F i i e G i

(1)

Guillaume CONNAN

LyéeJeanPERRIN

Septembre2007

(2)

1

Qu'est-e qu'unefontion ontinueen unpoint?

Dénition

Peut-on soignerdes fontionsdisontinuesenunpoint?

Ya-t-ildiérentstypesdedisontinuité?

2

Propriétés des fontionsontinuessur unintervalle

Quellessontles fontionsdont le grapheest untrait ontinu?

Unefontion ontinuepeut-elle hanger designesans s'annuler?

TVI

Commentmontrer quedeux ourbesse renontrent?

Comment montrerqu'uneéquation admet une uniquesolution?

Commentrésoudre une équationnumérique pardihotomie?

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(3)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(4)

Dénition

Soit aun réel, etsoit f une fontion déniesur unintervalleontenant a .

Ondit quef est ontinue en a lorsque f

(

^x

)

^tend ^vers^f

(

^a

)

^quand^x ^tend

versa .

(5)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(6)

f

2

: [

⁰

,

²

] → R ,

^x

7→



 

 

osx si x

∈ [

⁰

,

¹

]

os

(

^x

−

¹

)

^si ^x

∈ ]

¹

,

²

]

(7)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(8)

cos 1

x y

+1

(9)

O 1 1

x

y

(10)

O 1 1

x

y

(11)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(12)

O 1 1

x

y

(13)

cos 1

x y

+1

(14)

O 1 1

x

y

(15)

Dénition

Soit I unintervallede

R

êt ^f ûne^fontion ^deÎ ^vers

R

^.^On^dit^que ^f ^est

ontinuelorsque,pourtout a

∈

Î^,ônâ ^lim

x→^a

f

(

^x

) =

^f

(

^a

)

^,^e ^qui^revient^à^dire

que f est ontinueentout point deI.

(16)

x

7→

x

2

−

^3x

+

¹

x

−

²

O 1

1 x

y

(17)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(18)

O x y

f (b)

f (a)

b

a

(19)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(20)

f (b)

f (a)

a b

0 k

c x

y

(21)

Théorème

Théorèmedes valeursintermédiairesSoit f une fontionontinue d'un

intervalleI vers

R

^,êt ^soientâêt ^b ^deux^éléments ^deÎ ^tels ^queâ

<

^b.^Alors

pour tout réelk ompris entre f

(

^a

)

^et^f

(

^b

)

^,^il ^existe

∈ [

^a

,

^b

]

^tel ^que

f

(

) ⁼

^k.

(22)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(23)

0 Γ

T P

c

(24)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(25)

f (b)

f (a)

a b

0 k

c

1

c

2

c

3

x

y

(26)

Théorème

Théorèmede lasolutionunique Soitf unefontion ontinueet

stritement monotoned'un intervalleI vers

R

^,êt ^soientâ êt^b ^deux

éléments deI tels que a

<

^b.Âlors^pour ^tout ^réel^k ômpris êntre^f

(

^a

)

^et

f

(

^b

)

^, îlêxisteûn ûnique ^réel

^∈ [

^a

,

^b

]

^tel^que ^f

(

) ⁼

^k^.

(27)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(28)

f (b)

f (a)

a b

0 k-plus

c

m x

y

(29)

f (b)

f (a)

a b

0 k -moins

c m x

y

(30)

Sommaire

1

Dénition

2

TVI

Ave XCAS

3

A madtea party

4

Exeries divers

(31)

diho(f,p,a,b):={

loal aa,bb,k;

aa:=a;

bb:=b;

k:=0; // on rée un ompteur d'itérations

while( (bb-aa)>p) {

if (sign((f((bb+aa)/2)))=sign((f( bb)) ) ) bb:=((aa+bb)/2);

else aa:=((aa+bb)/2);

k:=k+1; // on rajoute 1 au ompteur

}

return evalf((bb+aa)/2)+"est la solution trouvée après "+k+" itérations";

}:;

