14
a2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

David SimoninietSébastien Verel

vereli3s.unie.fr

www.i3s.unie.fr/

∼

ÉquipeSoBi-UniversitédeNieSophia-Antipolis

14 mars2008

Objetifs de la séane 8

1

Connaîtrele prinipe etl'interêtdesalgorithmesde tri

2

Algorithmede triparséletions etpermutations

3

Algorithmede triparinsertions

4

Algorithmede trirapide

Questions prinipales dujour :

Comment mettreunpeu d'ordredansesdonnées?

Plan

1

Prinipeet interêts

2

Triparseletionset permutations

3

Triparinsertions

4

Trirapide

Reherhe dihotomique

0 1 2 3 4 5 6 7 8

3 3 10 11 12 12 12 15 15

La tehniqueonsisteà:

Tester l'élémentdumilieu dutableau

à reherher àdroitesi l'élémentàreherher est plusgrand

ou à reherherà gauhesi l'élémentàreherher est pluspetit

Reherhe dihotomique

Algorithme reherheDihotomique(x:entier,t:tableaud'entier,n:

entier): booleen

début

variable a,b,:entier

a

←

b

←

−

← (

+

)/

tantque a

≤

[

] 6=

sit

[

] <

a

←

+

sinon

b

←

−

n si

← (

+

)/

n tantque

retourner a

≤

Exemple

reherhe(10, t, 9)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

3 3 10 11 12 12 12 15 15

a b

10

<

[

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

3 3 10 11 12 12 12 15 15

a b

Nombre de omparaisons

Supposons quen

=

^α

(

)

T

(

) =

(

2

) +

T

(

) =

(

4

) +

+

T

(

) =

(

8

) +

+

+

. . .

T

(

) =

(

) + α

T

(

)

(

)

Pour n

=

(

) ≈

Alorsquepour lareherheitérativele nombred'opérationest de

l'ordre n

/

≈

.

Idée et intérêts

Pour ungrandnombre de reherhesdansun tableau

(imaginer lespagesjaunes...), l'idée est d'abordde trier le

tableau avant d'eetuerunereherhe.

attention :ilfautalorsprendreen ompte leoûtdutri du

tableau

Il existe d'autressituationsoù ilest intéressantde trier les

données :

Représentationd'objeten 3D

lassiation de mails,hiers,textos...

basesde données

Prinipe des tris

le trid'un tableau s'eetue dansletableau lui-même

pas de réationde tableau supplémentaire quioupede la

mémoiresupplémentaire.

Larapidité d'untri dépend dutableau àtrier:

Parexemple, letableau initialpeut êtrepratiquement trié

Tri Séletion/permutation : permutation ave le plus petit

élément

12 4 3 78 12 3 9 11 12

∧

3 4

12

78 12 3 9 11 12

∧

3

3

12 78 12

4

9 11 12

∧

3 3

4

78 12

12

9 11 12

∧

3 3 4

9

12 12

78

11 12

∧

L'algorithme

En supposantdans unpremiertempsque indieMinetpermuter

sont dénis.

Algorithme triSelet(t:tableau d'entier, n :entier) :rien

début

variable i,jMin :entier

pour ide 0 àn-2 faire

jMin

←

npour

n

la boule s'arrêteà l'indien

−

néessairement le plusgrand.

L'algorithme

3

jMin i

12 4

3

Permutation de deux valeurs dans un tableau

Algorithme permuter(t:tableau d'entier;i, j :entier):rien

début

variable x :entier

x

←

[

]

t

[

] ←

[

]

t

[

] ←

n

Reherhe de l'indie du nombre le plus petit

iDeb 12 3 3

Algorithme indieMin(t:tableaud'entier, n :entier,iDep:

entier) :entier

début

variable i,iMin :entier

pour ide iDep à n-1faire

si t

[

] <

[

]

iMin

←

nsi

npour

retourneriMin

n

Faux :premier élémentàinitialiser

Reherhe de l'indie du nombre le plus petit

Algorithme indieMin(t:tableaud'entier, n :entier,iDep:

entier) :entier

début

variable i,iMin :entier

iMin

←

pour ide iDep+1 àn-1 faire

si t

[

] <

[

]

iMin

←

nsi

npour

retourneriMin

n

Nombre d'opérations

Chaque reherhe d'indiedemande n

−

Or, ily an itérationsde la reherhed'indie,d'où :

P

₋

i

=

(

−

) = P

i

=

=

⁽

⁺

⁾

2

Pour n

=

.

Mêmeà 0.1milliseondeparopération... n'essayez même pas.

En Maple

Algorithme triSelet(t : tableau d'en-

tier,n:entier):rien

début

variable i,jMin:entier

1: pouride0àn-2faire

2: jMin

←

4: npour

n

triSelet := pro(t, n)

# t : tableau d'entiers

# n : entier, taille du tableau

# sortie : auune, tri dans t

loal i, jMin;

1. for i from 1 to n-2 do

2. jMin := indieMin(t,n,i);

3. permuter(t, i, jMin);

4. od:

end;

En Maple

Algorithme permuter(t:tableaud'en-

tier;i,j:entier):rien

début

variable x:entier

1: x

←

[

]

2: t

[

] ←

[

]

3: t

[

] ←

n

permutater := pro(t, i, j)

# t : tableau d'entiers

# i,j : entier, indies à permuter

# sortie : auune, permutation dans t

loal x;

1. x := t[i℄;

2. t[i℄ := t[j℄;

3. t[j℄ := x;

end;

En Maple

Algorithme indieMin(t:tableaud'en-

tier,n:entier,iDep:entier):entier

début

variable i,iMin:entier

1: pourideiDepàn-1faire

2: sit

[

] <

[

]

3: iMin

←

4: nsi

5: npour

6: retourneriMin

n

indieMin := pro(t, n, iDep)

# t : tableau d'entiers

# n : entier, taille du tableau

# iDep : entier, premier indie de reherhe

# sortie : entier, indie du minimum de t

loal i, iMin;

1. for i from iDep to n - 1 do

2. if t[i℄ < t[iMin℄ then

3. iMin := i;

4. fi;

5. od;

6. RETURN(iMin);

end;

Prinipe : insertion de l'élément ourant dans le

sous-tableau trié

12

4 3 78 12 3 9 11 12

∧

4 12

3 78 12 3 9 11 12

∧

3 4 12

78 12 3 9 11 12

∧

3 4 12 78

12 3 9 11 12

∧

3 4 12 12 78

3 9 11 12

∧

D.Simonin,S.Verel Algorithmesdetri

L'algorithme

Algorithme triInsertion(t:tableaud'entier, n :entier) :rien

début

variable i:entier

pour ide 1 àn-1 faire

inserer(t,i)

npour

n

labouleommeneàl'indie1,puisquelepremier nombreestdéjà

en plae.

Algorithme insertion

Insère lenombred'indiei dansle sous-tableaude l'indie0 etài.

Le tableau de l'indie0 età i

−

roissant.

Algorithme inserer(t :tableau d'entier, i:entier) :rien

début

variable j

,

x

←

[

]

j

←

tant que0

≤

≤

[

]

t

[

+

] ←

[

]

j

←

−

ntant que

t

[

+

] ←

n

Exemple d'insertion : inserer(t,4)

3 4 12 78

4 3 9 11 12

∧

3 4 12 78 78

3 9 11 12

∧

3 4 12 12 78

3 9 11 12

∧

3 4 4 12 78

3 9 11 12

∧

3 4 4 12 78 3 9 11 12

∧

[ ]

Nombre d'opérations

Chaque reherhe insertiondemandei

/

Or, ily an itérationsde l'insertion,le nombrede omparaisonsest

don en moyenne :

P

−

i

=

/

=

⁽

⁺

⁾

4

Pour n

=

.

