ˆ

G

^

dim

ˆ

F

⁹

G

^

.

Notation . Soient

A

^et

A

^{œ deuxensembles}quelonques. On notepar ˆ

A, A

^œl'en-

semble obtenu en adjoignant à

A

^{les éléments de}

A

^œ.

Par exemple,ˆ˜

u, v, w

^

,

^˜

x, u, z

^{ ˜}

u, v, w, x, u, z

^{ et non pas ˜}

u, v, w, x, z

^.

Il est lair que

A

A

^œbˆ

A, A

^{œ et que, ˆ}

A, A

^œ

A

A

^œ

A

A

^{œ g.}

Dénition 40. On dit que deux sev

F 1

^et

F 2

^{d'un espae vetoriel}

E

^{sont en}

somme direte si

F 1

F 2 F 1

^`

F 2

^.

Proposition 41. Soient

E

^un

K

^{-e.v et}

F 1 , F 2

^{deux sev de}

E

^{de bases}

B 1

^et

B 2

^.

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1)

F 1

^et

F 2

^{sont en somme direte.}

2)

F 1

⁹

F 2 0

. 3)

dim

ˆ

F 1

⁹

F 2

^

0

.

4)

dim

ˆ

F 1

F 2

^

dim

ˆ

F 1

^

dim

ˆ

F 2

^.

5) ˆ

B 1 , B 2

^{ est une famille libre.}

6) ˆ

B 1 , B 2

^{ est une base de}

F 1

F 2

^.

Comme onséquene de la proposition préédente et de la formule de Grass-

mann, ona lerésultat suivant:

Corollaire 42. Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie et}

F 1 , F 2

^{deuxsev de}

E

^de

bases

B 1

^et

B 2

^{. Alors les propriétés suivantes sont} équivalentes : 1)

E F 1

^`

F 2

^.

2)

dim

ˆ

E

^

dim

ˆ

F 1

^

dim

ˆ

F 2

^

dim

ˆ

F 1

F 2

^.

3)

dim

ˆ

E

^

dim

ˆ

F 1

^

dim

ˆ

F 2

^{ et}

F 1

⁹

F 2 0

. 4)

dim

ˆ

E

^

dim

ˆ

F 1

^

dim

ˆ

F 2

^{ et}

F 1

F 2 E

^.

5) ˆ

B 1 , B 2

^{ est une base de}

E

^.

Corollaire 43. Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie}

n

^,

F

^{un sev de}

E

^et

B 1

une base de

F

^{. Pour avoir un} supplémentaire de

F

^{il sut de ompléter}

B 1

^par

une famille de veteurs

B 2

^{pour obtenir une base de}

E

^{. Le sous-espae vetoriel}

G

^sev`

B 2

^{e est un} supplémentaire de

F

⁽

B 2

^{est une base de}

G

^).

2.7 Rang d'une famille de veteurs

Dénition44. Soit

A

^{une partied'un}

K

^-e.v

E

^{. On appellerangde}

A

^{, et onnote}

rgˆ

A

^{, l'entiernaturel : rgˆ}

A

^

dim

ˆsev`

A

^e.

Proposition 45. Soient

A

^et

A

^{œ deux parties d'un}

K

^-e.v

E

^{. Alors :}

1) rgˆ

A

^Dardˆ

A

^.

2)

A

^b

A

^œrgˆ

A

^Drgˆ

A

^œ.

3)

max

ˆrgˆ

A

^

,

^rgˆ

A

^œDrgˆ

A

⁸

A

^{œ rgˆˆ}

A, A

^œDrgˆ

A

^rgˆ

A

^œ.

4) rgˆ

A

^

max

˜rgˆ

A

^œ~

A

^œb

A, A

^œlibre.

Proposition 46. Soit

A

^{une partie d'un}

K

^-e.v

E

^{de dimension nie. Alors :}

1)

A

^{est une famille génératrie de}

E

^rgˆ

A

^

dim E

^.

