Ci ièe aie e

(1)

Le langage mahine du

miroproessur 8088 : instrutions

omplémentaires

(2)

(3)

Les entiers relatifs

Nousavonsvu,dans leshapitrespréédents,lesinstrutionsfondamentales d'unmiropro-

esseur,àsavoirellesquipermettentd'émulerunemahinedeTuring.Nousallonsommener

àvoir,dans ehapitre,desnotions

hh

avanées

ii

,'est-à-direnonindispensables enthéorie.

Nous avonsétudiéauhapitre15les opérationssur lesentiers naturels.Cei est enthéorie

susantpourlaprogrammationpuisque,enthéorie,lesentiers relatifs,parexemple,sontému-

lables par des entiers naturels. Cette émulation onduit ependant à une implémentation des

entiersrelatifsquin'estpaseae.Lesonepteursdesproesseursâblentdondesopérations

surlesentiers relatifs.

Protonsdeehapitresurlesentiersrelatifspourvoirunomplémentsurlesentiersnaturels.

Bienqu'employantlareprésentationbinaire,lespremiersonepteursdesordinateursvoulaient

être très prohes de lareprésentation déimale. Cei aonduit àun odagedit BCD. Celui-i

est toujoursimportantpourles aluletteset les alulsnaniers. Bienqued'une importane

relative,nousl'étudieronsdansehapitre.

(4)

17.1 Entiers relatifs

17.1.1 Représentation des entiers relatifs

Nousavonsvuquelapremièreétapepourtravailleraveunensemble(dénombrable)surun

ordinateur estdeoderseséléments.Voyonsommentle fairepourlesentiersrelatifs.Ilexiste

plusieursfaçonsdelefaire,lesunesplusnaturelles,lesautrespluseaes.

17.1.1.1 Bit de signeet valeurabsolue

Lapremièreidéepourreprésenterunentiernégatifestd'utiliserunbitdesigneetlesautres

bitspourlavaleurabsolue.Ilesttraditionnelalorsderéserverlebitdepoidsleplusfortomme

bitdesigneavelaonventionsuivante:

0représentelesigneplus(+);

1représentelesignemoins (-).

Dansesonditions,l'intervalleouvertsurunotetestde:

0000 0000bà0111 1111bpourlesentierspositifs,soitde0à127;

1000 0000bà1111 1111bpourlesentiersnégatifs,soit de-0à-127.

Cetteméthodenaturelledereprésentationprésentetroisinonvénients:

Iln'yapasompatibilitéasendantelorsqu'ondéide,parexemple,depasserd'unerepré-

sentationsurunotetàunereprésentationsurdeuxotets:1000 0001breprésente-1sur

unotet;lorsqu'onluiajouteunotet(nul)àgauhe,onobtient0000 0000 1000 0001b,

soit129;sionluiajouteunotet(nul)àdroite,onobtient1000 0001 0000 0000b,soit

-257.

Zéron'apasunereprésentationuniquemaisdeuxreprésentations:0000 0000b,soit+0,

et1000 0000b,soit-0.

L'algorithmepour eetuer l'addition de deux entiers relatifsdoit distinguerquatre as

suivantlesignedehaundesdeux termes.

(5)

17.1.1.2 Complémentà un

Dénition .- Dans la représentation dite du omplément à un,le bit de poids le plusfort est

égalementlebit de signemais lesautresbitsne représententpasla valeur absolue:

Les entierspositifs sontreprésentésommedansla premièreméthode.

Lareprésentationd'unentiernégatifestlavaleurabsoluedeetentierdonthaquebitest

inversé(1estremplaépar0et0par1,soit

x

^par

1 − x

^,^d'où^le^nom^de^lareprésentation).

Exemple.- L'entier relatif -5 est représenté sur un otet par 1111 1010b, puisque 5 = 0000

0101b.

Remarque.- Il n'y a toujours pas ompatibilité asendante ave ette représentation et zéro a

toujoursdeuxreprésentations.

(6)

17.1.1.3 Complémentà deux

Prinipe.-L'algorithmed'addition des entiersrelatifs n'estpasfaile àmettre enplae ave la

représentation par (bit de) signeet valeurabsolue.On peut utiliser lefait que e ne sontpas

tousles entiers relatifsque l'onreprésente mais seulement euxqui tiennent sur

n

^bits, ^ave

n

plusoumoins grand(

n

⁼⁸^pour^un^otet).

L'idée d'unereprésentationpermettantdemettre failementenplae l'additionreposealors

surlefaitqu'enarithmétiquemodulaireona:

a − b [mod c] = a + (c − b) [mod c]

Sionneonsidèrequedesentiersde

n

^hires^au^plus^en^base

r

^,^haque^entier^est^plus^petit^que

r ⁿ⁺¹

êtônâ^:

a − b [mod r ⁿ⁺¹ ] = a + (r ⁿ⁺¹ − b) [mod r ⁿ⁺¹ ]

Deefait,

r ⁿ⁺¹ − b

^s'appelle^le^omplément^à ^r ^de

b

^.^Dans^le^as^du^binaire,^on^parlera^don

deomplémentà deux.

Remarque.- La dénomination n'est pasbien hoisiepuisqu'elle ne fait référenequ'à la base

r

maispasaunombremaximaldehires

n

^.^Il^vaudrait^mieux^parler^de^omplément^à ^r ^sur ⁿ

bitsmaislatradition estmaintenantbienétablie.

Calulduomplémentàdeux.-Puisque :

2 ⁿ⁺¹ − b = (2 ⁿ⁺¹ − 1) − b + 1

etque

2 ⁿ⁺¹ − 1

^est^l'entier^de

n

^hires^binaires^tous^égaux^à^1,^le^alul^du^omplément^à^deux

d'unentier(positif ounégatif)estfaile:

onalulesonomplémentàun(opérationlogiqueNOTbitàbit);

onluiajouteun.

Exemple.-Calulons lareprésentationde-5enomplémentàdeuxsurunotet:

onsidéronssavaleurabsolue :5=0000 0101b;

alulonssonomplémentàun:1111 1010b;

ajoutons-lui 1(etignoronslaretenuenalelorsqu'elleexiste): 1111 1010b + 1=1111

1011b.

Avantages.- Dansesystème zéroaune seulereprésentationet lasoustrationseramèneàune

addition (puisqu'on utilise tout simplement une arithmétique modulaire). Par ontre il n'y a

toujourspasompatibilitéasendante.

Remarques.-1

o

)Quelleestl'interprétationd'unotetlorsqu'ilreprésenteunentier?C'est l'uti-

lisateurqui hoisitunedesdeuxinterprétationssuivantessuivantleas:

S'ilnedoittravaillerqu'avedesentiers naturels,il hoisitdanseasquetouslesmots

de

n

^bitsreprésententdesentiersnaturels,variantde0à

2 ⁿ − 1

^.

S'ildoittravailleràlafois avedesentiers positifs et desentiersnégatifs,il hoisitdans

e as que tous les mots de

n

^bits représentent des entiers relatifs variant de

− 2 ⁿ ⁻ ¹

^à

2 ⁿ ⁻ ¹ − 1

^.^Le^bit^de^poids^le^plus^fort^peutâlorsênore^êtreônsidéréômme^bit^de^signe

arilestégalà1pourlesentiersomprisentre

− 2 ⁿ ⁻ ¹

^et

− 1

êt^à^zéro^pourêuxômpris

entre 0et

2 ⁿ ⁻ ¹ − 1

^.

- 2

o

) Si onproèdedeux fois suessivesàlaformation duomplémentàdeux, on

retombesur lenombrequ'on avait audépart.L'opérationdeomplémentationàdeuxestdon

(7)

17.1.2 Cas du miroproesseur 8086/8088

Le miroproesseur8086/8088possède unjeu d'instrutions spéiques pour travaillerave

lesentiersrelatifsreprésentésenomplémentàdeuxsurhuitouseizebits.

17.1.2.1 Calulde l'opposé

Prinipe.- On a vu que le alul de l'opposé

− b

^d'un ^nombre

b

ên ômplément ^à ^deux êst

faile puisqu'il sut d'une négation bit à bit suivie d'une inrémentation. Les onepteursdu

miroproesseur8086ontâblé etteopérationdepassageàl'opposé:

NEG

souslenom denégation(NEGationenanglais)làoùonauraitpus'attendreàopposition.

Langagemahine.-Lanégationest odéesurdeuxouquatreotetspar:

| 1111 011 w | mod 011 r/m | | |

Exemple.-Vérions quel'opposé de 5surdeuxotetsestbien:

1111 1111 1111 1011b = FFFBh.

Leprogrammes'éritdelafaçonsuivanteenlangagesymbolique:

MOV AX,3000

MOV DS,AX

MOV AX,5

NEG AX

MOV [400℄,AX

RET

Laquatrièmeinstrutionestodéeenlangagemahinepar:

| 1111 011 1 | 11 011 000 |

soitF7 D8h.Latradutiondeeprogrammeenlangagemahineest don:

B8 00 30

8E D8

B8 05 00

F7 D8

A3 00 04

C3

Codonseprogramme:

C:\COM>debug

-E CS:100 B8 00 30

-E CS:103 8E D8

-E CS:105 B8 05 00

-E CS:108 F7 D8

-E CS:10A A3 00 04

-E CS:10D C3

-R BX

BX 0000

:

(8)

CX 0000

:0E

-N NEG.COM

-W

Eriture de 0000E otets

-Q

Aprèsexéutionduprogrammeneg.om,onvériequel'onabienFF FBhàl'emplaement

mémoirehoisi:

C:\COM>debug

-D 3000:400

3000:0400 FB FF 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0410 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0420 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0430 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0440 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0450 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0470 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

-q

(9)

17.1.2.2 Additionet soustration

Introdution.- Le omplément à deux a été hoisi pour que l'addition de deux entiers relatifs

puisses'eetueravelesinstrutionsd'additionâbléesaprioripourlesentiersnaturels.Iln'y

adonpasgrandhoseàendire.L'utilisateurhoisitl'interprétationqu'ilveut:entiersnaturels

ouentiers relatifs;ileetuel'addition etilinterprètelerésultatdelafaçonqu'ilahoisie.

Pourlasoustration,onutiliselefaitque:

a − b = a + neg(b)

que

b

^soit ^positif^ou^négatif.

Exemple.-Érivonsunprogrammequipermetd'eetuerl'additionde25hetde-12hetvérions

queela donnebien13h.

Leprogrammes'éritdelafaçonsuivanteenlangagesymbolique,enutilisantlaommutativité

del'addition:

MOV AX,3000

MOV DS,AX

MOV AX,12

NEG AX

ADD AX,25

MOV [400℄,AX

RET

Latradutiondeesous-programmeenlangagemahinedonne:

B8 00 30

8E D8

B8 12 00

F7 D8

05 25 00

A3 00 04

C3

Codonseprogramme:

C:\COM>debug

-E CS:100 B8 00 30

-E CS:103 8E D8

-E CS:105 B8 12 00

-E CS:108 F7 D8

-E CS:10A 05 25 00

-E CS:10D A3 00 04

-E CS:110 C3

-R BX

BX 0000

:

-R CX

CX 0000

:011

-N ADDNEG.COM

-W

Eriture de 00011 otets

(10)

Après exéutionduprogrammeaddneg.om,onvériequel'onabien 13h àl'emplaement

mémoirehoisi:

C:\COM>debug

-D 3000:400

3000:0400 13 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0410 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0420 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0430 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0440 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0450 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0470 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

-q

Inidenesurlesindiateurs.-Nousallonsvoirl'intérêtdel'indiateurOFdansleasd'uneaddi-

tion/soustration sur lesentiers relatifs,alors que elui-i est aeté mais ne joue pas de rle

dansleasdesentiersnaturels.Eneetilfautonserverl'informationsurlesigne,quipeutêtre

perduedans deuxas:

l'indiateurCFestmis à1sansretenueajoutéeau(x)bit(s)designe,

l'indiateurCFestmis à0maisuneretenueaétéajoutéeaubitdesigne.

Considéronsquatreexemples,dansleasd'additions surunotetpoursimplier:

a) 80h+80h [=-128+(-128)=-256℄

1000 0000

+ 1000 0000

---

1 0000 0000

Iil'informationdusigneestperduesansretenueajoutéeauxbitsdesigne.Lemiroproesseur

metlesindiateursCFetOFà1.

b)80h +7Fh[=-128+127=-1℄

1000 0000

+ 0111 1111

---

0 1111 1111

Iitoutsepassebien,iln'yapasdeperted'information.LesindiateursCFetOFsontalors

misà0.

) 7Fh+7Fh[=127+127=254℄

0111 1111

+ 0111 1111

---

0 1111 1110

Ii ilypasperted'information.L'indiateurCFestmisà0maisOFestmisà1.

d)C0h+7Fh[=-64+127=63℄

1100 0000

+ 0111 1111

---

(11)

Lerésultatestorretmaisl'indiateurCFestpositionné.L'indiateurOFestalorségalement

positionnépourque

CF ⊕ OF = 0

^.

17.1.2.3 Multipliation

Contrairementà l'addition et àla soustration, la multipliation et la division ne seom-

portentpasdelamêmefaçonsuivantqu'ononsidèrequelesopérandessontdesentiersnaturels

oudesentiers relatifs,d'oùlanéessitéd'introduire deuxinstrutionsnouvelles.

Langagesymbolique.-Pourlamultipliation,l'instrutionest :

IMUL soure

pourInteger MULtiply, 'est-à-diremultipliation surlesentiers relatifs,oùsouredésigneun

registreouuneasemémoire.

Sémantique.-Cetteinstrutionpermetdemultiplierleontenudel'aumulateur8bitsAL(resp.

16bitsAX)parleontenud'unregistreoud'uneasemémoire8bits(resp.16bits),onsidérés

ommedesentiersrelatifs.Le résultat,qui aunetaille double, estplaé dansAX (resp.AX et

DX,e dernierpourlemotdepoidsfort).

Langagemahine.- Cette multipliation s'eetue grâe à une instrution odée sur deux ou

quatreotetssuivantleas:

| 1111 011w | mod 101 r/m | | |

onernantAXsi

w = 1

^et ^AL^si

w = 0

^.

Exerieorrigé.-Traduire l'instrution:

IMUL BL

en langagemahine.

D'aprèsequenousvenonsdedire,etteinstrutionsetraduitparlesdeuxotetsreprésentés

enbinairepar:

| 1111 0110 | 11 101 011 |

(12)

17.1.2.4 Division eulidienne

Langagesymbolique.-L'instrution est:

IDIV soure

(pourIntegerDIVision), oùledividendede16bits(resp.32bits)est plaédansl'aumulateur

AX(resp.AXetDX,edernierontenantlemotdepoidsfort)etlediviseurde8bitsdanssoure,

quiest unregistreouune asemémoire.

Sémantique.- Cette instrution permet d'eetuer la division eulidienne du dividende par le

diviseur,lequotientexatest plaédansAL(ouAX)et lerestedansAH (ouDX).

Contrairementàladénitionmathématique,laonventionestquelesresteestdumêmesigne

queledividende.Ainsidansleasdeladivision

hh

eulidienne

ii

de

± 26

^par

± 7

^,^on^a^:

− 26 = ( − 3) × 7 − 5

− 26 = 3 × ( − 7) − 5 26 = 3 × 7 + 5 26 = ( − 3) × ( − 7) + 5

e qui signie que ladivision est d'abord non signée (

26 = 3 × 7 + 5

⁾^puis ^que^les ^signes^sont

mis:auresteenfontiondeeluidudividende,auquotientenfontiondeeuxdudividendeet

dudiviseur.

Langagemahine.- Cettedivision eulidienne s'eetue grâeà l'instrutionodéesurdeux ou

quatreotetssuivantleas:

| 1111 011w | mod 111 r/m | | |

Si

w = 0

^,ônâ^dividende⁼^[AX℄,^quotient⁼^[AL℄êt^reste⁼^[AH℄.

Si

w = 1

^,ônâ^dividende⁼^[DX,AX℄,^quotient⁼^[AX℄êt^reste⁼^[DX℄.