(32)

Digits:=30:;diho(x->x^2-2,10^(-30),1,2)

(33)

1.414213562373095048801688724209 est la solution trouvée

après 100 itérations

(34)

A mad tea party

(35)

Pourtant,e n'est pasompliqué àomprendre, envoiiune

démonstration desplus élémentaires

Onsaitque pourtout entier n on asuessivement

(

ⁿ

+

¹

)

²

=

ⁿ²

+

²ⁿ

+

¹

(

ⁿ

+

¹

)

²

−

²ⁿ

−

¹

=

ⁿ²

Retranhons n

(

²ⁿ

⁺

¹

)

^des^deux^tés

(

ⁿ

+

¹

)

²

− (

ⁿ

+

¹

)(

²ⁿ

+

¹

) =

ⁿ²

−

ⁿ

(

²ⁿ

+

¹

)

Mézalor, enajoutant

(

²ⁿ

+

¹

)

²

/

^4, ^on^obtient

(

ⁿ

⁺

¹

)

²

⁻ (

ⁿ

⁺

¹

)(

²ⁿ

⁺

¹

) ⁺ (

²ⁿ

+

¹

)

²

4

=

ⁿ²

−

ⁿ

(

²ⁿ

⁺

¹

) ⁺ (

²ⁿ

+

¹

)

²

4

Soit

µ

(

ⁿ

+

¹

) −

2n

+

¹

2

¶

2

= µ

n

−

2n

+

¹

2

¶

2

En passantà laraine arrée, onobtient

(

ⁿ

⁺

¹

) ⁻

²ⁿ

⁺

¹

2

=

ⁿ

−

²ⁿ

+

¹

2

d'où

(LyéeJeanPERRIN) 35/50

(36)

Pare que hezvous, 3'est moinsque 1?s'indignaAlie.

Onsedemandee qu'on vous apprendàl'éole! Biensûr que oui!

Tenez,onsidérez

f

(

^x

) =

x 2

+

³²

2x

2

+

¹

+ |

^x

| +

¹

2x

+

⁵¹

Eh bienil estfaile devoir que ette fontiona pourlimite 0en

moinsl'inni et1 enplus l'inni.

Jene dispasleontraire, protesta Alie.

Donl'imageparf de

R

^est l'intervalle

]

⁰

,

¹

[

^,^or^f

(

⁰

) =

^3, ^don³

appartient à

]

⁰

,

¹

[

^àê ^titre^:ônâ ^bien³ ^plus^petit ^que^1.

C'est delafolie pure, pensaAlie...

(37)

Tenez,onsidérez

f

(

^x

) =

x 2

+

³²

2x

2

+

¹

+ |

^x

| +

¹

2x

+

⁵¹

Donl'imageparf de

R

^est l'intervalle

]

⁰

,

¹

[

^,^or^f

(

⁰

) =

^3, ^don³

appartient à

]

⁰

,

¹

[

(38)

Tenez,onsidérez

f

(

^x

) =

x 2

+

³²

2x

2

+

¹

+ |

^x

| +

¹

2x

+

⁵¹

Donl'imageparf de

R

^est l'intervalle

]

⁰

,

¹

[

^,^or^f

(

⁰

) =

^3, ^don³

appartient à

]

⁰

,

¹

[

(39)

Tenez,onsidérez

f

(

^x

) =

x 2

+

³²

2x

2

+

¹

+ |

^x

| +

¹

2x

+

⁵¹

Donl'imageparf de

R

^est l'intervalle

]

⁰

,

¹

[

^,^or^f

(

⁰

) =

^3, ^don³

appartient à

]

⁰

,

¹

[

(40)

Tenez,onsidérez

f

(

^x

) =

x 2

+

³²

2x

2

+

¹

+ |

^x

| +

¹

2x

+

⁵¹

Donl'imageparf de

R

^est l'intervalle

]

⁰

,

¹

[

^,^or^f

(

⁰

) =

^3, ^don³

appartient à

]

⁰

,

¹

[

(41)

Problème

Unhatdu Cheshireparourt10 kmen 2heures. montrez qu'ilexiste un

intervallede tempsdedurée 1heure pendantlequel ila parouru

exatement 5km.

