iie G i

(1)

Guillaume CONNAN

LyéeJeanPERRIN

Septembre2007

(2)

1

Qu'est-equ'unefontion

2

Pourquoiest-ilimportantdepréisersurquelensembleontravaille?

3

Approhephysiquedesdiérentesdénitions

Limitenieenunréel

Limiteinnieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

Théorèmesdeomparaison

Théorèmesdesgendarmes

Opérationssurleslimites

Limitesdefontionsomposées

5

Comportementasymptotique

Dénitiongénérale

Asymptotehorizontale

Asymptotevertiale

(3)

Dénition

une fontion assoie àTOUTélémentd'un ensemblededépartun

UNIQUE élément d'unensembled'arrivée

x

DÉPART ARRIVÉE

(4)

Dénition

x

DÉPART ARRIVÉE

(5)

Dénition

x

DÉPART ARRIVÉE

(6)

travaille?

Dénition

Soit f une fontiondénie sur unensembleD etx 0

unréel. Uneassertion

est vraie au voisinagede x

0

s'ilexiste unintervalleI ontenant x

0

tel que

l'assertion soit vraiepour tout x deI∩D

Dénition

Soit f une fontiondénie sur unensembleD.Une assertionest vraieau voisinagede +∞^s'ilêxiste ûn^réel â^tel ^quel'assertion soit vraiepour tous lesx de

[

^a,+∞

[

(7)

Dénition

0

tel que

Dénition

[

^a,+∞

[

(8)

travaille?

Dénition

0

tel que

Dénition

[

^a,+∞

[

(9)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(10)

Dénition ( Limite nie enun réel)

Soit I unintervallede R^, ^soit^f ^une ^fontion ^dénie^sur l'intervalle I vers

R^,^soit ℓûn ^réelêt ^soit âûn ^élémentôuûne êxtrémité^nie ^deÎ^.Ôn^dit

que f

(

^x

)

^tend^versℓ ^quand^x ^tend^versâ ^lorsque,^pour ^tout ε>^0,îlêxiste α>⁰ ^tel^que,^pour ^tout ^réel^x appartenantàI∩

[

^a₋α,^a+α

]

^,^on^a

f

(

^x

)

_∈

[

ℓ−ε,ℓ+ε

]

^, ^'est^à ^dire^si ^tout ^voisinage^de^a ^ontient^TOUTES ^les

valeurs def

(

^x

)

^prises^pour ^tous^les ^x ^prohes ^de^a

y

y=p(T)

p0

p₀−ε p0+ε

(11)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(12)

Dénition (Limite innie en unréel)

Soit a∈R^,êt ^soit ^f ûne^fontion ^dénie ^surûn întervalleÎ^.^Dire^qu'une

fontion f apour limite+∞ ^en^a ^signie^que ^tout^voisinage^de +∞

ontient TOUTES les valeursdef

(

^x

)

^prises ^dans ^tous^les ^voisinages^de^{a .}

d f

0 q

Gmm^′/A A

(13)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(14)

Dénition (Limite nie en l'inni)

Ondit que f

(

^x

)

^tend ^versℓ ^quand^x ^tend ^vers+∞ ^lorsque,^pour ^tout ^réel ε>^0,^tout ^intervalle

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^ontient ^toutes^les ^valeurs ^de^f

(

^x

)

^pour^x

assez grand

0 τ+ε τ−ε τ

seuil t

θ

(15)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(16)

Dénition (Limite innie en l'inni)

Ondit que f

(

^x

)

^tend ^vers_+∞ ^quand^x ^tend _+∞^lorsque,^pour ^tout ^réel^A

stritementpositif,l'intervalle

]

^A,+∞

[

^ontient ^toutes^les ^valeurs^de^f

(

^x

)

pour x assez grand

0 v

E_c

v0

E_seuil

(17)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(18)

Théorème

Si pourtout xÊ^m^on ^a^g

(

^x

)

_Ê^f

(

^x

)

^et^si ^lim

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^,^alors

lim

x→+∞

g

(

^x

)

_{= +∞}

0 x

y

m M

intersection éventuelle déjà au-dessus du seuil

y=f(x) y=g(x)

Seuil

(19)

Démonstration.

Onveut prouver que lim

x→+∞

g

(

^x

)

= +∞^,^don ônônsidère ûn ^réel^positif Â

quelonque.

Puisque lim

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^, îlêxisteûn ^réel^M ^tel ^que,^pour ^tout ^x_Ê^M^,ôn

a f

(

^x

)

_Ê^A

De plus,pourtout xÊ^m,^on^a ^g

(

^x

)

_Ê^f

(

^x

)

Don, sionappelle µ^le ^plus^grand^des^réels^m êt^M^,^pour ^tout^xÊµ^,ônâ

g

(

^x

)

_ÊÂ, ê ^qui êxprime ^que ^lim

x→+∞

g

(

^x

)

_{= +∞}^.

(20)

Démonstration.

x→+∞

g

(

^x

)

quelonque.

Puisque lim

x→+∞

f

(

^x

)

a f

(

^x

)

_Ê^A

(

^x

)

_Ê^f

(

^x

)

g

(

^x

)

x→+∞

g

(

^x

)

_{= +∞}^.

(21)

Démonstration.

x→+∞

g

(

^x

)

quelonque.

Puisque lim

x→+∞

f

(

^x

)

a f

(

^x

)

_Ê^A

(

^x

)

_Ê^f

(

^x

)

g

(

^x

)

x→+∞

g

(

^x

)

_{= +∞}^.

(22)

Démonstration.

x→+∞

g

(

^x

)

quelonque.

Puisque lim

x→+∞

f

(

^x

)

a f

(

^x

)

_Ê^A

(

^x

)

_Ê^f

(

^x

)

g

(

^x

)

x→+∞

g

(

^x

)

_{= +∞}^.

(23)

Démonstration.

x→+∞

g

(

^x

)

quelonque.

Puisque lim

x→+∞

f

(

^x

)

a f

(

^x

)

_Ê^A

(

^x

)

_Ê^f

(

^x

)

g

(

^x

)

x→+∞

g

(

^x

)

_{= +∞}^.

(24)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

(25)

Théorème (Théorème des gendarmes en l'inni)

Soientf,g eth des fontionset ℓ^et ^A^deux^réels.

Si lim

x→+∞

g

(

^x

)

₌ ^lim

x→+∞

h

(

^x

)

₌ℓ^et ^que ^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

^pour^tout ^x_Ê^A,

alors lim

x→+∞

f

(

^x

)

₌ℓ

0

y=h(x) ℓ+ε

y=g(x) ℓ−ε

y=f(x) ℓ

Ag Ah x

y

(26)

Démonstration.

Onxeun réelε>⁰^quelonque.

Comme lim

x→+∞

g

(

^x

)

₌ℓ^,îl êxisteûn ^réelÂ^g ^tel ^que,^pour^tout ^x>Â^g ônâ

g

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^g

(

^x

)

_<ℓ+ε

Comme lim

x→+∞

h

(

^x

)

₌ℓ^,îlêxiste ûn^réel Âh

tel que,pourtout x>Â^h ônâ

h

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

Soit M le plusgranddesréels A

g ,A

h

et A,alorsonona simultanément

pour tout x>^M

ℓ−ε<^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

e quitraduit que lim

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^.

y=h(x) ℓ+ε

y=g(x) ℓ−ε

y=f(x) ℓ

y

(27)

Comme lim

x→+∞

g

(

^x

)

g

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^g

(

^x

)

_<ℓ+ε

Comme lim

x→+∞

h

(

^x

)

h

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

g ,A

h

pour tout x>^M

ℓ−ε<^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^.

0

y=h(x) ℓ+ε

y=g(x) ℓ−ε

y=f(x) ℓ

Ag Ah x

y

(28)

Démonstration.

Comme lim

x→+∞

g

(

^x

)

g

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^g

(

^x

)

_<ℓ+ε

Comme lim

x→+∞

h

(

^x

)

h

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

g ,A

h

pour tout x>^M

ℓ−ε<^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^.

y=h(x) ℓ+ε

y=g(x) ℓ−ε

y=f(x) ℓ

y

(29)

Comme lim

x→+∞

g

(

^x

)

g

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^g

(

^x

)

_<ℓ+ε

Comme lim

x→+∞

h

(

^x

)

h

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

g ,A

h

pour tout x>^M

ℓ−ε<^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^.

0

y=h(x) ℓ+ε

y=g(x) ℓ−ε

y=f(x) ℓ

Ag Ah x

y

(30)

Démonstration.

Comme lim

x→+∞

g

(

^x

)

g

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^g

(

^x

)

_<ℓ+ε

Comme lim

x→+∞

h

(

^x

)

h

(

^x

)

_∈

]

ℓ−ε,ℓ+ε

[

^,^i.e. ℓ−ε<^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

g ,A

h

pour tout x>^M

ℓ−ε<^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

_<ℓ+ε

x→+∞

f

(

^x

)

_{= +∞}^.

y=h(x) ℓ+ε

y=g(x) ℓ−ε

y=f(x) ℓ

y

(31)

Théorème (Théorème des gendarmes)

Soientf,g eth des fontions,ℓ êt Â^deux^réels êt ωûn ^réelôu^l'inni.

Si lim

x→ω^g

(

^x

)

₌ ^lim

x→ω^h

(

^x

)

₌ℓ ^et ^que^g

(

^x

)

_É^f

(

^x

)

_É^h

(

^x

)

^pour ^tout ^x_Ê^A, ^alors

lim

x→ω

f

(

^x

)

₌ℓ

(32)

Exemple

Étudions lalimite def

:

^x_7→^sinx

x

en+∞^.

(33)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(34)

Elles suiventle modèle réelave unpeudelogique derrière saufdans

quatreas :

∞ − ∞

0× ∞

0

∞

(35)

quatreas :

∞ − ∞

0× ∞

0

∞

(36)

quatreas :

∞ − ∞

0× ∞

0

∞

(37)

quatreas :

∞ − ∞

0× ∞

0

∞

(38)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

(39)

Propriété

Soientω^,Ω êtℓ ^des^réels ôu^l'inniêt ^f êt ^g ^deux^fontions, âlors

lim

x→ω^f

(

^x

)

₌Ω

lim

T→Ω

g

(

^T

)

₌ℓ







=⇒^lim

x→ω

g◦^f

(

^x

)

₌ℓ

(40)

Exemple

Étudiez lalimiteen−∞ ^deϕ

:

^x_7→^p₋^3x₊¹

lim

x→−∞−^3x+¹=+∞

lim

T→+∞

p

T=+∞







paromposition

=⇒ ^lim

x→−∞ϕ

(

^x

)

₌_+∞

(41)

Exemple

:

^x_7→^p₋^3x₊¹

lim

x→−∞−^3x+¹=+∞

lim

T→+∞

p

T=+∞







paromposition

=⇒ ^lim

x→−∞ϕ

(

^x

)

₌_+∞

(42)

Exemple

:

^x_7→^p₋^3x₊¹

lim

x→−∞−^3x+¹=+∞

lim

T→+∞

p

T=+∞







paromposition

=⇒ ^lim

x→−∞ϕ

(

^x

)

₌_+∞

(43)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

(44)

Dénition

La ourbe d'équationy=^f

(

^x

)

^admet ^la^droite ^d'équation ^y₌^ax₊^b

omme asymptote au voisinagede+∞ ^si^et ^seulement^si

lim

x→+∞

[

^f

(

^x

)

−

(

^ax+^b

)]

=⁰

0

e(x) f(x)

ax+b

x

y=f(x)

y=ax+b

(45)

Sommaire

1

2

3

Limitenieenunréel

Limitenieenl'inni

Limiteinneenl'inni

4

Lesthéorèmes

5

Dénitiongénérale

Asymptotevertiale

Asymptoteoblique

Dominantsetdominés

6

Croyablemaisfaux!

iie G i

[

[

[

[

[

[

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

iie G i