e
ièeaie. EA1:

EAN 1 :

les bases de l'électronique

amplicateurs

1.1 Rappel des éléments de base

1.1.1 Générateurs de tension et de courant

R _g

U _g U _L

I _L

R _L R _g

I _g

U _L I _L

R _L

U _L

R _L

P _L

R _L

I _L

U _L

U _L

R _L

P _L

R _L

I _L

U _L

1.1.2 Théorèmes de Thévenin et de Norton

U _g,k

R _k I _g,k

I _cc U _co

R _thv

U _thv R _nrt

I _nrt

Deux mesures U _co et I _cc suffisent pour caractériser le circuit car:

U _thv = U _co R _thv = U _co / I _cc I _nrt = I _cc

R _nrt = U _co / I _cc

1.1.3 Adaptation d'impédance

Onditquelesimpédances entre ungénérateur etsachargesontadaptées lorsque le

maximumde puissanceest fournieàlacharge.Considérantlegénérateurde tension

etsa charge décritsplus haut,on peut écrire lesdeux équations suivantes :

U L = U g

R L

R g + R L

, I L = U g

R g + R L

(1.1)

On en déduit quela puissance reçue par la charge vaut

P L = U L · I L = (U g ) ² R L

(R g + R L ) ²

^(1.2)

Cettepuissance tend vers zéro lorsque

R L → 0

^ou

R L → ∞

^{. Entre deux, ellepasse}

par un maximum lorsque

R L = R g

^(1.3)

Lapuissance maximum que peut recevoir une charge vaut donc

P L, max = (U g ) ² 4 R g

= U co · I cc

4 = U thv · I nrt

4

^(1.4)

1.1.4 Diviseurs de tension et de courant

U

U ₂

R ₁ R ₂

R ₂ R ₁

I I ₁ I ₂ U ₁

1.1.5 Théorème de superposition

U _g,k

R _k I _g,k

U = Σ α _k ^U _g,k + Σ ^γ _k ^I _g,k

[ α _k ] = [ V/V ], [ γ _{k ] = [ V/A ]}

1.1.6 Exemple

1.2 Amplicateurs linéaires

1.2.1 Généralités

Unamplicateurestunensembleélectroniqueactifconstituédecomposantspouvant

amplier des courants ou tensions, tels que des transistors par exemple. Pour que

l'amplicateur puisse fonctionner, il est nécessaire de l'alimenter avec une tension

continue;mais,danslesschémasdeprincipeoud'analyse,l'alimentationn'estjamais

mentionnée.Lesseulesconnexionsindiquéessontlesdeuxbornesd'entréeauxquelles

onrelie la source etles deux bornesde sortie entre lesquelles on branche lacharge.

Lesamplicateurssontutiliséspratiquementpartout;ilsserventàamplier,ltrer,

détecter, transformer des signaux, etc.

U _dc I _dc

U _g R _g

U _in

I _in

U _L I _L

R _L I _out

U _out Amplificateur

Source Charge

Fig. 1.1: Schéma générald'un circuit d'amplication

Les gains intéressants du point de vue de l'utilisateur sont, pour une charge

R L

donnée, lesgainsen tension, en couranteten puissance dénis commesuit pour un

amplicateurparfait (sans tension nicourant de décalage)

A u ≡ U out

U in

, A i ≡ I out

I in

, A p ≡ P out

P in

(1.5)

Comme la puissance est égale au produit tension-courant, les trois gains sont bien

évidemment reliés entre eux par la relationsuivante

A p ≡ P out

P in

= U out I out

U in I in

= A u A i

^(1.6)

Ilestimportantdereleverquelesgainssontsouvent exprimésen dBetqu'ilsvalent

alors

A u,dB ≡ 20 log (|A u |) A i,dB ≡ 20 log (|A i |)

^(1.7)

A p,dB ≡ 10 log (A p ) = 10 log (A u A i ) = 1

2 (A u,dB + A i,dB )

^(1.8)

Ande faciliterl'analyse des systèmesélectroniques dans lesquelson utiliselesam-

plicateurs,onlesreprésente par des modèles linéairesadaptésauxapplications. Si

l'on veut simplement amplier une tension ou un courant, on utilisera un ampli-

cateur de tension ou de courant. Si l'on souhaite transformer une tension en un

courant, on travaillera avec un amplicateur à transconductance; dans le cas in-

verse, onprendra un amplicateurà transrésistance.Maiscommeonleverra,grâce

authéorème de Norton, ces quatre représentations sont totalementéquivalentes.

1.2.2 Amplicateurs unilatéraux

Les modèles que l'on utilisera par la suite pour représenter les amplicateurs sont

ditsunilatéraux.Cela signiequelatensionetlecourantde sortien'ontaucuneet

sur les signaux d'entrée. Ce choix est simplement dû au fait que ces modèles sont

trèssimplesàcalculeretquelesamplicateursréels sont pratiquementunilatéraux.

Dansce cas,lesparamètrescaractérisantlesamplicateurssontaunombrede trois:

legain à videet lesrésistances d'entrée et de sortie.

De plus, comme les amplicateurs réels possèdent inévitablement des tensions et

courantsdedécalagequientraînentunegrandeurdesortienonnullepouruneentrée

nulle, larelation entrée-sortie d'un amplicateurde tension, par exemple, s'écrira

U out = U os + A u U in

^(1.9)

où

U os

^{représente la tensionde décalage et}

A u

^{le gain en tension.On voit ainsi que}

lesparamètres de l'amplicateur doivent être calculésen considérant les variations

plutôt que les valeurs des tensions et courants. Ainsi, pour les amplicateurs de

tensionou de courant, onaura

A uo ≡ ∆U out

∆U in

I out =0

, A io ≡ ∆I out

∆I in

U out =0

(1.10)

R in ≡ ∆U in

∆I in

, R out ≡ ∆U out

−∆I out

U in =0

(1.11)

R _out

A _uo U _in U _out R _in

U _in

U _in U _out

Fig. 1.2: Modèle d'un amplicateur(unilatéral) de tension

1.2.3 Amplicateurs bilatéraux

Les amplicateurs bilatéraux sont des amplicateurs dont la tension et le courant

d'entrée dépendent de ce que l'on fait en sortie. À cause de ces interactions, ces

circuitssont plus compliquésà calculerque lesamplicateurs unilatéraux.

