7févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

(1)

Liene 2MASS - Algorithmique etInformatiqueThéorique

Sébastien Verel

vereli3s.unie.fr

www.i3s.unie.fr/

∼

^verel

ÉquipeSoBi-UniversitédeNieSophia-Antipolis

(2)

Algorithmesréursifs

Résolutiondeproblèmesparréursivité

Objetifs de la séane 3

savoir démontreràl'aidedu prinipe de réurrene

savoir dénirle lienentre preuvepar réurreneet algorithme

réursif

ériredes algorithmesréursifs omme parexemple elui

alulant lafatorielleet reherhant unélémentpar

dihotomie

Questions prinipales dujour :

Comment ériree quel'onne onnaitpas enore?

(3)

Plan

1

Preuve parréurrene

Exemples

Prinipe de réurrene

2

Exemples

Dénition

Algorithmes lassiques

(4)

Exemples

Prinipederéurrene

Exemple de preuve par réurrene simple

Inégalité de Bernouilli(1700- 1782)

Pour tout x

>

^0,^et ^pour^tout ^entier^n,

(

¹

+

^x

)

ⁿ

≥

¹

+

^nx

(5)

Exemples

Prinipederéurrene

Exemple de preuve

Soit pourtout n

∈

^I^N,^lapropositionP n

:"

(

¹

+

^x

)

ⁿ

≥

¹

+

^nx".

"départ"

(

¹

+

^x

)

⁰

=

¹ ^et¹

+

⁰

.

^x

=

^1,

d'où

(

¹

+

^x

)

⁰

≥

¹

+

⁰

.

^x

don P

0

estvrai.

(6)

Exemples

Prinipederéurrene

Exemple de preuve

Pour tout n

∈

^I^N,^Pn

:"

(

¹

+

^x

)

ⁿ

≥

¹

+

^nx".

Hérédité Supposonsqu'il existen

∈

^I^N,^tel ^que^Pn

soit vrai.

Montronsque P

n

+

1

est vrai.

(

¹

+

^x

)

ⁿ

⁺

¹

= (

¹

+

^x

)

ⁿ

(

¹

+

^x

)

^.

D'après l'hypothèsede réurrene,nous avons

(

¹

+

^x

)

ⁿ

⁺

¹

≥ (

¹

+

^nx

)(

¹

+

^x

)

^.

Cequisedéveloppe en

(

¹

+

^x

)

ⁿ

⁺

¹

≥

¹

+ (

ⁿ

+

¹

)

^x

+

^nx²^.

Orx

>

^0,^nous ^avons^don

(

¹

+

^x

)

ⁿ

⁺

¹

≥

¹

+ (

ⁿ

+

¹

)

^x^.

Nous avonsdémontrél'hérédité de P :

∀ ∈ , ⇒

(7)

Exemples

Prinipederéurrene

Exemple de preuve

"départ" P

0

est vrai.

Hérédité Nous avonsdémontrél'hérédité de P :P

n

⇒

^Pn

+

1 .

don d'après leprinipe duraissonnementparréurrene,

∈

(8)

Exemples

Prinipederéurrene

Exemple de preuve par réurrene double

Suite de Fibonahi, formulede Binet

Soit lasuite







u

0

=

¹

u

1

=

¹

u

n

+

2

=

^uⁿ

+

^uⁿ

+

1

, ∀

ⁿ

∈

^I^N

Alors

∀

ⁿ

∈

^I^N,^un

= √

¹

5

(λ

ⁿ

⁺

¹

− µ

ⁿ

⁺

¹⁾^ave

λ =

¹

⁺ ^√

⁵

2

et

µ =

¹

⁻ ^√

⁵

2 .

(9)

Exemples

Prinipederéurrene

Soitpourtoutn

∈

^I^N,^lapropositionP n

:"u

n

= √

¹

5

(λ

ⁿ

⁺

¹

− µ

ⁿ

⁺

¹

)

^".

"départ"

1

√

5

(λ − µ) =

¹

=

^uO

don P

0

est vrai.

1

√

5

(λ

²

− µ

²

) =

¹

=

^u1

donP

1

est vrai.

(10)

Exemples

Prinipederéurrene

Pour tout n

∈

^I^N,^Pn :"u

n

= √

¹

5

(λ

ⁿ

⁺

¹

− µ

ⁿ

⁺

¹

)

^".

Hérédité Supposonsqu'ilexisten

∈

^I^N,^tel ^que^Pn etP

n

+

1

soientvraies.

Montronsque P

n

+

2

est vraie.

u

n

+

2

=

^un

+

^un

+

1 d'où u

n

+

2

= √

¹

5

(λ

ⁿ

⁺

³

(λ ⁻

¹

+ λ ⁻

²

) − µ

ⁿ

⁺

³

(µ ⁻

¹

+ µ ⁻

²

))

^.

Or

λ

²

= λ +

¹ ^(nombre ^d'or)^d'où

λ ⁻

¹

+ λ ⁻

²

=

^1.^De^même,

µ ⁻

¹

+ µ ⁻

²

=

^1.

Nous obtenons donu

n

+

2

= √

¹

5

(λ

ⁿ

⁺

³

− µ

ⁿ

⁺

³

)

^.

Nous avonsdémontrél'hérédité de P :

∀

ⁿ

∈

^I^N

, (

^Pn

∧

^Pn

+

1

) ⇒

^Pn

+

2 .

(11)

Exemples

Prinipederéurrene

"départ" P

0

est vrai.

P

1

est vrai.

Hérédité Nous avonsdémontrél'hérédité de P :

(

^Pⁿ

∧

^Pn

+

1

) ⇒

^Pn

+

2 .

don d'après leprinipe duraissonnementparréurrene,

pour tout n

∈

^I^N,^Pn

est vrai.

(12)

Exemples

Prinipederéurrene

Prinipe

Deux étapes à démontrer:

le caractère héréditaire

Si Pn est vraie

pour un n>= n0 Pn+1 est vraie alors Pn0 est vraie

l’initialisation

Pour onlure:

P

n

est vraiepourtout n

≥

ⁿ0

(13)

Exemples

Prinipederéurrene

Raisonnement par réurrene

Raisonnement parréurrene

Soit pourtout n entier,unepropositionP

n .

S'il existeune entiern

0

telque P

n0

est vraietpour toutk

≥

ⁿ0 ,

P

k

⇒

^Pk

+

1

alorspourtout entiern

≥

ⁿ0 ,P

n

estvrai.

(14)

Dénition

Algorithmeslassiques

Exemple du alul du pgd

Algorithme PGCD(a ,b :entier): entier

début

sib

=

⁰ ^alors

retourner a

sinon

←

^a^modulo^b

retourner PGCD(b,)

nsi

n

(15)

Dénition

Exéution de l'algorithme

Pour a

=

⁷⁰^et ^b

=

⁴⁶²

1. PGCD(70, 462)

2. b

6=

⁰

5.

=

⁷⁰

6. PGCD(462, 70)

2. b

6=

⁰

5.

=

⁴²

6. PGCD(70, 42)

6=

(16)

Dénition

Pour a

=

⁴⁶² ^et^b

=

⁷⁰

6. PGCD(28, 14)

2. b

6=

⁰

5.

=

⁰

6. PGCD(14, 0)

2. b

=

⁰

3. PGCD =2

(17)

Dénition

Elements de l'algorithme

Base :initialisationde laréurrene

si b

=

⁰^alors

retournera

sinon

...

n si

Hérédité:alul àpartirde paramètresplus "petits"

si b

=

⁰^alors

...

(18)

Dénition

Dénition (informelle)

Un algorithmeréursifest unalgorithmequifaitappel àlui-même

dans leorps de sapropre dénition.

Il existe deuxtypesd'algorithmes réursifs:

les algorithmes réursifsquise terminent :

au boutd'un nombrenid'opérations,l'algorithmes'arrête.

les algorithmes réursifsquine seterminent pas :

on peut imaginerquel'algorithmeontinue "éternellement"de

aluler.

(19)

Dénition

Exemples

Algorithme suiteU(n :entier) :réel

début

sin

=

⁰^alors

retourner 2

sinon

retourner 1

2

suiteV

(

ⁿ

−

¹

) +

²

nsi

n

(20)

Dénition

Exemples

Algorithme suiteV(n :entier) : :réel

début

sin

=

⁰^alors

retourner 2

sinon

retourner 1

2

suiteV(n-1)

+

²

nsi

n

suiteVest unalgorithmerésursif quisetermine

(21)

Dénition

Exemples

Algorithme suiteW(n:entier) :réel

début

sin

=

⁰^alors

retourner 2

sinon

retourner 1

2

suiteW(n-3)

+

²

nsi

n

(22)

Dénition

Exemple d'exéution

Caluldelapuissane

Dénition mathématique :

a n

=

1

,

^si ⁿ

=

⁰

a

n

−

¹

.

^a

,

^sinon

Algorithme puissane(a:réel, n :entier) :réel

début

sin

=

⁰^alors

retourner 1

sinon

retourner puissane(a,n-1) *a

nsi

(23)

Dénition

Exemple d'exéution

Caluldelapuissane

Calulde

(

²

.

⁵

)

³ ^:^a

=

²

.

⁵^et ⁿ

=

^3.

1. puissane(2.5, 3)

2. > puissane(2.5,2)

3. ->puissane(2.5, 1)

4. -> puissane(2.5, 0) =1

5. ->puissane(2.5, 1) =1 *2.5=2.5

(24)

Dénition

Prinipe d'exéution

...

0 1 N−3 N−2 N−1 N

(25)

Dénition

Intérêts

bienadapté àla résolutionde ertainsproblèmes(et pas

seulement mathématiques!)

algorithmessouvent moins"laborieux"àérire:

moinsde variables,beauoups moinsde boules.

une résolutionparalgorithmeréursifnéessitesouvent de

prendre dureulpour résoudreleproblème (avantage!)

(26)

Dénition

A ne pas oublier!

Hérédité:alul àpartirde paramètresplus "petits"

si b

=

⁰^alors

...

sinon

...

retournerPGCD(b,b mod a )

n si

n

...

0 1 N−3 N−2 N−1 N

(27)

Dénition

A ne pas oublier!

Base :initialisationde laréurrene

si b

=

⁰^alors

retournera

sinon

...

n si

0 1 N−3 N−2 N−1 N

(28)

Dénition

Parallèle entre prinipe de réurrene et algorithme réursif

dénitionmathématique parréurrene

trèsprohe

dénitiond'un algorithme réursif(f.puissane)

Modes dealul prohes :

a

3

=

^a

.

^a²

=

^a

.

^a

.

^a¹

=

^a

.

^a

.

^a

(29)

Dénition

A méditier

Caluldelapuissane

Algorithme puissaneTerminale(a :réel,n : entier,a : réel):

réel

début

sin

=

⁰^alors

retourner a

sinon

retourner puissaneTerminale(a ,n

−

^1, ^a

∗

^{a )}

nsi

(30)

Dénition

Calul de la fatorielle

Fatorielle

n

! =

1

,

^siⁿ

=

⁰

n

.(

ⁿ

−

¹

)!,

^sinon

Algorithme fatorielle(n :entier) : :entier

début

sin

=

⁰^alors

retourner 1

sinon

retourner n *fatorielle(n-1)

nsi

(31)

Dénition

Calulde 3

!

^.

1. fatorielle(3)=3 * fatorielle(2)

2. > fatorielle(2)=2* fatorielle(1)

3. ->fatorielle(1)=1* fatorielle(0)

4. -> fatorielle(0)=1

5. ->fatorielle(1)=1* 1 =1

(32)

Dénition

Reherhe dihotomique

Reherhed'unedénitiondansunditionnaire

Algorithme reherheDiho(ible:mot): listedemot

début

premier

←

^premier^mot^duditionnaire dernier

←

^dernier^mot^duditionnaire Lirelemotmédianentrepremieretdernier

tant quemotlun'estpaslemotiblefaire

simotibleestavantlemotlualors

dernier

←

^mot^lu

sinon

premier

←

^mot^lu

nsi

Lirelemotmédianentrepremieretdernier

ntantque

retournerdénitiondumotlu

(33)

Dénition

Reherhe dihotomique : réursive

Reherhedel'existened'unmotdansunditionnaire

Algorithme reherhe(m:mot,l:liste):booléen

début

variable :lu:mot

lu

←

^median(l)

silu=malors

retournerVrai

sinon

silu

<

^m^alors

retournerreherhe(m,listeàdroitedelu)

sinon

(34)

Dénition

Reherhe dihotomique : réursive

Reherhedel'existened'unmotdansunditionnaire

Algorithme reherhe(m:mot,l:liste): :booleen

début

variable :lu:mot

silestvidealors

retournerFaux

sinon

lu

←

^median(l)

silu=malors

retournerVrai

sinon

silu

<

^m^alors

retournerreherhe(m,listeàdroitedelu)

sinon

retournerreherhe(m,listeàgauhedelu)

nsi

(35)

Dénition

Reherhe dihotomique

Reherhedansuntableaudenombresentiersordonnés

Algorithme reherhe(n:entier,t:tableaud'entiers,a, b:entier):booléen

début

variable ::entier

sia

>

^b^alors

retournerFaux

sinon

← (

^a

+

^b

)/

²

sit

[

] =

ⁿ^alors

retournerVrai

sinon

sit

[

] <

ⁿ^alors

(36)

Dénition

t: 2 5 6 8 11 15 20

1. reherhe(6, t,0,6)

1.

=

³

1. t

[

³

] >

⁶

2. > reherhe(6,t, 0,2)

2.

=

¹

2. t

[

¹

] <

⁶

3. ->reherhe(6, t, 2,2)

3.

=

²

3. t

[

²

] =

⁶

3. ->reherhe(6, t, 2,2) =Vrai

(37)

Quand utiliser un algorithme réursif?

Est-eque leproblème dépendd'un (ou plusieurs)

paramètre(s)?

Est-ilpossiblede résoudreleproblèmelorsquela(les)valeur(s)

duparamètreest "petite(s)"?

Est-il possible de résoudreleproblème àl'aidede larésolution

duproblème portant sur une(des) "pluspetite(s)" valeur(s)

duparamètre?

(38)

Tours de Hanoï (Édouard Luas 1842 - 1891)

Le problèmedes toursde Hanoï onsiste àdéplaer N disquesde

diamètres diérentsd'une tourde départàune tourd'arrivéeen

passant parune tourintermédiaireeteien unminimum de

oups, touten respetant les règlessuivantes :

on ne peut déplaer plusd'un disque àlafois,

on ne peutplaerundisque quesurunautredisque plusgrand

que luiou sur unemplaementvide.

(39)

Comment résoudre e problème?

paramètre(s)?

−→

^Oui ^le^nombre ^de^disques.

−→

^Oui ^lorsque^le ^nombre^de ^disque ^est ^1.

(40)

Algorithme réursif

Algorithme hanoi(n:entier,A :aratère,B :aratère,C :

aratère ) :rien

début

sin

=

¹^alors

érire("déplaer",A, "vers ",C)

sinon

hanoi(n-1, A,C, B);

érire("déplaer",A, "vers ",C)

hanoi(n-1, B,A, C);

nsi

n

(41)

Hanoi(2, 'a', 'b','')

Hanoi(3, 'a', 'b','')

Hanoi(4, 'a', 'b','')

Quelest le nombrede déplaementsen fontionde n?

Pour tout entiern

≥

^1,^Cn

=

²ⁿ

−

^1.^A^démontrer ^parréurrene...

(42)

Temps de diusion

Caluler T

a

(

ⁿ

) =

^a

+

^2a

+

^3a

+ . . . +

ⁿ

.

^a

paramètre(s)?

−→

^Oui ^n.

−→

^Oui ^pour ⁿ

=

⁰ ^ou ⁿ

=

¹

duproblème portant sur une(des) "pluspetite(s)" valeur(s)

duparamètre?

−→

^Oui,^Ta

(

ⁿ

) =

^Ta

(

ⁿ

−

¹

) +

ⁿ

.

^a

(43)

Temps de diusion

Algorithme

Algorithme diusion(a:réel, n :entier) :réel

début

sin

=

⁰^alors

retourner 0

sinon

retourner diusion(a,n-1)

+

ⁿ

.

^a

(44)

Calulde T

4

(

³

)

1. diusion(4,3)

2. > diusion(4,2)

3. ->diusion(4,1)

4. -> diusion(4,0) =0

5. ->diusion(4,1) =0 +4 =4

6. > diusion(4,2) =4+2

.

⁴⁼¹²

7. diusion(4,3) =12 +3

.

⁴ ⁼²⁴

(45)

Régionnement du plan

Etant donnéun nombren de droites,aluler lenombreR

n

maximum de régionsduplan obtenus

paramètre(s)?

−→

^Oui ^le^nombre ⁿ ^de ^droites.

−→

^Oui ^pour ⁿ

=

⁰ ^ou ⁿ

=

¹

(46)

Régionnement du plan

Algorithme

Algorithme region(n:entier) :entier

début

sin

=

⁰^alors

retourner 1

sinon

retourner region(n-1)

+

ⁿ

nsi

n

(47)

Objetifs de la séane 3

savoir démontreràl'aidedu prinipe de réurrene

savoir dénirle lienentre preuvepar réurreneet algorithme

réursif

ériredes algorithmesréursifs omme parexemple elui

alulant lafatorielleet reherhant unélémentpar

dihotomie

7févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

∼

>

(

+

)

≥

+

∈

(

+

)

≥

+

(

+

)

=

+

.

=

(

+

)

≥

+

.

∈

(

+

)

≥

+

∈

+

(

+

)

+

= (

+

)

(

+

)

(

+

)

+

≥ (

+

)(

+

)

(

+

)

+

≥

+ (

+

)

+

>

(

+

)

+

≥

+ (

+

)

∀ ∈ , ⇒

⇒

+

∈







=

7févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

⁺

⁺

⁺

⁺

⁺

⁺

⁺ ^√

⁻ ^√

⁺

⁺

⁺

⁺

⁺

(λ ⁻

+ λ ⁻

⁺

(µ ⁻

+ µ ⁻

λ ⁻

+ λ ⁻

µ ⁻

+ µ ⁻

⁺