En Maple

Algorithme triInsertion(t : tableau

d'entier,n:entier):rien

début

variable i:entier

1: pouride1àn-1faire

2: inserer(t,i)

3: npour

n

triInsertion := pro(t, n)

# t : tableau d'entiers

# n : entier, taille du tableau

# auune : tri dans t

loal i;

for i from 1 to n-1 do

inserer(t,n,i);

od:

end;

En Maple : inserer

Algorithme inserer(t:tableaud'entier;

i:entier):rien

début

variable j

,

1: j

←

2: x

←

[

]

3: tantque0

≤

≤

[

]

4: t

[

+

] ←

[

]

5: j

←

−

6: ntantque

7: t

[

+

] ←

n

inserer := pro(t, i)

# t : tableau d'entiers

# i : entier, borne d'insertion

# sortie : auune, insertion dans t

loal j;

j := i-1;

x := t[i℄;

while 0 <= j and t[j℄ <= x do

t[j+1℄ := t[j℄;

j := j - 1;

od:

t[j+1℄ := x;

end;

Prinipe

Le tri rapide(enanglais quiksort) estune méthode de triinventée

parC.A.R. Hoareen 1962 baséesur laméthode diviserpour

régner.

Il onsiste àhoisir unnombrepivotdansle tableau,

à partionner en deux letableau ave:

les nombres pluspetitsà gauhedunombre pivotet

les nombres plusgrands àdroite dunombrepivot

et d'itérerle proessussur lessous-tableaux obtenus.

Prinipe

Voirlesanimations de lapage web :

http://lwh.free.fr/pages/algo/tri/tri.htm

L'algorithme

Algorithme triRapide(t:tableaud'entier;rst,last:entier):rien

début

variable iPivot:entier

sirst <lastalors

iPivot

←

triRapide(t,iPivot+1, last)

nsi

n

Algorithme : partitionner

Partionne en deuxdusous tableau entrerst etlast :

les nombrespluspetitquelenombrepivotsontàgauhe dee

nombre

les nombresplus grandquele nombrepivotsontàdroitede e

nombre

Algorithme partionner (1)

Algorithme partionner(t:tableaud'entier,rst,last:entier):entier

début

variable i,j,pivot:entier

pivot

←

i

←

j

←

tant quei<jfaire

j

←

tantquet

[

] >

j

←

ntant que

i

←

tantquet

[

] <

i

←

ntant que

sii<jalors

permuter(t,i,j)

nsi

ntantque

Algorithme partionner (2)

(...)

tant quei<jfaire

j

←

tantquet

[

] >

j

←

ntant que

i

←

tantquet

[

] <

i

←

ntant que

sii<jalors

permuter(t,i,j)

nsi

ntantque

retourner(j)

n

Nombre d'opérations

Le nombremoyen d'opérationsest de l'ordrenlog

2

(

)

Dans lepire desas,e nombre estn 2

.

On doit eetuerk reherhes dansununtableau nonordonnéde

taillen :

Est-il intéressantde triere tableau avantd'eetuer lareherhe?

En Maple : triRapide

Algorithme triRapide(t:tableaud'en-

tier;rst,last:entier):rien

début

variable iPivot:entier

1: sirst<lastalors

2: iPivot

←

4: triRapide(t,iPivot+1,last)

5: nsi

n

triRapide := pro(t, first,

last)

# t : tableau d'entiers

# first, last : entier, borne du

sous-tableau à trier

loal iPivot;

if first < last then

iPivot := partionner(t,

first,

last);

triRapide(t, first, iPivot);

triRapide(t, iPivot + 1, last);

fi;

end;

En Maple : partitionnner

partitionner := pro(t, n, first,

last)

# t : tableau d'entiers

# n : entier, taille du tableau

# first, last : entier,

borne du sous-tableau à trier

loal pivot, i, j;

pivot := t[first℄;

i := first - 1;

j := last + 1;

while i < j do

j := j - 1;

while pivot < t[j℄ do

j := j - 1;

od;

i := i + 1;

while t[i℄ < pivot do

i := i + 1;

od;

if i < j then

permuter(t, i, j);

fi;

od;

RETURN(j);

end;

Exeries

Supprimerunélément dansuntableaunon ordonné en

déalant tousles élémentsnéessaires versla gauhe.

Trier dansl'ordredéroissantuntableau d'entiersparle tripar

séletion/permutation

Appliquerle tri rapidesur letableau ontenantdanset ordre

5,4,3,2,1.

Objetifs de la séane 8

1

Connaîtrele prinipe etl'interêtdesalgorithmesde tri

2

Algorithmede triparséletions etpermutations

3

Algorithmede triparinsertions

4

Algorithmede trirapide

Questions prinipales dujour :

Comment mettreunpeu d'ordredansesdonnées?