Pourtenircomptedufaitquelasortieinuencel'entrée,ondoitdénirunparamètre

supplémentaire, le gain inverse

A ..r

^{. De plus comme ces paramètres dépendent des}

résistances

R g

^et

R L

^{, il est important de préciser leur valeur. Les paramètres d'un}

amplicateurde tension bilatéralsont alors déniscomme suit

A u ≡ ∆U out

∆U in

R L =···

, A ur ≡ ∆U in

∆U out

U g =0 ,R g =···

(1.12)

R in ≡ ∆U in

∆I in

R L =···

, R out ≡ ∆U out

−∆I out

U g =0, R g =···

(1.13)

1.2.4 Exemple

Lesgures 1.3et 1.4 présentent les schémas de deux amplicateurs de courant : le

premierestunilatéralalorsqueledeuxièmeestbilatéral.Danscedernier,lecouplage

entre la sortieet l'entrée est dû àla résistance

R 3

^.

Les paramètres de l'amplicateur de tension unilatéral (gure 1.3) découlent im-

médiatementde leur dénition etde l'observation du schéma; ona en eet

R in = U in

I in

= R 1

^(1.14)

R out = U out

−I out

U in =0

= R 2

^(1.15)

A uo ≡ U out

U in

I out =0

= −β I in R 2

I in R 1

= − β R 2

R 1

(1.16)

R ₁ R ₂

R _g

R _L

U _g U _in U _out

I _in I _out

β Ι _in

Fig. 1.3: Schéma d'un amplicateurunilatéral

Pour obtenir les caractéristiques de l'amplicateurde tension bilatéral(gure 1.4),

ilfaut commencerpar écrireles équationsdu circuit

U in = U g − R g I g

^(1.17)

U in = R 1 I in + R 3 (I in − I out )

^(1.18)

U out = −R 2 (βI in + I out ) + R 3 (I in − I out )

^(1.19)

U out = R L I out

^(1.20)

R ₁ R ₂

R ₃ R _g

R _L U _g

U _in U _out

I _in I _out

β Ι _in

Fig.1.4: Schéma d'un amplicateurbilatéral

Enrésolvant ces quatre équations,onobtientlesexpressions des quatre paramètres

de l'amplicateurbilatéralqui valent

R in = U in

I in

= R 1 + R 3

R L + R 2 + βR 2

R 2 + R 3 + R L

(1.21)

R out = U out

−I out

= R 2 + R 3 1 + β R 2 − R 3

R g + R 1 + R 3

!

(1.22)

A u = U out

U in

= − α R L

R 2 + R 3 (1 + α) + R L

avec

α = β R 2 − R 3

R 1 + R 3

(1.23)

A ur = U in

U out

U g =0

= R g R 3

(β R 2 − R 3 ) R 3 + (R 2 + R 3 ) (R g + R 1 + R 2 )

^(1.24)

Commeonpeut le constater, ledéfaut majeurdes circuits bilatérauxest dû aufait

que les paramètres de l'amplicateur ne sont pas indépendants des résistances

R g

et

R L

extérieures àcelui-cietqueleur calculest compliqué.C'est pourquoi,dans la mesuredu possible,on réalisedes amplicateursunilatéraux.

1.3 Modèles unilatéraux pour les amplicateurs

Pour cequisuit, onneconsidéreraquedes amplicateursunilatérauxsupposés par-

faits.Lesmodèlessontalorstrèssimplespuisqu'ilsserésumentauxtroisparamètres

que sont le gain à vide et les résistances d'entrée et de sortie. Suivant le point de

vue adopté,on peut représenter un même amplicateur à l'aide de quatre modèles

diérents reliés entre eux par lestransformations de Thévenin-Norton :

les amplicateurstension-tension caractérisés legain

A uo

^,

les amplicateurscourant-courantcaractérisés le gain

A io

^,

les amplicateurstension-courantcaractérisés la transconductance

G mo

^,

les amplicateurscourant-tensioncaractérisés la transrésistance

R mo

^.

1.3.1 Amplicateurs de tension

A uo =

^{gain en tensionà sortie ouverte}

≡ U out

U in

I out =0

R _out

A _uo U _in U _out I _out

R _L

U _g R _in

R _g

U _in I _in

A u ≡ U out

U in

= 1 U in

A uo U in

R L

R L + R out

= A uo

R L

R L + R out

A i ≡ I out

I in

= U out /R L

U in /R in

= A u

R in

R L

U L = U in A u = U g

R in

R in + R g

R L

R L + R out

A uo

1.3.2 Amplicateurs de courant

A io =

^{gain en courant à sortiefermée}

≡ I out

I in

U out =0

A _io I _in

U _out I _out

R _L I _g

R _in R _g U _in

I _in

R _out

A i ≡ I out

I in

= 1 I in

A io I in

R out

R L + R out

= A io

R out

R L + R out

A u ≡ U out

U in

= I out R L

I in R in

= (A i I in ) R L

I in R in

= A io

R out

R in

R L

R L + R out

I L = I in A i = I g

R g

R in + R g

R out

R L + R out

A io

1.3.3 Amplicateurs à transconductance

G mo =

transconductance à sortiefermée

≡ I out

U in

U out =0

G _mo U _in

U _out I _out

R _L

U _g R _in

R _g

U _in I _in

R _out

G m ≡ I out

U in

= 1 U in

G mo U in

R out

R L + R out

= G mo

R out

R L + R out

A u ≡ U out

U in

= I out R L

U in

= (G m U in ) R L

U in

= G mo R out

R L

R L + R out

I L = U in G m = U g

R in

R in + R g

R out

R L + R out

G mo

1.3.4 Amplicateurs à transrésistance

R mo =

transrésistance àsortie ouverte

≡ U out

I in

I out =0

R _out

R _mo I _in U _out I _out

R _L R _in

R _g U _in I _in I _g

R m ≡ U out

I in

= 1 I in

R mo I in

R L

R L + R out

= R mo

R L

R L + R out

A u ≡ U out

U in

= 1 U in

(R m I in ) = R m U in /R in

U in

= R mo

R in

R L

R L + R out

U L = I in R m = I g

R g

R in + R g

R L

R L + R out

R mo

1.3.5 Relations entre les quatre représentations

Nous venons de voir quatre représentation possibles pour une même réalité. Il est

clairque les résistances d'entrée et de sortie demeurentles mêmes; seules changent

lesexpressions des gains. Grâce au théorème de Norton, on passe facilementd'une

représentation àl'autre.On obtientalors lesrésultatsprésentés dans letableau1.1.

Gain en tension

A uo

^{Gain en courant}

A io

Ampli.de tension

A uo A uo R in

R out

Ampli.de courant

A io R out

R in A io

Ampli.à transconductance

G mo R out G mo R in

Ampli.à transrésistance

R mo 1

R _in R mo 1

R out

Tab. 1.1: Équivalences entre les quatre typesd'amplicateurs

1.3.6 Amplicateurs en cascade

Comme pratiquement, il n'est pas possible d'avoir simultanément les résistances

d'entrée, de sortie et le gain souhaités, il est fréquent de devoir cascader plusieurs

amplicateurs et de choisir leurs caractéristiques en fonction de la source, de la

chargeetdesbesoinsenamplication.Parexemple,sil'ondoitamplierunetension

avant de l'appliquer à une charge de faible valeur, l'amplicateur est généralement

constituéde troisétages permettantd'avoir uneimpédanced'entrée élevée, un gain

élevéet une faiblerésistance de sortie (gure1.5).

1 [V/V]

10 Ω

100 Ω

100 [V/V]

1 kΩ

10 kΩ

10 [V/V]

1 kΩ

100 kΩ

10 [mV]

10 kΩ

100 kΩ

Source Ampli. d’entrée Ampli. intermédiaire Ampli. de sortie Charge

Fig. 1.5: Amplicateurs en cascade

Onvoitdanscet exempleque l'onaaaireàune successionde gains etdediviseurs

de tension;ainsi le gain résultant sera-t-iltoujours inférieur auproduit des gains à

videde chaque amplicateur.Appliquantlarègle du diviseurde tension,onobtient

pour chaque étageles gains suivants

A u1 = 10 100

101 = 9.9, A u2 = 100 10

11 = 90.9, A u3 = 1 100

110 = 0.909

Ce qui donneun gain total valant

A u = A u 1 A u 2 A u 3 = 818 [V /V ]

A cette diminution du gain vient s'ajouter l'eet du diviseur d'entrée; ce qui fait

quela tensionfournie à lacharge vaut

U L = U g

R in

R in + R g

A u = 10

^mV

100

^k

Ω

110

^k

Ω 818 ' 7.4

^[V]

On voit ainsi que legain global

A u,gL

^vaut

A u,gL ≡ U L

U g

= 7.4 [

^V

]

10 [

^mV

] = 740 [

^V/V

]

alors quele produit des gains à videdonne 1000 [V/V].

1.4 Amplicateurs diérentiels

Les amplicateurs diérentiels sont utilisés chaque fois que l'on doit amplier un

signal perturbé par du bruit ou une composante DC inutile. Comme illustration,

considéronsl'amplicationd'un message

m(t)

^{reçupar un microphonedontlecâble}

capte un bruit électromagnétique

b(t)

^{(gure1.6). Dans le cas d'une simple ampli-}

cationunipolaire,le signal ampliévaudra

u 2 (t) = A u (u 1 (t) + b(t)) = A u u 1 (t) + A u b(t)

^(1.25)

Commelebruit

b(t)

^{est ampliéde lamême manièrequelemessage représenté par}

latension

u 1 (t)

^{,on n'aurarien gagnéen qualité.}

Par contre, en utilisant un microphone (dont seul le boîtier est mis à la masse),

un câble bilaire torsadé (pour diminuer le captage du bruit) et un amplicateur

diérentiel,le bruit sera complètement éliminési l'amplicateurest parfait.

Eneet, comme dans ce cas c'est ladiérence de tension entre lesdeux entrées qui

est ampliée, ona

u 2 (t) = A dm (U + − U − )

^(1.26)

u 2 (t) = A dm ((u 11 (t) + b(t)) − (u 12 (t) + b(t)))

^(1.27)

= A dm (u 11 (t) − u 12 (t))

^(1.28)

On voit ainsi que l'eet du bruit électromagnétique a complètement disparuet que

seul lemessage contenu dans la diérencede tensionest amplié.

Un amplicateur diérentiel réel qui n'amplie pas exactement de la même

manièrelesdeux tensionsd'entrées peut être décritpar

u 2 (t) = A u1 U + − A u2 U ⁻

^(1.29)

u ₁₁ (t) u ₁₂ (t)

u ₁₁ (t)+b(t)

u ₁₂ (t)+b(t) u ₂ (t)

b(t)

u ₁ (t) u ₁ (t)+b(t)

u ₂ (t) b(t)

A _U

A _dm m (t)

m (t)

Fig. 1.6: Amplicateursunipolaire etdiérentiel

U ₂ U ₁₁

U ₁₂ U _dm

U _cm

Fig. 1.7: Dénition des modes diérentielet commun

u 2 (t) = A u1 (u 11 (t) + b(t)) − A u2 (u 12 (t) + b(t))

= A u1 u 11 (t) − A u2 u 12 (t) + (A u1 − A u2 ) b(t)

Àcestade,ilestplusintéressantdeconsidérerladiérencedesdeuxtensionsd'entrée

(tensiondiérentielle) qui contientle message

U dm = U 11 − U 12

^(1.30)

etlatensioncommuneauxdeux entréesquipeut représenter lebruitouune tension

de décalage

U cm = U 11 + U 12

2

^(1.31)

Ce changement de variables (où l'on a utilisé la valeurs ecace des tensions plutôt

que leur valeur instantanée) permet de décrire les tensions d'entrée physiques à

l'aidedes tensionsdescriptives que sont

U dm

^et

U cm

^{(gure 1.7) :}

U 11 = U cm + U dm

2 , U 12 = U cm − U dm

2

Latension de sortie s'écrit alors

U 2 = A u1 U + − A u2 U ⁻

U 2 = A u1 U 11 − A u2 U 12 + (A u1 − A u2 ) B U 2 = A u1

U cm + U dm

2

− A u2

U cm − U dm

2

+ (A u1 − A u2 ) B U 2 = (A u1 + A u2 )

2 U dm + (A u1 − A u2 ) (U cm + B )

Onconstate ainsi quelatensiondiérentielleest ampliéepar lamoyenne des deux

gainsetquelemodecommun,aumêmetitrequelebruit,estatténuéparladiérence

des deux gains. Ce qui revient à dire que les tensions diérentielle et commune ne

sont pas ampliées de la même manière et que latension de sortie peut alors être

décriteà l'aide des gains diérentiel

A dm

^{et commun}

A cm

U 2 = A dm U dm + A cm (U cm + B)

^(1.32)

où

A dm = (A U1 + A U2 )

2 , A cm = A U1 − A U2

^(1.33)

Dansle cas idéal, ona

A U2 = A U1

^{, ce qui donne}

A dm = (A U 1 + A U 2 )

2 = A U 1 , A cm = 0

^(1.34)

Ainsi, un amplicateur diérentiel idéal permet d'amplier le message tout en éli-

minant complètementle bruit.

Lacapacité d'un amplicateurréel à amplierla tensiondiérentielle etd'atténuer

la tension commune se mesure à l'aide du Taux de Réjection du Mode Commun

(TRMC)déni comme suit

T RMC = ρ ≡

A dm

A cm

(1.35)

Celui-ciest souvent donné en décibels.

