2 Ca

(1)

Chapitre I

Géométrie plane/Plane geometry

Table des matières

1 Repérage dans leplan . . . 2

a ) Notion de repère . . . 2

b ) Coordonnées de points . . . 2

2 Calul sur lesoordonnées . . . 3

(2)

1 Repérage dans le plan

a ) Notion de repère

Définition 1 Repère

Soient O, I , J trois points distincts et non alignés du plan. Ces trois points définissent deux directions, les droites (OI) et (OJ ), et deux unités, les distances OI et OJ. Le triplet (O; I, J) constitue alors un repère cartésien du plan.

• le point O est appelé origine du repère ;

• la droite (OI ) est appelée axe des abscisses ;

• la droite (OJ ) est appelée axe des ordonnées.

Cartesian coordinate system

A artesianoordinatesystem ismadeofthree distintandnonollinearpoints,

(0, I, J)

^.

The point

0

^is^the ^origin,^the ^line

( OI )

^is ^the

x

^-axis ^and ^the ^line

( OJ )

^is^the

y

^-axis.

Définition 2 Repère orthogonal - Orthonormal

Si les droites (OI ) et (OJ) sont perpendiculaires, alors le repère est dit orthogonal.

Si les droites (OI) et (OJ ) sont perpendiculaires et si en plus OI=OJ , alors le repère est dit orthonormal.

Illustration

O

I

b

J ^b

O I

b

J ^b

O I

b

J ^b

Repère quelonque Repère orthogonal Repère orthonormé

(3)

b ) Coordonnées de points

On onsidère lagure suivante.

1 2

− 1

− 2

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

b O

b I

b J

b M

b N

b P

Définition 3 Coordonnée dun point

Le point M du plan est repéré par deux nombres qu’on appelle ses coordonnées.

Le nombre 4 est l’abscisse du point M. On le note souvent x M . Le nombre 2 est l’ordonnée du point M . On le note souvent y M . On note M(4 ; 2).

Coordinates

The oordinates

(x, y)

ôf â ^point âre ^made ôf â ôuple ôf ^numbers, ^the âbsissa ând

the ordinate.They deneuniquely the position of the point onthe plane.

Remarque : On érit toujoursl'absisse en premieretl'ordonnéeen seond. Sur lagure,

onpeut voirque lepointrepéré par lesoordonnées

( − 2, 1)

^, ^qui^est ^le^point

N

^,^n'est ^pas

le mêmeque le point repéré par lesoordonnées

(1, − 2)

^,^qui ^est ^le ^point

P

^.

2 Calul sur les oordonnées

Théorème 1 Points confondus

Dans le plan muni d’un repère quelconque (O; I, J), deux points M et N du plan de coordonnées respectives (x M ; y M ) et (x N ; y N ) sont confondus si et seulement si ils ont les même coordonnées.

Théorème 2 Coordonnées du milieu d’un segment

Dans le plan muni d’un repère quelconque (O; I, J), on considère les points M(x M ; y M ), et N (x N ; y N ) Le milieu I du segment [M N ] a pour coordonnées :

I

x M + x N

2 ; y M + y N

2

(4)

Midpoint

The oordinates of the midpoint of asegment

[AB ]

^are

x A + x B

2 , y A + y B

2 .

Exemple : Soit

R (5; 7)

^et

S (3; 9)

^. ^Les^oordonnées ^du ^point

I

^milieu^de

[ RS ]

^sont

I

x R + x S

2 ; y R + y S

2 I

5 + 3

2 ; 7 + 9 2

I (4; 8)

Remarque: Lemilieu dusegment

[M N]

^est^en ^quelque ^sorte^la^moyenne^des ^deux ^points.

Ses oordonnées sontles moyennes des oordonnées des extrémités du segment.

Théorème 3 Longueur d’un segment

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; I, J ), on considère les points M(x M ; y M ), et N (x N ; y N ) La longueur du segment [M N] est

M N = p

(x N − x M ) ² + (y N − y M ) ²

Preuve. On suppose pour simplier la dé-

monstration que

x N > x M > 0

^et

y N >

y M > 0

^. Considérons le point

C

^de ^oordon-

nées

(x M ; y N )

^.^Le ^repère^étant orthonormé, le triangle

M N C

êst âlors ^retangle ên

C

^, ^et

il est lair que les tés

[M C]

^et

[N C]

^véri-

ent

M C = x N − x M

^et

N C = y N − y M

^.

Or d'après la théorème de Pythagore, on sait

que

M N ² = M C ² + N C ²

^. ^On ^en ^déduit ^que

M N ² = (x N − x M ) ² + (y N − y M ) ²

^et ^don

M N = p

(x N − x M ) ² + (y N − y M ) ²

^.

b

I

b J

b

O

b M

b

N

b

C

Distance in a orthonormal coordinate system

The distane

AB

^is ^equal^to

p

( x B − x A ) ² + ( y B − y A ) ²

^.

Exemple : Dans un repère orthonormé, soient

R(5; 7)

^et

S(3; 9)

^.

La distane

RS

^est ^égale ^à^: