29févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

Sébastien Verel

vereli3s.unie.fr

www.i3s.unie.fr/

∼

ÉquipeSoBi-UniversitédeNieSophia-Antipolis

29 février2008

Objetifs de la séane 6

Faire ladiérene entrealéatoire et pseudo-aléatoire

Simulerun nombrepseudo-aléatoire entierou ottantentre 2

bornes données

Erire unalgorithmeutilisant ungénérateur pseudo-aléatoire

Erire unalgorithmequigénère dessériestemporellesdutype

u

t

+

=

+

+ ǫ

+

= (

+ ǫ)

+

Question prinipaledujour :

Comment générerune sériede nombres quiont l'aird'être

aléatoires?

Plan

1

Introdution

2

Générateurs pseudo-aléatoire

3

Algorithmesstohastiques

Aiguille de Buon

Expériene

Laner n fois uneaiguillede longueur2l surparquet dontles lames

sontde largeur2a .

Soit p

n

lenombrede fois quel'aiguilleinterepteunelamede

parquet.

La fréquene p

n

n

permetd'approximer lenombre

π

lim

n

→∞

p

n

n

=

a

π

→

Besoin de nombres aléatoires

Simulation :

Modèleéonomique, soiologique,physique, médiale,...

Cryptographie :

Génération sûre de lésdehirement

Optimisation stohastique :

méthodesde MonteCarlo,reuit simulé,algorithmes

génétiques, Paritules Swarm Optimisation...

Jeux de hasard:

Loto, suduko,...

Besoin roissantde nombres aléatoiresen partiulieren simulation

et en ryptographie

Problème de génération

Méthodesprinipales degénérateurs de nombresaléatoires:

Al'aided'un système physique dontl'étatest aléatoire :

Valeurpréise d'une résistane,appartition destahessolaires,

vibrationde matière...

→

Al'aided'un ordinateur:

Mais unordinateur estune mahinedéterministe:

tout étatprohain est unefontion(image unique)des états

préèdents de lamahine.

→

→

Depuistrès peu :ombinaison desdeux

Tehnique de génération : le pseudo-aléatoire

2 étapes:

Initialisationd'un premier nombre appelégraine :

u

0

Génération d'unesuitede nombres dénieparréurrene :

u

n

+

=

(

)

3402093

,

,

,

,

, ...

Limite des mahines : le pseudo-aléatoire

Mais :

Taillede mémoirelimitée

Nombre de registresde alul d'un proesseurlimité

→

La suitedesnombresdoit avoirertaines propriétés de l'aléatoire

→

Petit historique

Développementessentiellementdûau besoinen simulationet

ryptographie.

1946 :John Von Neumann, générateurMiddlesquare

1948 :D. H.Lehmer,générateur ongrueniel

1958 :G.T.Mithell, etD.P.Moore,améalioration

1997 :Makoto MatsumotoetTakuji Nishimura:

Mersenne-Twister

Algorithme de Von Neumann

MiddleSquare

Prinipe:pouraluler lenombre suivant, onélève auarré le

nombrepréèdentpuis ononserve les hiresdumilieu.

Exemple :

Graine:1111

1. 1111

2

=

2. 23432

2

=

3. ...

Périodiitéfaible

Dépendbeauoup de lagraine

àfontionnner sur l'ENIAC,mais trèsvite limité.

Algorithme de Von Neumann

n :variableglobale ontenantle nombreourant pseudo-aléatoire

Algorithme randSeed(k :entier) :

début

n

←

n

Algorithme rand() :entier

début

variable nbChires :entier

nbChires

←

(

)

n

←

retournern

n

Méthode de Von Neumann

// nombreourantpseud-aléatior e

int n=1111;

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*initialisationgénérateur pseudo-aléatoi re deVonNeumann

*

*entrée:

* grainedu générateuraléatoire

*

*sortie:

* auune

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

voidrandSeed(int k) {

n=k;

}

Méthode de Von Neumann

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*générateurpseudo-aléatoire deVon Neumann

*

*entrée:

* auune

*

*sortie:

* nombrenonattendu suivant

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

int rand(){

intnbChiffre =int(log(n *n) /log(10));

n=(n*n)%int(exp(nbChiffr e*log(10))) /10;

returnn;

}

voidsetup(){

randSeed(1111) ;

println(rand() );

println(rand() );

}

Méthode de Fibonai

Basé surlasuitede Fibonai et l'arithmétiquemodulaire.

x

n

=

−

+

−

modM

ave x

0 etx

1

omme graines

Ou une varianteave k unentier.

x

n

=

−

+

−

mod M

ave x

0 ...x

k

−

omme graines

Qualité :dépendde k et desnombresutiliséspour graines

Peu de onsommationde ressoures

Méthode de Fibonai

Algorithme

On supposen

0 ,n

1

et M sontdesnombres entiersdénisde

manière globale.

Algorithme rand() :entier

début

variable suiv:entier

suiv

←

+

n

0

←

1

←

retournersuiv

n

Méthode Fibonai

// nombresourants pseudo-aléatoi re s

int n0;

int n1;

// ongruene

int M=1000;

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*générateurpseudo-aléatoire deVon Neumann

*

*entrée:

* grainedu générateuraléatoire

*

*sortie:

* auune

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

voidrandSeed(int _n0,int_n1){

n0=_n0;

n1=_n1;

}

Méthode Fibonai

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*générateurpseudo-aléatoire Fibonai

*

*entrée:

* auune

*

*sortie:

* nombrenonattendu suivant

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

int rand(){

intsuiv=(n0+n1)%M;

n0=n1;

n1=suiv;

returnsuiv;

}

voidsetup(){

randSeed(23456 , 9726);

println(rand() );

println(rand() );

}

Générateurs ongruentiels linéaires

Basé surles suitesarithmétiquo-géométriques etl'arithmétique

modulaire.

x

n

=

−

+

ave x

0

unegraine.

Périodeau maximumm.

m hoisitde latailledesnombres enmahine 2 32

.

Simple àimplémenter....

Algorithme

On supposeraque x

0

,a, etmsontdéterminés globalement,ainsi

que lenombre ourant x.

Algorithme rand() :entier

début

x

←

+

retournerx

n

Méthode par ongruene linéaire

// nombresourants pseudo-aléatoi re s

int n;

// ongruene

int M=1000;

int a=53;

int =97;

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*générateurpseudo-aléatoire basée surlaongruene

*

*entrée:

* grainedu générateuraléatoire

*

*sortie:

* auune

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

voidrandSeed(int _n){

n=_n;

}

Méthode par ongruene linéaire

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*générateurpseudo-aléatoire basésurlaongruene

*

*entrée:

* auune

*

*sortie:

* nombrenonattendu suivant

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

int rand(){

n=(a*n+)%M;

returnn;

}

voidsetup(){

randSeed(23456 );

println(rand() );

println(rand() );

}

Mersenne-twister (Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura

1997)

Basé surles nombres de Mersenne2 p

−

Période2 19937

−

distributionuniformesur 623 dimensions

N'est pas ungénérateuradapté à laryptographie,mais très

utile en simulationet optimisation.

Propriétés statistiques

Les générateurs pseudo-aléatoiresgénèrentdes loisuniformes

U

(

,

−

)

Certainespropriétésstatistiquesd'un générateur pseudo-aléatoire

sont attendues:

Propriétéde ladistributiondes nombres:moments, fréquene

d'apparitiondesnombres,omparaison àlaloiuniforme

Entropie maximale

Indépendane statistiquedes nombresde lasérie :

autoorrélation,testspetral

Générateur pseudo-aléatoires de nombres ottants

Initialisationde lagrainealéatoire

randomSeed(n)

Nombrealéatoire (oat)entre 0 etb (b exlu)

random(b)

Nombrealéatoire (oat)entre aet b (b exlu)

random(a, b)

Générateur pseudo-aléatoires de nombres entiers

Nombrealéatoire (int)entre0 etb

−

int(random(b))

Nombrealéatoire (int)entrea etb

−

int(random(a, b))

Jeu où l'on doit deviner un nombre entre 0 et 100

Algorithme deviner() :rien

début

variable a , n :entier

n

←???

a

←

−

tant quea

6=

a

←

<

érire("trop petit")

sinon

érire("trop grand")

nsi

ntant que

érire("gagné")

Jeu où l'on doit deviner un nombre entre 0 et 100

Algorithme deviner() :rien

début

variable a , n :entier

n

←

(

(

))

a

←

−

tant quea

6=

a

←

<

érire("trop petit")

sinon

érire("trop grand")

nsi

ntant que

érire("gagné")

Jeu où l'on doit deviner un nombre entre 0 et 100

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** ** ** ** *

* Organise lejeuquionsiste àdevinerun nombre

*

* entrée:

* -n:nombreàdeviner

*

* sortie:

* -auune

************** ** *** ** ** ** ** *** ** ** ** ** */

voiddeviner() {

intrep;

intn=int(random(101) );

rep=n-1;

while (rep!= n){

rep=lire("Proposer unnombreentier");

if(rep<n)

println("trop petit");

else

if(rep>n)

println("tropgrand");

}

println("Gagné!");

}

Simulation de laner de éhettes

Simulation d'un lané de n éhettessur uneible

Algorithme laner(n:entier) :entier

début

variable i,pts:entier

variable

ρ

θ

pts

←

pour ide 0 àn

−

ρ ←

(

) θ ←

(−π, π)

point(

ρ

(θ)

ρ

(θ)

pts

←

ρ

npour

retournerpts

Simulation de laner de éhettes

Algorithme points(d:réel):entier

début

sid>10alors

retourner0

sinon

sid>5alors

retourner3

sinon

sid>2alors

retourner5

sinon

sid>1alors

retourner10

sinon

retourner20

nsi

nsi

nsi

nsi

n

Simulation de laner de éhettes

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*lanerdenflehettes

*

*entrée:

* n: entier,nombrede laner

*

*sortie:

* nombrepoints surnlaners

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

int laner(intn){

intpts=0;

float rho,theta ;

for(inti=0;i<n;i++){

rho =random(10);

theta=random(-3.14159 265 35 8,3.14159265358) ;

point(width /2+10 *rho*os(theta), height/2+10*rho*sin(theta));

pts+=nbPoints(rho);

}

returnpts;

}

Simulation de laner de éhettes

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*omptelenombre depoint enfontion deladistane auentre

*

*entrée:

* rho:distane auentre

*

*sortie:

* nombrede point

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

int nbPoints(floatrho){

if(rho>10)

return0;

else

if(rho>5)

return3;

else

if(rho>2)

return5;

else

if(rho>1)

return10;

else

return20;

}

Simulation de marhe aléatoire

Simulation unemarhe aléatoire de n pas surl'ensembledes entiers

(positifsou négatif) en partant dupointentral.

Algorithme marheZ(n:entier):rien

début

variable x,y:entier

x

←

y

←

pourxde0àn

−

siint(random(2))==0alors

y

←

+

y

←

−

nsi

siint(random(2))==0alors

x

←

+

x

←

−

nsi

point(x,y)

npour

n

Simulation de marhe aléatoire

/************* ** *** ** ** ** ** *** ** *

*marhealéatoire surZ^2

*

*entrée:

* n: entier,nombrede pas

*

*sortie:

* auune

*************** *** ** ** ** ** *** ** /

voidmarhe(int n){

intx,y;

y=height/2;

x=width /2;

for(inti=0;i<n;i++){

if(random(2)<1)

y++;

else

y--;

if(random(2)<1)

x++;

else

x--;

point(x,y);

stroke(i%255,255,255);

Objetifs de la séane 6

Faire ladiérene entrealéatoire et pseudo-aléatoire

Simulerun nombrepseudo-aléatoire entierou ottantentre 2

bornes données

Erire unalgorithmeutilisant ungénérateur pseudo-aléatoire

Erire unalgorithmequigénère dessériestemporellesdutype

u

t

+

=

+

+ ǫ

+

= (

+ ǫ)

+

Question prinipaledujour :

Comment générerune sériede nombres quiont l'aird'être

aléatoires?