Exemple An de rendre les choses plus concrètes, considérons un amplicateur

diérentielà transconductance (gure 1.8) dont lesparamètres sont

R in = 1

^M

Ω, R out = 10

^k

Ω g m 1 = 10

"

mA

V

#

, g m 2 = 10.01

"

mA

V

#

Lesgains en tensionvalent alors

A U1 ≡ + ∆U 2

∆U 11

U ₁₂ =0

= +g m1 R out = 100.0

"

V

V

#

U _dm

U ₁₁

U ₁₂

R _in

g _m1 U ₁₁ g _m2 U ₁₂

R _out U ₂

Fig. 1.8: Modèle d'un amplicateurdiérentiel àtransconductance

A U2 ≡ − ∆U 2

∆U 12

U ₁₁ =0

= +g m2 R out = 100.1

"

V

V

#

Ce qui donne

A dm = (A U1 + A U2 )

2 = 100.05

"

V

V

#

A cm = A U 1 − A U 2 = −0.1

"

V

V

#

ρ ≡

A dm

A cm

'

100

−0.1

= 1000 = 60

^dB

Sil'on considère les tensionsd'entrée suivantes

U 11 = 4.6

^V

, U 12 = 4.5

^V

ona

U dm = +0.1

^V

, U cm = 4.55

^V

Latension de sortie vaudra donc

U 2 = A dm U dm + A cm U cm

= 100.05 · 0.1 + (−0.1) · 4.55

= 10.005 [

^V

dm ] − 0.455 [

^V

cm ] ' 9.55

^V

Sachantquethéoriquementelledevraitvaloirexactement10volts,onvoitainsique,

malgréun TRMCde 60dB,latensionde sortieest entachée d'uneerreurdeplus de

4% à cause du mode commun élevé (4.55 V) par rapport au mode diérentiel (0.1

V).

1.5 Modélisation des quadripôles linéaires

1.5.1 Généralités

Un quadripôle, comme son nom l'indique, est un circuit possédant deux bornes

d'entrée et deux bornes de sortie; ce qui conduit à quatre le nombre de grandeurs

d'entrée

U 1 , I 1

^{et de sortie}

U 2 , I 2

^{que l'on doit considérer (gure 1.9). Le but de la}

représentation des quadripôles est de décrire deux d'entre elles alors que les deux

autres sont connues. On peut ainsi obtenir six représentations diérentes d'un seul

et même quadripôle. Parmi celles-ci, quatre sont intéressantes d'un point de vue

pratique.

U ₁ I ₁

U ₂ I ₂

( ^Q )

Fig. 1.9: Schéma générald'un quadripôle

Comme ces quadripôles sont admis linéaires,on a, pour chaque représentation, un

ensemblede deux équationsàdeux inconnues quel'on représente sous formematri-

cielle:

1. lareprésentation impédance oùl'on décrit lestensionspar rapportauxcou-

rants

U 1 = z 11 I 1 + z 12 I 2

U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2

⇔ U 1

U 2

!

= z 11 z 12

z 21 z 22

! I 1

I 2

!

(1.36)

2. la représentation admittance où l'on décrit les courants par rapport aux

tensions

I 1 = y 11 U 1 + y 12 U 2

I 2 = y 21 U 1 + y 22 U 2

⇔ I 1

I 2

!

= y 11 y 12

y 21 y 22

! U 1

U 2

!

(1.37)

3. la représentation hybride où l'on décrit la tension d'entrée et le courant de

sortiepar rapportau courant d'entrée et à latension de sortie

U 1 = h 11 I 1 + h 12 U 2

I 2 = h 21 I 1 + h 22 U 2

⇔ U 1

I 2

!

= h 11 h 12

h 21 h 22

! I 1

U 2

!

(1.38)

4. lareprésentationtransmission oùl'on décritlatensionetlecourantd'entrée

par rapport à ceux de sortie; on notera que, dans ce cas et pour des raisons

pratiques,onchoisit de considérer le courant

I 2

^{sortantdu quadripôle}

U 1 = AU 2 + B (−I 2 )

I 1 = CU 2 + D (−I 2 ) ⇔ U 1

I 1

!

= A B

C D

! U 2

−I 2

!

(1.39)

À chacune de ces représentations est associé un circuit type que l'on présente ci-

dessous.

R ₁ R ₂

R ₃

(a)

Y _C

Y _A

(b)

Y _B U ₁

I ₁

U ₂ I ₂

U ₁ I ₁

U ₂ I ₂

Fig.1.10: Circuits en Tet en

Π

1.5.2 Paramètres impédances et admittances

Lagure1.10 présentelescircuitsen T (étoile)eten

Π

(triangle). On peut calculer lesmatricescorrespondantà chacun de ces deux quadripôles à partirdes équations

du circuit oude la dénition des paramètres.

Pour le circuiten T, considérons ses équations

U 1 = R 1 I 1 + R 3 (I 1 + I 2 ) = (R 1 + R 3 ) I 1 + R 3 I 2

U 2 = R 2 I 2 + R 3 (I 1 + I 2 ) = R 3 I 1 + (R 2 + R 3 ) I 2

etcomparons-lesavec leséquations de la description en

z U 1 = z 11 I 1 + z 12 I 2

U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2

On voit immédiatementque lamatrice

(z ij )

^{d'un circuit en T s'écrit}

(z ij ) = z 11 z 12

z 21 z 22

!

= R 1 + R 3 R 3

R 3 R 2 + R 3

!

(1.40)

Onpeutégalementpartirdeladénitiondesparamètrespourobtenirladescription

d'uncircuit. Dansle cas du circuit en

Π

^{, leséquationsde la} descriptionen

y

^valent

I 1 = y 11 U 1 + y 12 U 2

I 2 = y 21 U 1 + y 22 U 2

Enappliquantles dénitionsdes paramètres

y ij

^{au circuiten}

Π

^{, onobtient directe-}

ment

y 11 ≡ I 1

U 1

U ₂ =0

= Y A + Y C , y 12 ≡ I 1

U 2

U ₁ =0

= −Y C

y 21 ≡ I 2

U 1

U ₂ =0

= −Y C , y 22 ≡ I 2

U 2

U ₁ =0

= Y B + Y C

Ce qui donnela matrice

(y ij ) = y 11 y 12

y 21 y 22

!

= Y A + Y C −Y C

−Y C Y B + Y C

!

(1.41)

Relation entre

z ij

^et

y ij

^{Commede manièregénérale, on a}

(U 1 , 2 ) = (z ij ) (I 1 , 2 )

^et

(I 1 , 2 ) = (y ij ) (U 1 , 2 )

onen déduit que lesmatrices

(z ij )

^et

(y ij )

^{sont reliées entre elles par l'équation}

U 1

U 2

!

= (z ij ) I 1

I 2

!

= (z ij ) (y ij ) U 1

U 2

!!

= ((z ij ) (y ij )) U 1

U 2

!

(1.42)

Ce qui impose lefait que

(z ij ) (y ij ) = 1 0 0 1

!

Onvoitainsi quelesreprésentations

(z ij )

^et

(y ij )

^{sont simplementl'inversel'une de}

l'autre

(y ij ) ⁻¹ = (z ij )

^(1.43)

Exemple L'applicationdecesdeuxreprésentationspermetlatransformationétoile-

triangleouson inverse. Eneet, sachant que l'inverse d'unematrice 2x2,vaut

a b c d

! −1

= 1

a d − b c

d −b

−c a

!

(1.44)

onobtient, par exemple, latransformation du circuit triangleen un circuitétoile :

Y A + Y C −Y C

−Y C Y B + Y C

! ⁻¹

= 1

(Y A + Y C ) (Y B + Y C ) − Y C Y C

Y B + Y C +Y C

+Y C Y A + Y C

!

= 1

Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C

Y B + Y C +Y C

+Y C Y A + Y C

!

= R 1 + R 3 R 3

R 3 R 2 + R 3

!

Onen déduitalorsquelecircuitétoileéquivalent aucircuittriangledoitêtreréalisé

avec les résistances suivantes

R 3 = Y C

Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C

R 1 = Y B

Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C

R 2 = Y A

Y A Y B + Y A Y C + Y B Y C

1.5.3 Paramètres hybrides

Lepremierschéma de lagure 1.11 présente lecircuitcorrespondantauquadripôle

àparamètres hybrides tels que

U 1 = h 11 I 1 + h 12 U 2

I 2 = h 21 I 1 + h 22 U 2

(1.45)

avec

h 11 ≡ ^U _I ¹

1

_U

2 =0 ≡ h ie

^{= impédance d'entrée du quadripôleà sortie} court-circuitée

h 12 ≡ ^U _U ¹

2

_I

1 =0 ≡ h re

^{= gain inverse en tension àentrée ouverte}

h 21 ≡ ^I _I ²

1

_U

2 =0 ≡ h f e

^{= gain direct en courant à sortie}court-circuitée

h 22 ≡ _U ^{I 2}

2

_I

1 =0 ≡ h oe

^{= admittancede sortie àentrée ouverte}

On notera que dans cette énumération, on a utilisé les nomenclatures européenne

(indicesnumériques) etanglo-saxonne (indicesalphabétiques).

U ₁

I ₁ I ₂

U ₂ h ₁₁

h ₁₂ U ₂

h ₂₁ I ₁

h ₂₂

u _be

i _b i _c

u _ce r _be

βi _b

r _ce

Fig. 1.11: Quadripôleà paramètres hybrides et modèle linéairedu transistor

La comparaisonentre les deux circuits de lagure 1.11 montre queles paramètres

hybridescorrespondentaumodèle linéairedes transistors(voirlechapitrey relatif)

où

h ie = r be

^=résistance base-émetteur du transistor

h re ' 0

^{= gain inverse en tensiondu transistor}

h f e = β

^{=gain en courantdu transistor}

h oe = g ce = 1/r ce

^{= admittance} collecteur-émetteur du transistor

1.5.4 Paramètres de transmission

Considérant la mise en cascade de plusieurs quadripôles (gure 1.12), on voit que

la tension et le courant de sortie de l'un sont la tension et le courant d'entrée du

suivant.On a donc de manièregénérale

U 1

I 1

!

= (T 1 ) U 2

−I 2

!

= (T 1 ) (T 2 ) U 3

−I 3

!

= (T 1 ) (T 2 ) (T 3 ) U 4

−I 4

!

= ···

^(1.46)

En dénissant la matrice de transmission de manière à ce que le vecteur d'entrée

soitdécrit par levecteur de sortie

U 1 = AU 2 + B (−I 2 )

I 1 = CU 2 + D (−I 2 )

^(1.47)

onobtient lamatrice de transmission d'un quadripôle

(T ) = A B C D

!

(1.48)

L'intérêt des paramètres de transmission réside dans le fait que lamise en cascade

de quadripôles se calculeaisémentet quele terme

A

^{d'une matricede} transmission est l'inverse de la fonction de transfert liant l'entrée à la sortie du quadripôle. En

eet, étant donnéla dénition du quadripôle (équation1.47), on voit que l'on a de

manièregénérale

A ≡ U 1

U 2

I ₂ =0

= U in

U out

I out =0

≡ 1

H(jω)

^(1.49)

U ₁ I ₁

U ₂ -I ₂

(T ₁ )

-I ₃

(T ₂ ) _{U 3} (T ₃ ) U ₄

-I ₄

Fig. 1.12: Mise en cascade de quadripôles

Considérant que le circuit en

1

2

^{T de la gure 1.13 est un circuit générique pour la}

mise en cascade, on montre qu'ilest représenté par la matrice

(T ) = 1 + ZY Z

Y 1

!

(1.50)

Z

U ₁ Y I ₁

U ₂ -I ₂

Fig.1.13: Circuit génériquepour lamise en cascade de quadripôles

Exemple On souhaite calculer la réponse fréquentielle correspondant à la mise

en cascade de deux circuits RC (gure 1.14). Il est important de noter que dans

ce cas on ne peut pas calculer la réponse fréquentielle de l'ensemble en eectuant

simplement le produit des deux fonctions de transfert car le courant de sortie du

premier circuit

I 2

^{n'est pas nul; on doit donc utiliser le produit des matrices de}

transmissionpour obtenirla fonction de transfert globaledu circuit.

Considérant que lacellule RC est caractérisée par

Z = R

^et

Y = jωC

^{, onvoit que}

lamatricecorrespondantevaut

1 + ZY Z

Y 1

!

= 1 + jωRC R jωC 1

!

(1.51)

R

C

R

C

I ₁ -I ₂ -I ₃ =0

U ₁ U ₂ U ₃

Fig.1.14: Filtre passe-bas d'ordre 2

Lamatrice globalevaut donc

(T ) = (T 1 ) (T 2 ) = 1 + jωRC R jωC 1

! 1 + jωRC R jωC 1

!

≡ A B C ⁰ D

!

avec

A = (1 + jωRC) ² + jωRC = 1 + 3 jωRC + (jωRC) ² B = (1 + jωRC) R + R

C ⁰ = jωC (1 + jωRC ) + jωC D = jωC R + 1

Onen déduitdoncquelaréponsefréquentielle d'unltrepasse-bas d'ordre2réalisé

par lamise en cascade de deux cellules RC vaut

H(jω) ≡ 1

A = 1

1 + 3 jωRC + (jωRC) ²

^(1.52)

Encomparantle dénominateur de

H(jω)

^{avec sa formecanonique}

D(jω) = 1 + 1

Q 0

jω ω 0

+

jω ω 0

²

(1.53)

onvoitque ce ltre est caracérisé par sapulsationcaractéristique et son facteur de

qualité quivalent respectivement

ω 0 = 1

RC , Q 0 = 1 3

1.6 Réponses indicielles et fréquentielles des

circuits d'ordre 1

L'analyse fréquentielle et temporelle des circuits linéaires d'ordre 1 ayant été trai-

tée dans le cours de Théorie des circuits linéaires, on se contente ici d'en rappeler

l'essentiel.

1.6.1 Réponses indicielles

Les réponses indicielles (consécutives à l'application d'un saut de tension) des sys-

tèmes d'ordre 1 sont entièrement déterminées par le temps caractéristique

τ

^{et les}

valeurs initiale et nale, respectivement,

u 0 ≡ u(t → 0 + )

^et

u ^∞ ≡ u(t → ∞)

^{. On}

obtient alors

u(t) = u 0 + (u ^∞ − u 0 )

1 − exp

−t τ

⇔ t = τ ln u ∞ − u 0

u ^∞ − u(t)

!

(1.54)

Ainsi,pour tracer une réponse indicielle,il sut de connaître les valeurs initiale et

naleainsi que le tempscaractéristique (voir gure 1.15).

1.6.2 Réponses fréquentielles

Dansun diagrammede Bode, laconnaissancedes deux valeursasymptotiques sut

pouresquisser l'alluredes réponsesfréquentielles dessystèmes d'ordre1(voir gure

1.15)car lediagramme est entièrement déterminé par

H dB (0), H dB (∞),

^{pentes :0 ou}

± 20

^{[dB/déc] (1.55)}

u(t)

t

3τ 5τ

τ

si t = τ: e ^-1 = 0.37 t = 3τ: e ^-3 = 0.05 t = 5τ: e ^-5 = 0.00 u( ∞ )

u(0)

H _dB

ω

H(0)

H( ∞ ⁾

Fig. 1.15: Réponses indicielleet fréquentielle d'un circuitd'ordre 1

1.7 Analyse de quelques circuits

Comme on va le voir dans les exemples ci-après, l'évaluation du comportement

asymptotique des circuits linéaires est très simple dès l'instant où on sait que les

capacités etinductancespeuventêtre remplacées par des circuits ouverts oufermés

selon lavaleur asymptotique recherchée.

u1(t) u2(t)

u1(t) u2(t)

R1

R1 C

C

u1(t) u2(t)

R1

C

u1(t) u2(t)

R1

C R2

R2

u1(t) R2 u2(t)

R1 C

u1(t) R2 u2(t)

R1 C

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

u(t) U(jω)

t

t 0+ ω

ω ⁰

0

0

0

0

0 0

1.7.1 Réponses indicielles

u 2 (t) t u 2 (t) t u 2 (t) t

u 2 (0+) u 2 ( ∞ ) τ 1 2 3

.

u 2 (t) t u 2 (t) t u 2 (t) t

u 2 (0+) u 2 ( ∞ ) τ 4 5 6

1.7.2 Réponses fréquentielles

H dB ω

H(0) H( ∞ ) H(j ω ) 1 2 3

H dB ω H dB ω

.

H dB ω

H(0) H( ∞ ) H(j ω ) 4 5 6

H dB ω H dB ω

1.8 Exercices

CL1 : On considèrelestroisgénérateursde tensiondu premiercircuitde lagure

1.16 caractériséspar

U 1 = +12 V, R 1 = 1

^k

Ω U 2 = +6 V, R 2 = 2

^k

Ω U 3 = −6 V, R 3 = 3

^k

Ω

Calculez latension

U co

^{etle courant}

I cc

^{mesurés entre}

A

^et

B

^{. Quels sont lesgéné-}

rateurséquivalentsdeThévenin etNorton? Onbranche entre

A

^et

B

^{unerésistance}

de charge

R L = 4

^k

Ω

^{; calculez la puissance qu'elle dissipe. Si onsouhaitait obtenir}

lemaximum de puissance sur la charge,quelle valeur donneriez-vous à

R L

^?

Rép :

U thv = 7.09

^V

, I nrt = 13

^mA,

R thv = R nrt = 0.545

^k

Ω, P L = 9.73

^mW

R ₁

R ₂ R _L

+V _CC

- V _CC R ₁

U ₁

R ₂

U ₂

R ₃

U ₃ A

B

Fig. 1.16: Exercices CL1 et CL2

CL 2 : Considérantle deuxièmecircuitde la gure1.16, calculezlatension sur la

charge sachant que l'on a

V CC = 15

^V

, R 1 = 10

^k

Ω, R 2 = 20

^k

Ω, R L = 10

^k

Ω

Rép :

U L = +3

^V

CL3 : Latensiondesortied'un générateurbaissede20% lorsqu'onlechargeavec

une résistance de 1 k

Ω

^{. Quelleest sarésistance interne?}

Rép :

R g = 250 Ω

CL 4 : Montrez que la puissance

P L

^{fournie à une charge}

R L

^{par un générateur}

{U g ; R g }

^vaut

P L = (U g ) ² R L

(R g + R L ) ²

etqu'elle est maximumlorsque

R L = R g

^.

Amp1 : Unamplicateuràtrèshauteimpédanced'entréebranché surunesource

ACfournitensortieunetensionsinusoïdaled'amplitude6Vàunecharge

R L = 1

^k

Ω

^.

Sachant que l'amplicateur est alimenté par

V CC = +15

^{V et qu'il consomme un}

courant de 8 mA, calculez la puissance dissipée par l'amplicateur ainsi que son

rendement.

Remarque : Le problème est facile à résoudre si vous commencez par dessiner les

uxdes puissances reçueset fournies par l'amplicateur.

Rép :

P diss = 102

^mW

, η = 0.15

Amp 2 : Un capteur modélisé par

U g = 1

^mV

ef f , R g = 1

^M

Ω

^{est relié à un ampli-}

cateur dontles paramètres sont

R in = 2

^M

Ω, A uo = 10 ³

^V/V

, R out = 2 Ω

Sachantquelarésistancedechargevaut

R L = 10 Ω

^{,calculezlestensionsetcourants}

d'entrée et de sortie ainsi que les gains en tension, en courant et en puissance.

Exprimezces valeurs en dB.

Rép :

A u,dB = 58.4

^dB

, A i,dB = 164.4

^dB

, A p,dB = 111.4

^dB

Amp3: Unesourcedecourantde

1 µ

^{Aetderésistanceinternede100k}

Ω

^estsuivie

d'un amplicateur dont la résistance d'entrée vaut

R in = 10

^k

Ω

^{. Cet} amplicateur fournit alors une tension à vide de 10 V et un courant de court-circuit de 10 mA.

Sachant que

R L = 4

^k

Ω

^{,calculez lesgains}

A u

^,

A i

^et

A p

^.

Rép. :

A u = 880, A i = 2200, A p = 1.94 · 10 ⁶

Amp 4 : Un amplicateurà transconductance caractérisé par

R in = 2

^k

Ω, G mo = 20

^mA/V

, R out = 1

^k

Ω

est relié à une sourcede tension

U g = 20

^mV

, R g = 500 Ω

^.

Sachant que la résistance de charge vaut

R L = 5

^k

Ω

^{, calculez les gains en tension,}

en courant eten puissance. Admettant que l'onpuisse varierla valeur de lacharge,

pour quelle valeur de celle-ci aurez-vous le maximum de puissance en sortie? Que

vaudront alors lesgains en tension, en courantet en puissance?

Rép :

A u = 16.67, A i = 6.67, A p = 111.1, A u = 10, A i = 20, A p = 200

Amp5: Considérantlesamplicateursde tensionetàtransconductance, dessinez

leur schéma etdonnez leséquivalences paramétriques.

Amp 6 : On considère deux amplicateursmisen cascade et caractériséspar

A 1 : R in = 1

^M

Ω, A uo = 20

^V/V

, R out = 500 Ω A 2 : R in = 1.5

^k

Ω G mo = 0.02

^A/V

, R out = 100 Ω

Lesvaleurs de

A uo

^et

G mo

^vous paraissent-elles raisonnables? Calculez les gains en tension et en courant

A u , A i

^lorsque

R L = 100 Ω

^{. Comment} expliquez-vous un tel gain en courant?

Rép :

A u = 15

^[V/V]

, A i = 150 ⁰ 000 [

^A/A

]

Amp7 : Reprenant lesamplicateursde l'exerciceprécédent, quelest l'amplica-

teur de tension équivalentà la mise en cascade de

A 1

^et

A 2

^{? Idempour la mise en}

cascadede

A 2

^et

A 1

^{?Laquelledesdeuxsituationsvous}paraît-ellepréférablelorsque

R g = 1

^k

Ω

^et

R L = 100 Ω

^?

Rép :

1) R in = 1

^M

Ω, A uo = 30 [

^V/V

], R out = 100 Ω 2) R in = 1.5

^k

Ω, A uo = 40 [

^V/V

], R out = 500 Ω

Amp 8 : Deux amplicateurscaractérisés par

A 1 : R in = 1

^k

Ω, R out = 50 Ω A uo = 3

^[V/V]

A 2 : R in = 10

^k

Ω, R out = 2

^k

Ω A uo = 10

^[V/V]

sontutiliséspouramplierlesignalfourniparungénérateur

{U g = 10

^mV

, R g = 2

^k

Ω}

avant de l'appliquerà une charge

R L = 100 Ω

^.

1. Dans quel ordre placez-vous les amplicateurs pour obtenir le maximum de

tensionen sortie?

2. Dessinez leschéma de l'ensemblesource-amplicateurs-charge.

3. Calculez lesgains

A uo , A io

^de l'amplicateuréquivalent.

4. Calculez latension de sortie etle gain en puissance.

Rép. :

U L = 55.5

^mV

, A P = 4444

^[W/W]

Amp 9 : Considérant l'amplicateurdiérentielde la gure 1.17 caractérisépar

R in = 10

^k

Ω A uo 1 = −A uo 2 = +10

^[V/V]

R 1 = 100 Ω, R 2 = 99 Ω

avec

U 11 = 3.0

^V,

U 12 = 3.2

^{V :}

1. Calculez littéralement latension de sortie; écrivez-la sous la forme

U 2 = A u 1 U 11 + A u 2 U 12

Tirez-en lesgains

A u1

^et

A u2

^{.Que valent-ils?}

2. Calculez latension etla résistance de sortie.

3. Quevalent lestensionsd'entrée en modes diérentieletcommun ainsique les

gainsen modes diérentieletcommun?

4. Calculez lestensions de sortie dues, respectivement, aux modes diérentiel et

commun. Quelle est l'erreurintroduitepar cet amplicateurimparfait?

5. Quevaut le tauxde réjection de l'amplicateur?

6. Quefaudrait-il fairepour quecet amplicateurdiérentielsoitparfait?

U _dm U ₁₁

U ₁₂

R _in

+A _uo1 U ₁₁ +A _uo2 U ₁₂ R ₂

U ₂ R ₁

Fig. 1.17: Exercice Amp9

Amp 10 : Dans l'exercice précédent, on a admis que les tensions d'entrée pro-

venaient d'un capteur parfait sans résistance interne. En réalité, le capteur fournit

les tensions à vide

U g 1 = 3.0

^{V et}

U g 2 = 3.2

^{V au travers des} résistances internes

R g1 = 1

^k

Ω

^et

R g2 = 1.2

^k

Ω

^.

1. Dessinezle circuitéquivalentauxdeux générateursd'entrée chargéspar l'am-

plicateurpuis calculezlestensions d'entrée de l'amplicateur

U 11

^et

U 12

^.

2. Quevalent les deux tensions de sortie

U 2 ,dm , U 2 ,cm

^?

3. Concluez.

Amp 11 : Pour les deux amplicateurs de la gure 1.18, calculez les résistances

d'entrée et de sortie ainsi que legain en tensiondénis par

R in ≡ u 1

i 1

i ₂ =0

R out ≡ u 2

i 2

u ₁ =0

A uo ≡ u 2

u 1

i ₂ =0

R ₁

R 2 R 3

i 1

u ₁ u 2

i 2 g m u 1 R ₁

R 2 R 3

i 1

u ₁ u 2

i 2 A i i 1

Fig.1.18: Exercice Amp 11

CP 1 : Pour chacune des réponses fréquentielles ci-après,tracezavec soin lesdia-

grammesde Bode d'amplitude etde phase.

H 1 (jω) = 1

1 + jω/10 ³ H 2 (jω) = jω/10 ² 1 + jω/10 ³ H 3 (jω) = 1 + jω/10 ²

1 + jω/10 ³ H 4 (jω) = 1 + jω/10 ³ 1 + jω/10 ² H 5 (jω) = 1 + jω/10 ²

jω/10 ² (1 + jω/10 ³ ) H 6 (jω) = 10 1 + jω/10 ²

jω/10 ³ (1 + jω/10 ³ )

CP 2 : Considérant que l'on applique à l'instant

t = 0

^{un saut de tension d'am-}

plitude10V àchacun des quatre circuitsde la gure 1.19, ondemande

1. Quevalent

u 2 (t = 0 + )

^et

u 2 (t → ∞)

^?

2. Quelleest la constante de temps de chaque circuit?

3. Esquissezavecsoinchaqueréponseindiciellesachantqueleséléments

R, C

^ont

lesvaleurssuivantes

C = 1µ

^F

, R 1 = 1

^k

Ω, R 2 = 2

^k

Ω, R 3 = 3

^k

Ω, R 4 = 4

^k

Ω

^.

Rép. :

Circuits 1 2 3 4

u 2 (0+) [

^V

]

^{5.45 4.44 0 7.5}

u 2 (∞) [

^V

]

^{0 5.71 5 0}

τ [

^ms

]

^{3.66 3.86 0.833 1.33}

u ₁ (t) R ₂ u ₂ (t)

C R ₃

(4)

R ₁

R ₃

u ₁ (t) R ₂ u ₂ (t)

(1) R ₁

R ₃ C

u ₁ (t) u ₂ (t)

R ₁

C (3)

R ₂

R ₃

u ₁ (t) u ₂ (t)

R ₁

C

(2)

R ₂

R ₄

Fig. 1.19: Circuitsd'ordre 1: Ex. CP2, CP5 et Qp4

CP3 : On appliqueun signal carréd'amplitude

±10 V

^{etde période}

T = 10

^msà

un ltred'ordre 1caractérisé par

R = 1

^k

Ω

^et

C = 1 µ

^{F. Esquissez avec soin sur un}

mêmediagramme lestensions

u 1 (t)

^et

u 2 (t)

^{du ltre passe-bas RC. Faites de même}

pour un ltre passe-haut CR.

CP 4 : Répétez l'exercice précédent en considérant un signal carré de période

T = 1 ms

^.

CP 5 : Considérant chacun des circuits de la gure 1.19 :

1. Quevalent

H(ω = 0)

^et

H(ω → ∞)

^si

R 1 = R 2 = 10

^k

Ω

^et

R 3 = R 4 = 1

^k

Ω

^?

2. Sur labase de ces réponses, esquissez

H dB

^.

3. Quelleest la fonction rempliepar chaque circuit?

4. Admettant

C = 100

^{nF,quevautlapulsation}caractéristiquedudénominateur de laréponse fréquentielle?

CP 6 : Une sonde de mesure (atténuation 1/10) associée à l'impédance d'entrée

d'un oscilloscopeconstitue lecircuit à lagure 1.20. On demande :

R ₁ R ₂

C ₁

u ₁ (t) C ₂ u ₂ (t)

A R ₂ = 1 M Ω

C ₂ = 47 pF

Sonde Oscilloscope

Fig. 1.20:Sonde d'oscilloscope: Ex. CP6

1. Quevalent

H(0)

^et

H(∞)

^?

2. Calculez

R 1

^{pour que la réponse} fréquentielle en continuvaille1/10.

3. Calculez

C 1

^{pour quela réponse} fréquentielle en THF vaille1/10.

4. Calculez lafonction de transfert

H(jω)

^{de l'ensembleet écrivez-la sous forme}

canonique.

5. Quedevient

H(jω)

^{silesconditions2et3sontremplies?Analysezce résultat.}

6. Esquissezle diagramme de Bode lorsque

i) C 1 = 25

^pF

, ii) C 1 = 100

^pF

Expliquez ce qui sepasse dans chacune de ces deux situations.

7. Calculez l'impédance vue par le circuit mesuré lorsque la sonde est correcte-

ment réglée.

8. Dessinez leschéma équivalent de cette impédance; quel est l'intérêt d'utiliser

une sonded'oscilloscope?

Qp 1 : Calculez la matriceimpédance du circuit (a)de la gure1.21 sachant que

R n = n

^k

Ω

^{. Calculez sa matrice admittance etles valeurs des} résistances

R A,B,C

^de

satransformation en un schéma triangle.

Rép.:

R A = ¹¹ ₂

^k

Ω, R B = ¹¹ ₁

^k

Ω, R C = ¹¹ ₃

^k

Ω

Qp 2 : Sachant que

R n = n

^k

Ω

^{, calculezlamatricede} transmissiondu circuit (b) de lagure 1.21 et montrez queson gain vaut 16/99.

R ₁ R ₂

R ₃

R ₁ R ₃

R ₂

R ₅

R ₄ R ₆

(a)

(b)

Fig. 1.21: Quadripôles résistifs : Ex.Qp1 etQp2

Qp 3 : Dessinez le schéma de la mise en cascade d'un circuit

R 1 C 1

(passe-bas) et d'un circuit

C 2 R 2

(passe-haut) puis calculez les matricesde transmission. Calculez la fonction de transfert du circuit dans le cas particulier où

R 1 = R 2 = R

^et

C 1 = C 2 = C

^.

Qp 4 : Pour chacun des circuitsde lagure 1.19, ondemande :

1. Quevalent

H(0)

^et

H(∞)

^?

2. Al'aidedesmatricesdetransfert,calculezlittéralementlaréponsefréquentielle

H(jω)

^{etécrivez-la sous formecanonique.}

3. Vériez que pour

ω = 0

^et

ω → ∞

^{vous retrouvez bien les valeurs calculées}

aupoint 1.

4. Quevalentles pulsations caractéristiques?

Qp 5 : Considérant lecircuit présenté àla gure 1.22,on demande :

1. Quevalent

H(0)

^et

H(∞)

^?

2. Esquissezle diagramme de Bode.

3. Àl'aide des matricesde transfert, calculezlittéralementl'atténuation

A(jω)

^.

4. Écrivez-la sous formecanonique.

5. Donnez

H(jω)

^{et vériez que pour}

ω = 0

^et

ω → ∞

^{vous retrouvez bien les}

valeurs calculées aupoint1.

6. Quevalent les pulsations caractéristiques?

7. Tenant comptedes valeurs numériques suivantes

R 1 = 10 kΩ R 2 = 0.1 kΩ R 3 = 20 kΩ R 4 = 30 kΩ L = 1 mH

tracezavec soin lediagramme de Bode.

U ₁ (jω)

R ₁

U ₂ (jω)

R ₂

R ₄ R ₃

L

Fig. 1.22: Exercice Qp5