23févie2012 É ieS Bi Uiveiéi eShiaAi

Jeux évolutionnistes (-naires ?)

Jeux spaiaux

Liene3 - Introdutionaux systèmesomplexes

Sébastien Verel

vereli3s.unie.fr

www.i3s.unie.fr/

∼

23 février2012

Plan

1

Une introdutionaux jeux!

2

Jeux évolutionnistes/évolutionnaires

3

Jeux spatiaux

Evolutionary games

Ceours est basésur lestravaux

et lelivre de MartinA. Nowak

M.A.Nowak, Evolutionary

Dynamised. TheBelknap

press ofHarvard University

press,2006.

Unevidéo (et slides)d'uneprésentationàHarvard en 2004 :

http://athome.harvard.edu/programs/evd/evd_video/evd_1.html

Jeux de l'ultimatum

on ore 100 euros à2joueurs s'ilsse mettent d'aord surle

partage

On lane unepièe pour déiderquiprend lerlede eluiqui

propose etquiprend lerle deeluiquireçoit

Uneore est faitepareluidont'estle rle

Le "reeveur"peut aepter ou refuser:

s'ilaepte,l'argentestpartagé

S'ilrefuse, personnene reçoitd'argent

Jeux de l'ultimatum : résultat

Résultats :

Lamajorité(66

%

sontentre 40

%

%

sontaeptées

Peu d'oressontinférieures

à20

%

rejetée

Interprétation:

→

et aeptable

→

lasomme,du sexe,de la

religionou dupays...

Jeux de l'ultimatum

Mahiguenga(Pérou) vsAuand Gnau (Papouasi nouvelleGuinée)

Jeux de l'ultimatum

Quelquesonlusions

L'habitude duommere et dumarhandage déterminela

notiond'équité

L'ore50/50est onsidérée omme équitable, 40/60 tolérable

une oretrop faibleest onsidérée ommeune oense

personnelle

Toutefois, personne n'est oenséetaepteune ore faible

lorsque:

l'aetationdesrlesn'estpasaléatoiremaisrésulted'une

ompétition

unordinateurfaitl'ore

Jeux de l'ultimatum

Quelquesonlusions:interprétationparl'interationsurl'ensembledelapopulation

Les personnessonttrès sensiblesaux injusties:

les"oreurs"proposentun adeauaveun ertainoût:

ationoopérative

les"déideurs"se vengentd'uneorefaibleaveun ertain

out:punition

oreséquitablesempêhentlapunition:lapunitionrenforela

oopération

Le problème de la oopération

groupe de défenseet

fouragement

surveillanede prédateur et

appel d'alarme

protetion soiale

viabilité globalede ertains

systèmes

→

performanes d'un individu et

d'une ommunauté

Dilemme soial

Dénition

Les oopérateurssoutiennentle bienommunmalgréun

ertain oûtpersonnel

alorsqueles traitrestententd'exploiter les ressouresen

évitant le oûtde etteexploitation

ungroupe de oopérateursfaitmieuxqu'ungroupe de traitres

les traitresfont mieuxqueles oopérateursdanshaun des

groupes(oopérateursou traitre)

= ⇒

Un jeux itéré pour vous (inspiré de J.P. Delahaye)

les mursn'étant pas trèsépais :2voisins peuvent entendrela

musique de l'autre

hardrok punkhardà22h de l'un

Le lendemainl'autre voisin:hard rokméga punk

réagir ou paspour almerplusrapidement?

Un jeux itéré pour vous (inspiré de J.P. Delahaye)

10 partiespoure jeux à2 joueurs:

Silene Rok

Silene 3 0

Rok 5 1

Si Joueur1 =SileneetJoueur 2 =Silenealorsjoueur 1

gagne 3 points:J1 etJ2gagne parlatranquilitéde

l'environnement

SiJoueur 1=SileneetJoueur2 =Rok alorsjoueur1gagne

0 point:J1doit supporter sonvoisin, auungain.

SiJoueur 1=RoketJoueur 2=Silenealorsjoueur1gagne

5 points:J1 gagne pare qu'ilest ontentde déranger son

voisinsansen subirles onséquenes

Si Joueur1 =Roket Joueur 2=Rok alorsjoueur 1gagne

1 point :J1gagne peu pare qu'ilsubitaussides onséquenes

de sa nuisane

Un jeux itéré pour vous (inspiré de J.P. Delahaye)

10 partiespoure jeux à2 joueurs:

Silene Rok

Silene 3 0

Rok 5 1

Quelest votregain?

Quelest legain totaldes2 joueurs?

Comparer esgains avele gainmaximal?

Jeux évolutionnistes

Populationde "joueurs" :

haque joueuradoptel'une des2 stratégiespossibles

Les joueursne hangent pas stratégie:

ilsdisparaissent(meurent) auprot de eux quiont les

meilleurs performanes quise reproduisent

Variationde latailledespopulationsest proportionnelle à :

latailledelapopulation

laperformanede lastratégie(tness)

Performanede lastratégie(tness) dépend de latailledes 2

sous-populations de joueurs

Reprodution

+

Imaginons desellulesquise

divisent toutesles 20

minutes

Combien de ellulesaubout

de 3 jourss'ily a assezde

nourritures?

x

t

+

=

x

t

:nombrede ellules au

tempst

x

t

+

:nombre de ellulesau

tempst

+

pour toutt

≥

x

t

=

t

Reprodution

équationdiérentielle

x

t

+

=

+

−

=

=

−

plus généralement,

pour tout

δ >

+δ −

= δ

d'où équation diérentielleassoiée

(ex. de passage disret

−

˙

x

=

Qui signie :

La variationdunombre de ellulesest proportionnelle

à lataillede lapopulation.

x

=

SébastienVerel théoriedesjeux

Reprodution

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

r

=

Reprodution

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

r

≈

.

Disparition : Cellules meurt

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

d

≈

.

Disparition

Cellulesmortelles

Mais les ellulesmeurent!

Introdution d'un tauxde mortalitéd

˙

x

= (

−

)

Dynamiques possibles

si r

>

si r

<

Si r

=

situationest instable.

une petite variationprovoquel'expansion ou ladisparition

Jeux évolutionnistes / évolutionnaires

Populationde "joueurs" :

haque joueuradopte1 stratégieparmi

{

}

Variationde latailledespopulationsest proportionnelle à :

latailledelapopulation

laperformanede lastratégie(tness)

˙

x

A

=

A

˙

x

B

=

B

Taille de population onstante : pression de séletion

Proessusdemortetnaissane

Lataillede lapopulationde joueurs

reste onstante

x

A

+

=

Taux de mortalité identique dans

haque sous-population:m

˙

x

A

=

(

−

)

˙

x

B

=

(

−

)

d'où d

=

A

+

B

(tnessmoyenne)

exemple f

A

=

=

Evolution sous séletion onstante

En posant :

x

A

=

x

B

=

−

On en déduit parsubstitution:

˙

x

=

(

−

)(

−

)

fa < fb

x=1 x=0

tout B tout A

fa > fb

Jeux évolutionnistes : séletion non onstante

Dans lathéoriedesjeux évolutionnnaires:

gain(tness) delastratégiedépendde latailledespopulations

fitness A = 2 fitness A = 1

Fitness onstante

fitness A < fitness B fitness A > fitness B

latnessdépendde la

ompositionde lapopulation, de

lataillede haque

sous-population

Jeux à 2 joueurs

Les tnessdépendent dex

A etx

B :

f

A

=

(

,

)

=

(

,

)

˙

x

A

=

[

(

,

) −

]

˙

x

B

=

[

(

,

) −

]

Comment dénirles fontionsde gain (tness) f

A et f

B

?

Jeux à 2 joueurs

A B

A a b

B d

Agagne le gaina lorsqu'il

joueontre A

Agagne le gainb lorsqu'il

joueontre B

Bgagne le gain lorsqu'il

joueontre A

Bgagne le gaind lorsqu'il

joueontre B

Renontre aléatoire desjoueurs.

Chaque joueur renontre:

Aaveune probabilitéx

A

B aveuneprobabilitéx

B

tness=espéranedu gain:

f

A

=

+

B

=

+

5 Dynamiques possibles

AdomineB, si a

>

>

A B

Bdomine A,si a

<

<

A B

Aet Bsontbi-stable,sia

>

<

B A

Aet Bo-existent, sia

<

>

B A

Aet Bsontneutres, sia

=

=

A B

Sens de l’évolution Equilibre stable de A

Co−existence stable de A et B

Equilibre unstable de A

Equilibre unstable de A

co−existence unstable de A et B

Equilibre stable de B

Pause historique et bibliographique

Théorie desjeux inventée parJohn Von Neumann et Oskar

Morgenstein(1944)

John Nash"Thisman isgenius" :prixNobel en 1950,

équilibrede Nash

Domaine sientique:John Maynard Smith,Prie(1973),

appliation àlabiologieet l'évolutiondespopulations

J.M.Smith :evolutionarilyStable Strategy

essordanslesannées 1990 et 2000

Hofbaueret Sigmund:"Evolutionary Gameand population

dynamis". Cambridge :CambridgeuniversityPress, 1998.

La théoriedesjeux ne reposepas sur larationalité.Populationde

joueurs de stratégiexe.Interationaléatoire.Legain estinterprété

omme une tness,untaux de reprodution.

Equilibre de Nash

Jeuxà2joueurs

Si les 2joueurs jouentlastratégiequiest unéquilibrede Nash,

Alorsauundes 2joueurs peut hanger de stratégieetaugmenter

son gain

A B

A a b

B d

Aest unéquilibrede Nashstritsia

>

Aest unéquilibrede Nashsi a

≥

Best unéquilibrede Nashstritsid

>

Best unéquilibrede Nashsi d

≥

Equilibre de Nash

A B

A 3 0

B 5 1

Béquilibre stritde

Nash

A B

A 3 1

B 5 0

Aet Bne sontpas

deséquilibresde

Nash

A B

A 5 0

B 3 1

AetB sontdes

équilibres stritsde

Nash

Evolutionarily Stable Strategy (ESS) - J. Maynard Smith

Imaginons unelargepopulationde joueursA.

Un mutant de typeB estintroduitdansla population.

Quelleest laondition surlaséletion permette l'invasion deB?

posons x

B

= ǫ

f

A

>

donne a

(

− ǫ) +

ǫ >

(

− ǫ) +

ǫ

en négligeantlestermes en

ǫ

a

>

=

>

Evolutionarily StableStrategy

A est unESSssisoita

>

=

>

stritNash

⇒

⇒

⇒

Fauon ou Colombe (Hawk or Dove)?

Les animaux d'unemême espèese battent entreeux :

Conit pourlanourriture, leterritoire,lesexe,et.

Toutefoisles onits n'esaladentpas tous:

ombatsonventionnels, peude ombat mèneàde sérieux

dégâts

Expliationlassique :ombatsonventionnels existent arils

sontbonspour l'espèe.

Les ombatsterriblessontmauvais pourl'espèe

Problème:

vraiauniveaud'un groupeoud'uneespèe,maislaséletion

agitsurlesindividus

Siunindividudésobéitàlarègleetinigedesdégâtsà

l'adversaire,ildoitentirerunavantagereprodutif

Fauon ou Colombe? - J. Maynard Smith

2 espèes :

H :Fauons quifont monter

le ombat

D:Colombesquiseretirent

toujoursd'un ombat

Gains :

b :gain d'avoirgagné un

ombat

:outde laperte

H D

H b

−

2 b

D 0

b

2

Gains :

unfauonfae àune

olombe gagne b ontre 0

lorsque 2animaux de la

même espèeserenontrent,

ilpartagelepaiement.

Fauon ou Colombe?

H D

H b

−

2 b

D 0

b

2

Si b

<

Pasd'équilibre de Nash

Co-existenedesespèes:

proportionde fauons b

B A

Jeux de la poule mouillée

2 voituresroulent faeà faeà

grande vitesse,le perdant est

eluiquisorten premierde sa

voiture

2 stratégies:

A:on reste dedans

B:on saute après unertain

temps

Gains etperte:

−

b :gain sigagnant

A B

A

−

B 0

b

2

pas d'équilibrede Nash

Co-existenedesstratégies

B A

Dilemme des prisonniers

Deux prisonnierssefont prendre,

ils sontinterrogésséparément.

2 stratégies:

Soitildénonesonamarade

(défetionD)

Soitiloopère etreste

silenieux(oopérationC)

tradution en années de prison :

C D

C -1 -10

D 0 -7

Quefaire????

Dilemme des prisonniers

tradution en gain :

C D

C 3 0

D 5 1

Dynamiqued'évolution vers

traitrise

A

B

Dilemme des prisonniers

C D

C R S

D T P

T

>

P

>

R

>

Etmême :R

> (

+

)/

pourgarantirque

l'alternaneest moinsbonne

quelaoopération

Défetionest unéquilibrede

Nash

Laoopérationmutuelleest

plusavantageuse quela

défetion

Pas de oopération aveune

dynamique évolutionniste

Dilemme des prisonniers itéré : réiproité direte

Le jeux estrépété mfois.

2 stratégies:

GRIM:oopèrela première

fois jusqu'àlapremière

traitriseadversaire

ALLD :toujoursladéfetion

GRIM ALLD

GRIM mR S

+ (

−

)

ALLD T

+ (

−

)

simR

>

+ (

−

)

GRIMest unéquilibrede

Nash:laoopérationse

maintient

m

>

−

R

−

ALLD estaussiunéquilibre

de Nash:

GRIMn'explique pas

l'apparitiondelaoopération

Oeil pour oeil : tit-for-tat

Tournoid'Axelrod

stratégietit-for-tat:

TFT :oopération,puis

reproduit lastratégiede

l'adversaire

Tournoi gagné faeàdes

stratégiesinonnues

TFTne restepas bloqué

danslatraitrise

TFT ALLD

TFT mR S

+ (

−

)

ALLD T

+ (

−

)

Dénition

Lapopulationde joueurs est

disposée surunegrille

Ahaque partie, haque

joueurjoueaveses9voisins

Le paiementtotalest alulé

les joueursadoptent la

stratégiedujoueur voisin

avele plusgrandgain s'il

est supérieurau sien

3a+5b 4c+4d

2c+6d 4a+4b 7a+1b

1c+7d

4c+4d 2c+6d 4a+4b

A B

A a b

B d

Un as simple

C D

C 1 0

D b

ǫ

b

>

équilibre de Nash

ǫ

départager les asd'égalité

2b+6e 4b+4e

2b+6e

4b+4e 3 4

7 4

b+7e

Les traitres envahissent les oopérateurs

Croissance D

7 8

8b

5b 3b

0

7 6 5

8

8 5

7 7

4b 5b

Trouvez lesonditions surhaque transition.

Les oopérateurs envahissent les traitres

b

8

5 3

3b 2b

Condition : oin-et-ligne

5 7

5b 0 3b

8

6