2)

A

^{est une famille libre de}

E

^rgˆ

A

^{ ardˆ}

A

^

3)

A

^{est une base de}

E

^rgˆ

A

^{ ardˆ}

A

^

dim E

^.

La famille

A

^{est par dénition une famille génératrie de l'espae vetoriel}

sev `

A

^{e. Don pour que}

A

^{soit une base du sev `}

A

^{e il faut et il sut que}

A

^soit

libre. On aalors le orollairesuivant :

Corollaire 47. Soit

A

^{une partiede rang ni d'un}

K

^-e.v

E

^{. Pour que}

A

^{soit une}

base du sev`

A

^{e, il faut et il sut que rgˆ}

A

^{ ardˆ}

A

^.

2.8 Système d'équations linéaires assoié à une fa-

mille de veteurs

Proposition48. Soient

E

^{un espae vetoriel de dimension}

p

^,

B

^{une base de}

E

^,

v

^ˆ

b 1 , . . . , b _p

^

_B

^{un veteur quelonque de}

E

^et

A

^˜

u 1 , . . . , u _n

^{ une famille de}

veteurs de

E

^. Considérons le système d'équations linéaires suivant

ˆ

A

^S

v

^

x 1 u 1 B

x _n u _nB v _B

(à

p

^{équations et}

n

^{inonnues). Alors :}

1)

u

^>sev`

A

^{e ˆ}

A

^S

u

^{ est un système ompatible.}

2)

A

^{est une famille génératrie de}

E

^ˆ

A

^S

v

^{ est un système ompatible.}

3



A

^{n'est pas une famillegénératrie de}

E

il existe un veteur

u

^de

E

^{tel que le systèmeˆ}

A

^S

u

^{n'est pas ompatible}

si on éhelonneˆ

A

^S

v

^{on trouve au moins une ondition de} ompatibilité

.

4)

A

^{est une famille libre de}

E

^ˆ

A

^S

0

 à une seule solution.

5)

A

^{est une famille liée de}

E

^ˆ

A

^S

0

 à une innité de solutions.

6)

A

^{est une base de}

E

^ˆ

A

^S

v

^{ est un système ompatibleave une seule solu-}

tion.

Remarques 49.

1) La proposition péédente n'est qu'une reformulation en termes de systèmes li-

néaires des dénitions d'une famille génératrie, libre, liée et d'unebase.

2) lesystèmeˆ

A

^S

v

^{, où}

v

^ˆ

b 1 , . . . , b _p

^

_B

^{estun veteur quelonque,estun système}

ave des paramétres qui sont

b 1 , . . . , b _p

^.

3) La notation ˆ

A

^S

v

^{ est introduite par l'auteur an de failiter l'ériture. Le ta-}

bleau omplet du système ˆ

A

^S

v

^{ est onstitué des oordonnées des veteursde}

A

^et

de

v

^{dans la base}

B

^{érits en olonne,}

A

^{donne le premier membre et}

v

^{le seond}

membre. Par exemple, posons

A

^˜

u 1 , u 2

^{ où}

u 1

^ˆ

1 ,

2

 et

u 2

^ˆ

2 , 3

 et soit

v

^ˆ

4 , 5

. On a

xu 1

yu 2 u

^ˆ

A

^S

v

^

¢

¨

¨

¨

¨

¤

x

2 y 4

2 x

3 y 5

Le tableau omplet de e dernier système est

1 2 4

2 3 5

les olonnesde e tableau

sont exatement les oordonnées des veteurs

u 1 , u 2

^et

v

^rangées vertialement.

3) Le rang d'unefamillede veteurs

A

^{est égalau rang dusystème homgèneˆ}

A

^S

v

^

où

v

^{est un veteur quelonque de}

E

^{(par exemple}

v 0

).

4) Si on ne mentionne pas la base de l'espaeveotriel

E R ⁿ

, alors ils'agit de la base anonique.

