29févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

(1)

Sébastien Verel

vereli3s.unie.fr

www.i3s.unie.fr/

∼

^verel

ÉquipeSoBi-UniversitédeNieSophia-Antipolis

29 février2008

(2)

Objetifs de la séane 6

Connaîtreles propriétés d'un générateurpseudo-aléatoire

Simulerun nombrealéatoire entierou ottantentre 2bornes

données

Erire unalgorithmeutilisant ungénérateur pseudo-aléatoire

Erire unalgorithmequigénère dessériestemporellesdutype

u

t

+

¹

=

^aut

+

^b

+ ǫ

^et ^ut

+

¹

= (

^a

+ ǫ)

^ut

+

^b

Question prinipaledujour :

Comment générerune sériede nombres quiont l'aird'être

aléatoires?

(3)

Plan

1

Introdution

2

Générateurs pseudo-aléatoire

3

Algorithmesstohatiques

(4)

Aiguille de Buon

Expériene

Laner n fois uneaiguillede longueur2l surparquet dontles lames

sontde largeur2a .

Soit p

n

lenombrede fois quel'aiguilleinterepteunelamede

parquet.

La fréquene p

n

permetd'approximer lenombre

π

^.

lim

n

→∞

p

n

=

^2l

a

π

→

^à ^partird'événements aléatoires,ilest possibled'approximer une valeur

(5)

Besoin de nombres aléatoires

Simulation :

Modèleéonomique, soiologique,physique, médiale,...

Cryptographie :

Génération sûre de lésdehirement

Optimisation stohatique :

méthodesde MonteCarlo,reuit simulé,algorithmes

génétiques, Paritules Swarm Optimisation...

Jeux de hasard:

Loto, suduko,...

Besoin roissantde nombres aléatoiresen partiulieren simulation

et en ryptographie

(6)

Problème de génération

Méthodesprinipales degénérateurs de nombresaléatoires:

Al'aided'un système physique dontl'étatest aléatoire :

Valeurpréise d'une résistane,appartition destahessolaires,

vibrationde matière...

→

^bonne^méthode ^mais^lente

Al'aided'un ordinateur:

Mais unordinateur estune mahinedéterministe:

tout étatprohain est unefontiondes étatspréèdents de la

mahine.

→

^rapide,^faile^à ûtiliser^dansûnôrdinateur

→

^mais^PAS^aléatoire ^du^tout...

Depuistrès peu :ombinaison desdeux

(7)

Limite des mahines : le pseudo-aléatoire

Tehnique :

Initialisationd'un premier nombre appelégraine,

génération d'unesuitede nombres dénisparréurrene :

u

n

+

¹

=

^f

(

^un

)

(

^3402093

,

⁵⁶

,

¹²⁵⁶⁷²

,

¹⁰⁰⁴⁸

,

^{67808 9}

, ...)

La suitedoitavoirertaines propriétés de l'aléatoire.

→

^générateur pseudo-aléatoire

Mais :

Taillede mémoirelimitée

Nombre de registresde alul d'un proesseurlimité

→

^inévitable ^périodiité^des ^nombres^générés pseudo-aléatoirement parordinateur

(8)

Petit historique

Développementessentiellementdûau besoinen simulationet

ryptographie.

1946 :John Von Neumann, générateurMiddlesquare

1948 :D. H.Lehmer,générateur ongrueniel

1958 :G.T.Mithell, etD.P.Moore,améalioration

1997 :Makoto MatsumotoetTakuji Nishimura:

Mersenne-Twister

(9)

Algorithme de Von Neumann

MiddleSquare

Prinipe:pouraluler lenombre suivant, onélève auarré le

nombrepréèdentpuis ononserve les hiresdumilieu.

Exemple :

Graine:1111

1. 1111

2

=

^1234321, ^premier ^nombre^:²³⁴³²

2. 3432

2

=

^11778624, ^deuxième ^nombre^:¹⁷⁷⁸⁶²

3. ...

Périodiitéfaible

Dépendbeauoup de lagraine

àfontionnner sur l'ENIAC,mais trèsvite limité.

(10)

Algorithme de Von Neumann

Algorithme rand(n :entier) :entier

début

variable suiv :entier

variable nbChires :entier

nbChires

←

^E(log10

(

ⁿ²

)

⁾

suiv

←

^modulo(n²^,¹⁰^nbChrires⁾ ^/¹⁰

retournersuiv

n

(11)

Méthode de Fibonai

Basé surlasuitede Fibonai et l'arithmétiquemodulaire.

x

n

=

^xn

−

1

+

^xn

−

2

modM

ave x

0 etx

1

omme graines

Ou une varianteave k unentier.

x

n

=

^xn

−

1

+

^xn

−

k

mod M

ave x

0 ...x

k

−

1

omme graines

Qualité :dépendde k et desnombresutiliséspour graines

Peu de onsommationde ressoures

Simple àimplémenter....

(12)

Méthode de Fibonai

Algorithme

On supposen

0 ,n

1

et M sontdesnombres entiersdénisde

manière globale.

Algorithme rand() :entier

début

variable suiv:entier

suiv

←

^modulo(n0

+

ⁿ1 ,M)

n

0

←

ⁿ1 n

1

←

^suiv

retournersuiv

n

(13)

Générateurs ongruentiels linéaires

Basé surles suitesarithmétiquo-géométriques etl'arithmétique

modulaire.

x

n

=

^axn

−

1

+

^mod ^m

ave x

0

unegraine.

Périodeau maximumm.

m hoisitde latailledesnombres enmahine 2 32

.

Simple àimplémenter....

(14)

Algorithme

On supposeraque x

0

,a, etmsontdéterminés globalement,ainsi

que lenombre ourant x.

début

x

←

^modulo(ax

+

^,^m)

retournerx

n

(15)

Mersenne-twister (1997)

Basé surles nombres de Mersenne2 p

−

¹

Période2 19937

−

¹

distributionuniformesur 623 dimensions

N'est pas ungénérateuradapté à laryptographie,mais très

utile en simulationet optimisation.

(16)

Propriétés statistiques

Les générateurs pseudo-aléatoiresgénèrentdes loisuniformes

U

(

⁰

,

^maxValue

−

¹

)

^.

Certainespropriétésstatistiquesd'un générateur pseudo-aléatoire

sont attendues:

Propriétéde ladistributiondes nombres:moments, fréquene

d'apparitiondesnombres,omparaison àlaloiuniforme

Entropie maximale

Indépendane statistiquedes nombresde lasérie :

autoorrélation,testspetral

(17)

Générateur pseudo-aléatoires primitifs

générateur pseudo-aléatoire primitif uniformequiretourne un

nombre entierentre 0et maxValue

−

¹

-

générateur pseudo-aléatoire primitif uniformequiretourne un

nombre réeldans

[

⁰

,

¹

[

-

Algorithme uniforme() :réel

début

retourner

rand

()

maxValue

n

-

(18)

Générateurs pseudo-aléatoires non primitifs

générateur pseudo-aléatoire uniformequiretourne unnombre

réel dans

[

^a

,

^b

[

-

Algorithme uniformeAB(a

,

^b ^:^réel) ^:^réel

début

retourner

(

^b

−

^a

).

^uniform

() +

^a

n

-

entier de

[

⁰

,

^M

[

-

Algorithme random(M :entier) :entier

début

retourner modulo

(

^rand

(),

^max

)

(19)

Générateurs pseudo-aléatoires non primitifs

Ces générateurs ne sontpasprimitifsetsontà redénir.

entier de

[

^A

,

^B

[

-

Algorithme randomAB(A

,

^B ^:^entier) ^:^entier

début

retourner A

+

^random

(

^B

−

^A

)

n

-

(20)

Jeu où l'on doit deviner un nombre entre 0 et 100

Algorithme deviner() :rien

début

variable a , n :entier

n

←

^modulo

(

^rand

(),

¹⁰¹

)

a

←

⁰

tant quea

6=

ⁿ ^faire

lire(a )

si a

<

ⁿ ^alors

érire(troppetit)

sinon

érire(tropgrand)

nsi

ntant que

érire("gagné")

(21)

Simulation de laner de éhettes

Simulation d'un lané de n éhettessur uneible

Algorithme laner(n:entier) :entier

début

variable i,pts:entier

variable

ρ

^,

θ

^:^réel

pts

←

⁰

pour ide 0 àn

−

¹ ^faire

ρ ←

¹⁰

∗

^rand

()/(

^maxValue

−

¹

) θ ← π ∗

^rand

()/(

^maxValue

−

¹

)

aher(

ρ

^,

θ

⁾

pts

←

^pts⁺^points(

ρ

⁾

npour

retournerpts

n

(22)

Simulation de laner de éhettes

Simulation d'un lané de n éhettessur uneible

Algorithme points(d:réel):entier

début

sid>10alors

retourner0

sinon

sid>5alors

retourner3

sinon

sid>2alors

retourner5

sinon

sid>1alors

retourner10

sinon

retourner20

nsi

n

(23)

Simulation de marhe aléatoire

Simulation unemarhe aléatoire de n pas surl'ensembledes entiers

(positifsou négatif) en partant de l'absisse0.

Algorithme marheZ(n:entier):tableaud'entiers

début

variable i:entier

variable t :tableaude nentiers

t

[

⁰

] ←

⁰

pour ide 1àn

−

¹^faire

si rand()

≤

^maxValue

/

²^alors

t

[

ⁱ

] ←

^t

[

ⁱ

−

¹

] +

¹

sinon

t

[

ⁱ

] ←

^t

[

ⁱ

−

¹

] −

¹

n si

n pour

retourner t

n

(24)

Objetifs de la séane 6

Connaîtreles propriétés d'un générateurpseudo-aléatoire

Simulerun nombrealéatoire entierou ottantentre 2bornes

données

Erire unalgorithmeutilisant ungénérateur pseudo-aléatoire

Erire unalgorithmequigénère dessériestemporellesdutype

u

t

+

¹

=

^aut

+

^b

+ ǫ

^et ^ut

+

¹

= (

^a

+ ǫ)

^ut

+

^b

Question prinipaledujour :

Comment générerune sériede nombres quiont l'aird'être

aléatoires?

29févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

∼

+

=

+

+ ǫ

+

= (

+ ǫ)

+

π

→∞

=

π

→

→

→

→

+

=

(

)

(

,

,

,

,

, ...)

→

→

=

=

←

(

)

←

=

−

+

−

=

−

+

−

−

←

+

←

←

=

−

+

←

+

−

−

(

,

−

)

−

[

,

[

()

[

,

[

,

(

−

).

() +

[

,

[

(

(),

)

[

29févie2008 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai