Solutions

Questions de ours

1.Oui évidemment, parequ'il vérie tous lesaxiomes d'un espae vetoriel.

2. Si

F

^{est un sev de}

E

^ontenant

A

^{, alors il ontient toutes les} ombinaisons linéairesdes veteurs de

A

^{, et ei est dû au fait qu'un sev est stable par}

ombi-naisonlinéaire. Par suite,

F

^{ontient l'ensemble sev `}

A

^e.

3. Si

H

^{est un sev ontenant}

F

^et

G

^{, il ontient aussi}

F

G

^{puisqu'il est stable}

par laloi interne.

4.Soit

A

^{une famillede veteurs qui ontient unefamilleliée}

L

^˜

v 1 , . . . , v _m

^.On

saitqu'ilexiste dessalairesnontous nuls

α 1 , . . . , α _m

^{tels que}

α 1 v 1

α _m v _m 0

. Sionéritleveeturnulsouslaforme

P

u

^>

A

^ƒ

L 0 u 0

,onobtientˆ

α 1 v 1

α _m v _m

^

ˆ

P

u

^>

A

^ƒ

L 0 u

^

0

. Cettedernière égalitémontre bien que

A

^{est une familleliée.}

5. Soit

L

^˜

v 1 , . . . , v _m

^{ une famillede veteurs qui est ontenue dans une famille}

libre

A

^{. Si}

α 1 v 1

α _m v _m 0

, alors ˆ

α 1 v 1

α _m v _m

^ˆP

_u

>

A

^ƒ

L 0 u

^

0

. Cette dernière égalité est une ombinaison linéaire nulle des veteurs de

A

^{. Comme}

A

est libre, alors

α 1

α _m 0

. Cei montre que

L

^{est bien une famillelibre.}

6.Oui évidemment, puisque

dim

ˆsev`

A

^{e rgˆ}

A

^.

7. L'intérêt prinipal de trouver une base d'un espae vetoriel est que l'on peut

dérire tout élément de et espae vetoriel ave le minimum de paramètres (les

oordonnées) grâeà la base.

8.Laréponseest oui. Eneet, soit

F

^{unsev de}

E

^telque

dim

ˆ

F

^

n

^.soit

B

^{œ une}

base de

F

^{. Alors}

B

^{œ est famillelibre de}

E

^{. Don il existe une base}

B

^de

E

^{qui la}

ontient.On a

B

^œb

B

^etardˆ

B

^{œ ardˆ}

B

^,alors

B B

^{œ etdon}

B

^{œ est une base}

de

E

^{. Ce qui fait que}

F E

^.

9. Non évidemment, ar il sut de onsidérer les deux droites vetoriels de

R ²

,

D

^{sev `ˆ}

1 , 0

e(l'axe des

x

^)et

D

^{œ sev `ˆ}

0 , 1

e (l'axe des

y

^).

10. Ona

u _i 0 u 1

0 u _i 1

u _i

0 u _i 1

0 u _n

^.Don

u _iB

^ˆ

0 , . . . , 0 , 1 , 0 , . . . , 0

.

11.Laréponseestnon.Eneet,onsidéronsparexemplelesveteurs

e 1

^ˆ

1 , 0 , 0



, e 2

ˆ

0 , 1 , 0

 et

e 1

e 2

^ˆ

1 , 1 , 0

. Les trois veteurs sont deux à deux non olinéaires, mais lafamille˜

e 1 , e 2 , e 1

e 2

^{est évidemment liée.}

12. On a rgˆ

A

^

r r

^{œ, ar le rang d'un système dépend du premier membre et}

non pas du seond membre.

13. (i) Considérons le sev

F

^{sev `}

A

^{e. La famille}

A

^{est par dénition une famille}

génératrie de

F

^{. Don}

dim

ˆ

F

^BCardˆ

A

^, 'est-à-dire,rgˆ

A

^{BCard ˆ}

A

^.l'autre

inégalitése déduit diretement du fait que

dim

ˆ

F

^B

dim

ˆ

E

^.

(ii)On ne peut rien onlure.

14. Soient

F

^et

G

^{deux sev de}

E

^{. On a}

0

>

F

⁹

G

^{, don}

F

⁹

G

^{x g.} Considérons

α

^>

K

^et

u, v

^>

F

⁹

G

^{. On a}

u, v

^>

F

^{, don}

αu

v

^>

F

^{. Pour la même raison on}

αu

v

^>

G

^{. Don}

αu

v

^>

F

⁹

G

^{.En onlusion,}

F

⁹

G

^{est un sev de}

E

^.

15. La réponse est non. en eet ˜

1

 et ˜

2

 dont deux bases de

R

sans que ˜

1 , 2

 le soit.

16. Soit

u

^>

A

^{tel que}

u

^{> sev `}

A

^ƒ˜

u

^{e. alors}

u

^{est une ombinaison linéaire des}

autres veteurs de

A

^, 'est-à-dire, il existe des salaires

α 1 , . . . , α _m

^{et des}

ve-teurs

u 1 , . . . , u _m

^de

A

^{distints de}

u

^{tels que}

u α 1 u 1

α _m u _m

^{. Par suite,}

u

α 1 u 1

α _m u _m 0

. Cei montre que

A

^{est bien une familleliée.}

Réiproquement,supposonsque

A

^˜

v 1 , . . . , v _p

^{estunefamilleliée. Alorsilexiste}

des salaires

α 1 , . . . , α _p

^{non tous nuls tels que}

α 1 v 1

α _p v _p 0

. Supposons par exemple que

α _i

^x

0

. alors

v _i

_α ¹

i

ˆ

α 1 v 1

α _i 1 v _i 1

α _i 1 v _i 1

α _p v _p

^{ >}

sev`

A

^ƒ˜

v _i

^e.

17. Il sut d'utiliser le fait que toute famillelibre est ontenue dans une base et

que toute famillegénératriede

E

^{ontient une base de}

E

^.

18. On a

A

^{est, par dénition, une famille génératrie du sev}

F

^sev`

A

^{e. Don}

A

^{est une famillelibre}

A

^{est une base de}

F

dim

ˆ

F

^

card

^ˆ

A

^

rgˆ

A

^

card

^ˆ

A

^

19. On a

A

^{est une famillegénératrie de}

E

^sev`

A

^e

E

dim

ˆsev `

A

^e

dim

ˆ

E

^

rgˆ

A

^

dim

ˆ

E

^

20. Se déduitimmédiatementdu deux questionspréédentes.

21. Non évidemment. En eet, on a par exemple sev `ˆ

1 , 0

e`sev `ˆ

0 , 1

e

R ²

et sev`ˆ

1 , 0

e`sev `ˆ

1 , 1

e

R ²

.

22. La réponse est oui. En eet, soient

F 1

^et

F 2

^deux supplémentaires d'un sev

F

^de

E

^{. on a}

F 1

^`

F E

^et

F 2

^`

F E

^{, don}

dim

ˆ

F 1

^

dim

ˆ

F

^

dim

ˆ

E

^{ et}

dim

ˆ

F 2

^

dim

ˆ

F

^

dim

ˆ

E

^{.Par suite,}

dim

ˆ

F 1

^

dim

ˆ

F 2

^

dim

ˆ

E

^

dim

ˆ

F

^.

23. Se déduit failement du fait que sev`

A

⁹

B

^{e b sev `}

A

⁸

B

^{e sev `ˆ}

A, B

^{e b}

sev `

A

^{esev `}

B

^e.

24. On a sev `

A

^{e b sev `}

A

^{8 ˜}

v

^{e. Don rgˆ}

A

^8˜

v

^{ rgˆ}

A

^{ si et seulment si}

sev `

A

^{e sev `}

A

^8˜

v

^{e, etei est équivalent à}

v

^{>sev `}

A

^e.

25. On a rgˆ

A

^Brgˆ

A

^8˜

v

^{ et omme}

A

^8˜

v

^{est une familleliée, alors rgˆ}

A

⁸

˜

v

^xardˆ

A

^

1

. Don rgˆ

A

^8˜

v

^{Bard ˆ}

A

^{ rgˆ}

A

^{. Par suite, rgˆ}

A

^8˜

v

^

rgˆ

A

^{, etdon}

v

^{>sev `}

A

^e

.

2

^ème méthode : Posons

A

^˜

u 1 , . . . , u _m

^{. Alors il existe}

α 1 , . . . , α _m 1

^{des salaires}

non tous nulstels que

α 1 u 1

α _m u _m

α _m 1 v 0

. Si

α _m 1 0

, alors on obtient

α 1 u 1

α _m u _m 0

etpuisque

A

^{est unefamillelibre,alors}

α 1 . . . α _m 0

.Cei

ontredit le fait que les salaires

α 1 , . . . , α _m 1

^{non sont pas tous nuls. Par suite}

α _m 1

^x

0

, etdon

v

_α ¹

m 1

ˆ

α 1 u 1

α _m u _m

^{>sev `}

A

^e

.

(ii)Nonévidemment. Il sutde prendre une famille˜

0

et

v

^{un veteur non nul.}

On a ˜

0 , v

^{est une familleliéesans que}

v

^{>sev `}

A

^{e ˜}

0



.

Exerie 1.

(i) On a

0

>

F

⁸

G

^{, don}

F

⁸

G

^xg. Considérons

α

^>

K

^et

u

^>

F

⁸

G

^{. On a}

u

^>

F

et

u

^>

G

^{, don}

αu

^>

F

⁸

G

^, 'est-à-dire,

F

⁸

G

^{est stable par la loi externe.}

(ii) Si

F

^b

G

^ou

G

^b

F

^{, alors}

F

⁸

G G

^ou

F

⁸

G F

^{, et don}

F

⁸

G

^{est un sev}

de

E

^.

Réiproquement, Soient

F

^et

G

^{deux sev de}

E

^{tels que}

F

⁸

G

^{est un sev de}

E

^et

supposons par l'absurde que

F

^b~

G

^et

G

^b~

F

^{. Il existealors un veteur}

u

^de

F

^qui

n'appartient pasà

G

^{et unveteur}

v

^de

G

^quin'appartientpas à

F

^.Leveteur

u

v

appartient ertainement à

F

⁸

G

^{. Don}

u

v

^>

F

^ou

u

v

^>

G

^{, alors}

u

v w

^>

F

ou

u

v e

^>

G

^{, et par suite}

v w

u

^>

F

^ou

u e

v

^>

G

^{d'où une} ontradition.

Exerie 2.

Parmi les parties

L

^{œ de}

B

^{telles que}

L

⁸

L

^{œ est libre,} Considérons une qui a un nombremaximal d'éléments. Notons ettefamillepar

C

^{. Alors}

L

⁸

C

^{est une base}

de

E

^{. En eet, la famille}

L

⁸

C

^{est, par hypothèse,une famille libre. De plus, soit}

v

^{un veteur quelonque de}

B

^{. Si}

v

^>

L

⁸

C

^alors

v

^>sev`

L

⁸

C

^{e, et si}

v

^~>

L

⁸

C

^,

alors la famille

L

⁸

C

^8˜

v

^{, qui a plus d'éléments que la famille}

L

⁸

C

^{, est liée.}

Alors

v

^>sev`

L

⁸

C

^{e puisque}

L

⁸

C

^{est une famille libre. On a don montrer que}

B

^bsev`

L

⁸

C

^{e. Par suite}

E

^bsev`

L

⁸

C

^{e. Ce qui fait que}

E

^sev`

L

⁸

C

^e,

'est-à-dire, la famille

L

⁸

C

^{est une famille génératrie de}

E

^{. En onlusion,}

L

⁸

C

^est

une base de

E

^{. Ce qui ahève la démonstration.}

Exerie 3.

Parmi les partie

L

^{œ de}

A

^{telles que}

L

^{œ est une famille libre, onsidérons une qui a}

un nombremaximald'éléments.Notonsettefamillepar

B

^{. Alorson a}

A

^bsev`

B

^,

ar sinon, il existe

v

^>

A

^{tel que}

v

^~>

B

^{. Comme}

B

^{est libre, alors}

B

^8˜

v

^{ est une}

famille libre, e qui ontredit la maximalité de

B

^{. Par suite,}

A

^{b sev`}

B

^{et don}

E

^bsev`

B

^ebsev`

B

^e, 'est-à-dire,

B

^{est une famille à la fois génératrie et libre}

de

E

^{. En onlusion,}

B

^{est une base de}

E

^{ontenue dans}

A

^.

Exerie 4.

(i) Supposons que

p

^A

n

^{et onsidérons le système homogène ˆ}

A

^S

0

. Le nombre d'équationsde e système est

n

^{et lenombre d'inonnues est}

p

^{. Don ˆ}

A

^S

0

 est un système homogène quia plus d'inonnuesque d'équations, donil admetau moins

une solution non nulle disons ˆ

α 1 , . . . , α _p

^{ (Voir questions de ours du Chapitre}

1). L'égualité

α 1 v 1

α _p v _p 0

montre bien que

A

^{est une famille liée de}

E

^.

(ii) Supposons que

p

n

^{et onsidérons système ˆ}

A

^S

v

^{ où}

v a 1 u 1

a _n u _n

un veteur quelonque de

E

^{. Le nombre} d'équations du système ˆ

A

^S

v

^{ est}

n

^et

le nombre d'inonnues est

p

^{. Par suite les lignes du premier membre,}

n

^lignes,

du système ˆ

A

^S

v

^{ sont des veteurs à}

p

oordonnées, et omme

p

n

^{es lignes}

onstituent,d'après la question(i), une familleliée del'espae

K ^p

^{. Donl'une des}

lignes est ombinaison linéaire des autres lignes. Supposons par exemple que

L _i

n

on obtient la ondition de ompatibilité

0 1

qui n'est pas varié, 'est-à-dire le veteur

u _i

^{n'est pas une ombinaison linéaire des veteurs de}

A

^{. En onlusion, la}

famille

A

^{n'engendre pas}

E

^.

(iii) Soit

B

^{une base de}

E

^{et soit}

B

^{œ une autre bese de}

E

^{. Puisque}

B

^{œ est une}

famille libre et génératrie de

E

^{, on a, d'après les question (i) et (ii), ardˆ}

B

^{ B}

ardˆ

B

^œBardˆ

B

^{. D'où ardˆ}

B

^{œ ardˆ}

B

^.

Exerie 5.

(i) Il est lair quesi l'on donne à l'une des inonnues seondaires une valeur non

nulle,onn'obientquedessolutionsnonnullesdeˆ

S

^{(Voirlaréponseàlaquestion}

5

du Chapitre

1

"la deuxièmeversion").

Il est lair aussi que les éléments

u _iB

^{sont des solutions de de ˆ}

S

^{ (il sut de}

donnerlavaleur

1

àl'inonnue

α _i

^etlavaleur

0

auxautresinonnues seondaires).

Par suite

u _iB

^>

F

^puisque

F S

^. Considéronsmaintenant un veteur

s

^>

F

^{. Alors}

s

^{est une solutiondu système ˆ}

S

^{. Don}

s α 1 u 1 B

α _n r u _n rB

^{où les salaires}

α 1 , . . . , α _n r

^{sont les inonnues seondaires du système ˆ}

S

^{. Cei montre que la}

famille ˜

u 1 , . . . , u _n r

^{est bien une famillegénératriede}

F

^{. Montrons maintenant}

quela famille˜

u 1 , . . . , u _n r

^{estlibre. Soit}

β 1 , . . . , β _n r

^{dessalairestelsque}

β 1 u 1 B

β _n r u _n rB 0

. Alors la solution

s

^{de ˆ}

S

^{ obtenue en donnant aux inonnues}

seondaires les valeurs

α 1 β 1 , . . . , α _n r β _n r

^{, est nulle. Mais ei n'est possible}

que si

β 1 . . . β _n r 0

. Ainsi nous onluons que la famille ˆ

u 1 , . . . , u _n r

^{ est}

libre et don 'est une base de

F

^.

(ii) Se déduitimmédiatement de la question (i).

Exerie 6.

(i) Soit

B

^{une base de}

F

^,

v

^ˆ

x 1 , . . . , x _n

^{ un veteur quelonque de}

E

^{. Il est}

lair que

v

^>

F

^{si et seulement si le système ˆ}

B

^S

v

^{ est ompatible,} 'est-à-dire, les onditions de ompatibilités du système ˆ

B

^S

v

^{ sont toutes vériées. Par suite, es}

équationsfournissentune représentationartésiennede

F

^{.D'autre part,lenombre}

des équations du système ˆ

B

^S

v

^{ est}

n

^{et le rang est}

dim

ˆ

F

^

p

^{. Don si on}

éhe-lonne e système, on obtient

n

p

^{onditions de} ompatibilités. Ce qui fait que

F

peut être représenté par

n

p

^équations.

Réiproquement, Supposons que ˆ

S

^{ est un système homogème qui dénit}

F

(né-essairement à

n

^{inonnues) et qui a}

l

^{équations. Alors la dimension de}

F

^est

égale aux nombres d'inonnues seondaires de ˆ

S

^{. Don}

n

p

^{est le nombre des}

inonnues prinipales de ˆ

S

^{ qui est} ertainement inférieur ou égal à

l

^{. CQFD.}

(ii)Unedroitevetorielde

R ²

estaratériseéepar au moinsuneéquation (exate-ment une ar

2 1 1

) et une droite vetoriel de

R ³

est aratérisée par au moins

deuxéquations(exatementdeuxar

3 1 2

).Un planvetoriel estde dimension

2

, et don il est aratérisé par au moins une équation

3 2 1

Exerie 7.

F

⁹

G

^{est le sev} d'équations artésiennes

¢

Une deuxième méthode onsiste à résoudre séparément les équations de

F

^{et de}

G

^{. La résolution de es deux systèmes donnent}

F

^˜ˆ

⁷ ₂ z, 3 z, z

^~

z

^>

R

 et

G

2. Les oordonnées de

v 1

^{vérient les équations de}

F

^{, alors que les oordonées de}

v 2

^{ne les vérient pas. Don}

v 1

^{est un veteur de}

F

^et

v 2

^{ne l'ai pas.}

3. La famille

A

^{est liée ar rgˆ}

A

^

2

x ardˆ

A

^{. L'existene des onditions de}

ompatibilités montre aussi que

A

^{est liée.}

4. On a

F

^sev`

A

^{e, don}

dim

ˆ

F

^{ rgˆ}

A

^

2

.

5. Les olonnes pivots sont elles d'indies

1

et

3

, et omme on n'a pas fait de permutations sur les olonnes, alors la famille ˆ

u 1 , u 3

^{ est une base de}

F

^extraite

de

A

^.

6. Les lignes nulles sont

L 3

^et

L 4

^{, et on a utilisé une seule} permutation 'est

L 2

L 3

^{. Don l'origine de}

L 3

^est

L 2

^{et elle de}

L 4

^'est

L 4

^{. Par suite on peut}

ompléter la famille ˆ

u 1 , u 3

^{ par les veteurs}

e 2

^ˆ

0 , 1 , 0 , 0

 et

e 4

^ˆ

0 , 0 , 0 , 1

 en

une base de

R ⁴

, 'est-à-dire

B

^{œ ˆ}

u 1 , u 3 , e 2 , e 4

^{ est une base de}

R ⁴

.

7.D'aprèslaquestionpréédente,onalesevsev`

e 2 , e 4

^ede

R ⁴

estunsupplémentaire de F dans

R ⁴

.

8. On doit herher une base de l'ensemble des solutions du système ˆ

A

^S

0

. Pour ela il sut de remplaer

x, y, z

^et

t

^par

0

. On trouve alors que ˆ

A

^S

0

 a pour

Si on déplae la troisième ligne pour qu'elle devient la première, on obtient le

tableau éhelonné équivalent suivant

Exerie 9. IL sutde herherdes équationsartésiennes du sev`

v, w

^{eet inje}

-ter lesoordonnées du veteur

u

^{dans es équations. On onsidère donle système}

ˆ

v, w

^S

h

^,

h

^ˆ

x, y, z, t

^{, et on détermine ses onditionsde} ompatibilités. On

sontdeséquationsartésiennesdesev`

v, w

^e.Parsuite,

u

^>sev`

v, w

^{esietseulement}

si

α 2

.

Exerie10. onarg˜

u, v

^

2

etsoonéhelonne˜

u, w

^{ontrouveaussirg˜}

u, w

^

2

.Don

dim

ˆsev`

u, v

^e

dim

ˆsev`

u, w

^e.Donsev`

u, v

^{e sev`}

u, w

^{esietseulement}

si

v

^>sev`

u, w

^{e ar on déjà}

u

^>sev`

u, w

^e.

Unalulsimplemontreque

3 x

y

2 z 0

estuneéquationartésiennedesev`

u, w

^e.

Par suite sev`

u, v

^{e sev`}

u, w

^{e si et seulement si}

a ¹ ₂

^.

Exerie 11. On onsidèrelesystème suivantetonapplique la méthodede Gauss

1.

a pas utilisé de permutations sur les olonnes).

3. On a

u 1 B

^ˆ

1 , 0 , 0



, u 2 B

^ˆ

0 , 1 , 0



, u 3 B

^ˆ

0 , 0 , 1

. Pour trouver les oordonnées de

u 4

^{, on peut utiliser les relations de dépendanes entre les inques veteurs.}

On remplae

x, y, z, t, e

^par

0

dans le système éhelonnée obtennue, on trouve omme ensemble de solutions ˜ˆ

x 4 ,

3 x 4 , 2 x 4 , x 4

^~

x 4

^>

R



.

^Don

u 1

3 u 2

2 u 3

u 4 0

. D'où

u 4 u 1

3 u 2

2 u 3

^{et par suite}

u 4 B

^ˆ

1 , 3 ,

2

.

3.Les lignesnullessont

L 4

^et

L 5

^{.Onn'a pashangéla positiondelaligne}

L 4

^,mais

on l'a faitpour la ligne

L 5

^{. Dans la} permutation erulaire

L 5 L 2 L 3 L 5

^on

voit lairementquel'origine de la ligne

L 5

^{est la ligne}

L 3

^{. On peut don ompléter}

par les veteurs de la base anoniques

e 3

^ˆ

0 , 0 , 1 , 0 , 0

 et

e 4

^ˆ

0 , 0 , 0 , 1 , 0

 pour avoir une base de

R ⁵

.

Exerie12. faisonslehangementdevariable

z

2 y x

^{œ. ilestlairque}

x

^œprend

touteslesvaleursde

R

, puisque

z

^et

y

^lesont.Don

F

^˜ˆ

x

^œ

, y, x

^œ

2 y, y

3 z

^œ~

y, z

^>

R

. Le hangement de variable

x

^œ

x

^{, Montre bien que}

F G

^.

Remarque.Onpeutparfoisutiliseruneméthodeanalogueàellefaitedans

l'exer-ie prédédent, pour montrer que deux sev sont égaux à partir de leurs équations

artésiennes.

Dans le document Ea eVe ie (Page 30-38)