Exerieorrigé.-Traduirel'instrution :

IDIV BL

en langagemahine.

D'aprèsequenousvenonsdedire,etteinstrutionsetraduitparlesdeuxotetsreprésentés

enbinairepar:

| 1111 0110 | 11 111 011 |

(13)

17.2 Le déimal odé binaire

17.2.1 Notion

Un entier naturelpeutêtre représenté de diérentes façons: dans un système de représen-

tation additif, telque lanumérationenhires romains, oudansunsystème de représentation

positionnel,enutilisantleplussouventdeshiresarabes.Lanotiondebaseestimportante:nous

utilisonsleplussouventlabase dixdanslaviedetouslesjoursmaisaussiquelquefoisd'autres

bases,parexemplelabasedouzepourlesheures.L'informatiquenousahabituéàutiliserlabase

deux (nombres binaires), mieux adaptéeau matériel, et la base seize(nombres hexadéimaux),

assoiéeàlabasedeuxmaisenpluslisibleparunêtrehumain.

Pour des raisons d'eaité, tous les aluls sur ordinateurs sont eetués de nos jours en

basedeux, aveunetradution lorsdel'entréeetpourlerésultatnalensortie.

Cettefaçondefairen'apasété adoptéed'embléeauxdébutsdudéveloppementdes ordina-

teurs.Onessayait,oûte queoûte,de resterprohede lanumérationdéimale.Une représen-

tationdesentiersétait,parexemple,enDCBsurlequelnousallonsrevenir.Lemiroproesseur

i8080onserveenoredesinstrutionspouretypedereprésentation,pourdesraisonsdeom-

patibilitéasendanteaveletoutpremiermiroproesseur,lei4004.Rappelonsqueelui-iaété

onçusurommandepourréaliserdesalulatriesdebureau.L'eaitédesalulsn'étaitpas

laraisonpremièrealorsqu'on avaitàaherpratiquementlerésultatdehaquepasde alul,

d'oùl'intérêt d'unereprésentationprohedudéimal.

Dénition1.-Endéimalodébinaire(DCBenabrégéouBCDpourl'anglaisBinaryCoded

Deimal), tout hire déimal est représenté sur un quartet, 'est-à-dire quatre bits binaires

(nibbleen anglais):

Déimal DCB

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

quiest toutsimplementla représentation binaireduhireorrespondant.Lesquartetsrestants,

de 1010bà1111b, n'ontpasde signiation partiulièreen DCB.

Lapluspetiteunitédemémoireadressableparlemiroproesseuri8080estl'otetet nonle

quartet,d'oùl'intérêtduDCB ompaté.

Dénition2.-Onparle deDCBompatélorsqu'onreprésentedeuxhiresDCB surunotet

et de DCB étendu (ounormal) lorsqu'on n'en représente qu'un seul (sur le quartet de poids

(14)

17.2.2 Addition en DCB

Prinipe.-Pourtravaillerplusfailementsurlareprésentationdéimale,onreprésentelesnombres

en DCB ompaté. On exéutel'addition de façonhabituelle mais on doit orriger le résultat

obtenu. Onutilisepourelal'instrution:

DAA

(pourl'anglaisDeimalAdjust afterAddition)quidoitêtreeetuéeimmédiatementaprèsl'ins-

trutiond'addition.Cetteinstrution,entièrementhéritéedu8080,n'agitquesurl'aumulateur

d'unotet,'est-à-diresurAL.

Langagemahine.-L'instrutionDAAestodéesurunotetpar0010 0111b,soit27h.

Exemple1.-Érivonsunprogrammemahine qui additionne12 à63et plaelerésultatàl'em-

plaement mémoire1000:400.

Leprogrammes'éritdelafaçonsuivanteenlangagesymbolique:

MOV AX,3000

MOV DS,AX

MOV AL,12

ADD AL,63

DAA

MOV [400℄,AL

RET

On s'aperçoitque l'initialisationdes nombres en DCBest failepour l'utilisateur: il sut

d'entrerlesentiers ommesionpouvaittravaillerdiretementavedudéimal.Ils'agitenfait

d'hexadéimalsanspermettreleshires`A'à`F'.Demême,laleturedel'ahage(bienqu'en

hexadéimal)esttrèslisible pourl'utilisateur.

Latradutiondeesous-programmeenlangagemahinedonne:

B8 00 30

8E D8

B0 12

04 63

27

A2 00 04

C3

Codonseprogramme:

C:\COM>debug

-E CS:100 B8 00 30

-E CS:103 8E D8

-E CS:105 B0 12

-E CS:107 04 63

-E CS:109 27

-E CS:10A A2 00 04

-E CS:10D C3

-R BX

(15)

:

-R CX

CX 0000

:0E

-N DAA.COM

-W

Eriture de 0000E otets

-Q

Après exéution du programme daa.om, on vérie que l'on a bien 75h à l'emplaement

mémoirehoisi:

C:\COM>debug

-D 3000:400

3000:0400 75 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 u...

3000:0410 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0420 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0430 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0440 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0450 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

3000:0470 00 00 00 00 00 00 00 00-00 00 00 00 00 00 00 00 ...

-q

Exemple2.-L'instrution tientégalementompte desretenues,omme lemontrel'addition de

59etde12.

17.2.3 Soustration en DCB

Prinipe.-Commepourl'addition,enDCBompaté,onexéutelasoustrationdefaçonhabi-

tuellemaisondoitorrigerlerésultatobtenu,grâeàl'instrution:

DAS

(pour l'anglais Deimal Adjust after Substration) qui doitêtre eetuéeimmédiatement après

l'instrutiondesoustration.Cetteinstrutionn'agit quesurl'aumulateurd'unotet,'est-à-

diresurAL.

Langagemahine.-L'instrutionDASest odéesurunotetpar0010 1111b,soit 2Fh.

17.2.4 Cas de la multipliation et de la division

Comme nous l'avonsdéjà dit, la multipliationet ladivision ne sont pas implémentées sur

touslesmiroproesseurs,ar ellesexigentunâblageomplexe. Enpartiulier,ellesnelesont

passurletout premiermiroproesseur,lei4004.Onnetrouvedonriensurelles-ienBCD

ompatésurlei8080.

17.3 Historique

17.3.1 Blaise Pasal et le omplément à neuf

RappelonsqueBlaisePasalaonçul'unedestoutespremièresalulatriesméaniques.Il

nepouvaiteetuer quedesadditionssurdesentiers naturelsde 5,6ouhuithiresdéimaux

(selonlaversion).Mathématiienexpérimenté,ilpensadonàutiliserleomplémentàneufpour

Ci ièe aie e

hh

ii

x

1 − x

n

n

n

a − b [mod c] = a + (c − b) [mod c]

n

r

r n+1

a − b [mod r n+1 ] = a + (r n+1 − b) [mod r n+1 ]

r n+1 − b

b

r

n

2 n+1 − b = (2 n+1 − 1) − b + 1

2 n+1 − 1

n

o

n

2 n − 1

n

− 2 n − 1

2 n − 1 − 1

− 2 n − 1

− 1

2 n − 1 − 1

o

− b

b

a − b = a + neg(b)

b

CF ⊕ OF = 0

w = 1

w = 0

hh

ii

± 26

± 7

− 26 = ( − 3) × 7 − 5

− 26 = 3 × ( − 7) − 5 26 = 3 × 7 + 5 26 = ( − 3) × ( − 7) + 5

26 = 3 × 7 + 5

w = 0

w = 1

Ci ièe aie e

r ⁿ⁺¹

a − b [mod r ⁿ⁺¹ ] = a + (r ⁿ⁺¹ − b) [mod r ⁿ⁺¹ ]

r ⁿ⁺¹ − b

2 ⁿ⁺¹ − b = (2 ⁿ⁺¹ − 1) − b + 1

2 ⁿ⁺¹ − 1

2 ⁿ − 1

− 2 ⁿ ⁻ ¹

2 ⁿ ⁻ ¹ − 1

− 2 ⁿ ⁻ ¹

2 ⁿ ⁻ ¹ − 1