5) Soit

S

^et

S

^{œ ˜}

v 1 , . . . , v _p

^{ deux familles de veteurs de}

E

^{. Alors on a :}

sev`

S

^œebsev`

S

^e

S

^œbsev`

S

^e

v 1

^>sev`

S

^e

, . . . , v _p

^>sev`

S

^e

les systèmesˆ

S

^S

v 1

^

, . . . ,

^ˆ

S

^S

v _p

^{sont ompatibles}

.

Puisque es systèmes ont le même premier membre, alors on peut les éhelonnés

onmêmetemps.Cessystèmesserontnotésˆ

S

^S

v 1 . . . v _p

^{outout simplementˆ}

S

^S

S

^œ.

D'où

sev`

S

^œebsev`

S

^{e les systèmesˆ}

S

^S

S

^œ

sont compatibles.

2.8.1 Coordonnées d'un veteur dans une base

Proposition 50. Soit

B

^{une base d'un espae vetoriel}

E

^,

F

^{un sev de}

E

^{qui a}

B

^{œ ˆ}

u 1 , . . . , u _n

^{omme base etSoit}

v

^{un veteurde}

F

^{. Alors l'unique solutiondu}

système ˆ

u 1 B . . . u _nB

^S

v _B

^{ est exatement égale à}

v _B

^œ.

Corollaire 51. (hangementde base) Soient

B

^et

B

^{œ ˆ}

u 1 , . . . , u _n

^{ deuxbases de}

E

^et

v

^{un veteur de}

E

^{. Alors l'unique solution du système ˆ}

u 1 B . . . u _nB

^S

v _B

^{ est}

exatement égale à

v _B

^œ.

2.8.2 Complétion d'une famille libre

Proposition 52. Soient

A

^˜ˆ

v 1 , . . . , v _p

^{ une famille libre d'un}

K

^-e.v

E

^de

dimension nie,

B

^ˆ

u 1 , . . . , u _n

^{ une base de}

E

^et

v

^{un veteur quelonque de}

E

(on peut prendre

v 0

) et ˆ

v 1 B . . . v _pB

^S

v _B

^{ le système assoiéà la famille}

A

^{et le}

veteur

v

^{. Pour ompléter la famille}

A

^{, par des veteurs de}

B

^{, en une base de}

E

^,

on transforme le système ˆ

v 1 B . . . v _pB

^S

v _B

^{ en un système à lignes éhelonnées}

puis on onsidère les lignes

L _i

^{qui sont nulles} ('est-à-dire, ne ontenant pas de pivots). On herhe la position de l'origine de haunede es lignes dans la ma-

trie initiale et ei on ne onsidérant que les permutations sur les lignes

utilisées. Alors les veteurs

u _i

^{dont les indies}

i

orrespondent aux positions trouvées omplétent

A

^{en une base de}

E

^.

Remarques 53.

1. Si

E R ⁿ

, on prend souvent

B

^{la la base anonique (la base le plus naturel de}

R ⁿ

).

2.Onpeutaussiherherla positiondel'originedehaquelignenonnulle('est-

à-dire, ontenant un pivots) dans la matrie initiale et ei on ne onsidérant

que les permutations sur les lignes utilisées. Dans e as, les veteurs

u _i

dont lesindies

i

^{ne orrespondent pas aux positions trouvées omplétent}

A

^en

une base de

E

^.

3. Si on a pas utilisée de permutations sur les lignes,alors les veteurs de

B

^dont

les indies

i

orrespondent aux positions des lignes nulles, omplétent

A

^{en une}

base de

E

^{. Par exemple,}

E R ⁴

et

B

^{est la base anonique.}

A

^Sanspermutationsdeslignes

1 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0

. On peut ompléter

A

^{par les veteurs}

e 3

^et

e 4

^.

A

^Sanspermutationsdeslignes

1 4 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0

. On peut ompléter

A

^{par les veteurs}

e 2

^et

e 4

^.

A

^Sanspermutationsdeslignes

1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0

. On peut ompléter

A

^{par les veteurs}

e 2

^et

e 3

^.

2.8.3 Détermination d'un supplémentaire

Proposition 54. Soient

E

^un

K

^{-e.v de dimension nie}

n

^,

F

^{un sev de}

E

^et

B 1

une base de

F

^{. Soit}

B 2

^{une famille de veteurs qui omplète}

B 1

^{en une base de}

E

^{. Alors Le sous-espae vetoriel}

G

^sev`

B 2

^{e est un} supplémentaire de

F

⁽

B 2

^est

une base de

G

^).

2.8.4 Base extraite d'une famille génératrie

Proposition 55. Soient

A

^{une famille de veteurs d'un}

K

^-e.v

E

^{de dimension}

nie, ˆ

A

^S

0

 le système homogène assoié à la famille

A

^,

r

^{le rang de e système}

et

F

^sev`

A

^{e le sous espae vetoriel engendré par}

A

^{. Alors}

dim F r

^{et les}

veteurs de

A

^{assoiésaux inonnues prinipales('estàdire,aux olonnespivots)}

onstituent unebase de

F

^{extraite de}

A

^(lespermutationsdes olonnesdoivent être prises en ompte).

Remarque 56. Une olonne pivot est une olonne qui ontient un pivot.

2.8.5 Représentation artésienne d'un espae vetoriel

Équations artésiennes d'un espae vetoriel

Dénition 57. Soit

F

^{un sev de}

R ⁿ

. Si

F

^{est déni par un système} d'équations linéaires ˆ

S

^ (néessairement homogène), On dit que ˆ

S

^{ est une} représentation artésienne de

F

^{, et les équations de ˆ}

S

^{ sont dites des équations}artésiennes de

F

^.

Remarques 58.

1) Soit ˆ

S

^{ un système} d'équations linéaires homogène et

F

^{un sev de}

E R ⁿ

. Alors ˆ

S

^{ est une} représentation artésienne de

F

^{si et seulement si}

F

^{est égal à}

l'ensemble

S

^{des solutions de ˆ}

S

^.

Généralement('est-à-dire, si

E

^x

R ⁿ

),Si

E

^{est muni d'unebase}

B

^{, alors ˆ}

S

^{ est}

une représentation artésiennede

F

^{sietseulement sil'ensembleonstitué par les}

oordonnéesdes veteurs de

F

^{dansla base}

B

^{est égalà l'ensemble}

S

^{des solutions}

de ˆ

S

^.

2) Deux systèmes homogènes équivalents dénissent le même sev de

E

^{. Don un}

même sev de

E

^{peut avoir plusièures (uneinnité)} représentations artésiennes.

Exemples 11.

1) Dans

R ³

, l'ensemble

F

^˜ˆ

x, y, z

^~

x

y

z 2 x

3 z 0

 est le sev de

R ³

d'équations artésiennes

¢

¨

¨

¨

¨

¤

x

y

z 0

2 x

3 z 0

C'est-à-dire,

F

^{est l'ensemble des solutions de e système.}

2)Dans

R ₂ X

^{munid'unebase}

B

^,l'ensemble

F

^˜ˆ

x, y, z

^

_B

^~

x

y

z 2 x

3 z 0



est le sev de

R ₂ X

d'équations artésiennes

¢

¨

¨

¨

¨

¤

x

y

z 0

2 x

3 z 0

On a

u

^ˆ

x, y, z

^

_B

^>

F

¢

¨

¨

¨

¨

¤

x

y

z 0

2 x

3 z 0

Proposition59. Soient

E

^{un espae vetoriel de dimension}

n

^,

B

^{une base de}

E

^,

A

^{une famillede veteursde}

E

^,

F

^sev`

A

^{e lesousespaevetorielengendrépar}

A