Introduisezla fontionqui àtassoiele nombre dekmparourus ent

heures puis lafontiont

7→

^d

(

^t

+

¹

) −

^d

(

^t

)

(42)

Problème

exatement 5km.

7→

^d

(

^t

+

¹

) −

^d

(

^t

)

(43)

Problème

exatement 5km.

7→

^d

(

^t

+

¹

) −

^d

(

^t

)

(44)

Problème

Montrezque tout polynme dedegréimpair possèdeaumoins uneraine

réelle.

Il faut onsidérer lafontion polynomialeassoiéeet herher unthéorème

dans leours quivous permettedeonlure.

(45)

Problème

réelle.

(46)

Problème

réelle.

(47)

Problème

Étudiez etreprésentez graphiquementla fontionf déniesur

R

^∗ ^par

f

:

^x

7→

E

(

^x

)

x

(48)

Problème

Soit F lafontion déniesur

R

^par^F

:

^x

7→

^x

−

^E

(

^x

)

^On ^rappelle^que

E

(

^x

)

êst ^l'unique êntier ^vériant Ê

(

^x

) ^É

^x

^<

^E

(

^x

) ⁺

^1.

Montrezque E

(

^x

+

¹

) =

^E

(

^x

) +

¹ ^puis ^que^F ^est périodique. et représentez sommairementF sur ungraphique.

(49)

Problème

R

^par^F

:

^x

7→

^x

−

^E

(

^x

)

^On ^rappelle^que

E

(

^x

)

(

^x

) ^É

^x

^<

^E

(

^x

) ⁺

^1.

Montrezque E

(

^x

+

¹

) =

^E

(

^x

) +

(50)

Problème

R

^par^F

:

^x

7→

^x

−

^E

(

^x

)

^On ^rappelle^que

E

(

^x

)

(

^x

) ^É

^x

^<

^E

(

^x

) ⁺

^1.

Montrezque E

(

^x

+

¹

) =

^E

(

^x

) +

(51)

Problème

Soit f une fontionontinue sur

[

⁰

,

¹

]

^et ^à^valeurs ^dans

[

⁰

,

¹

]

^.

Montrezqu'il existe unréel x

0

∈ [

⁰

,

¹

]

^vériant ^f

(

^x⁰

) ⁼

^x⁰^.^Illustrez ^votre

propos àl'aided'un shéma.

(52)

Problème

Soit x

∈ R

^.^Étudiez ^lim

x→+∞

E

( −

^3nx

)

−

²ⁿ

Commenez par enadrer

(

E

−

)

3nx

(53)

Problème

Soit x

∈ R

^.^Étudiez ^lim

x→+∞

1

n 2

n

X

k=¹

E

(

^kx

)

(54)

Problème

Étudierlesvariationsdelafontionf déniesur

R

^par^f

(

^x

) =

^osx

+

^x.

En déduireque l'équationosx

+

^x

=

⁰ âûne ûnique^solution.Ên

donner unevaleur approhée à10

−³

près.

Ononsidère l'équation(E) sinx

−

x

2

=

⁰

,

^x

∈ R

^.

Montrerquetouteslessolutionsdeetteéquationappartiennentà

l'intervalle

[ −

²

;

²

]

^.

Donner,en lejustiant,lenombredesolutionsdel'équation(E).

Donnerunevaleurapprohée,à10

−³

prèspardéfaut, delaplusgrande

solution.

(55)

Problème

R

^par^f

(

^x

) =

^osx

+

^x.

+

^x

=

−³

près.

−

x

2

=

⁰

,

^x

∈ R

^.

l'intervalle

[ −

²

;

²

]

^.

−³

solution.

(56)

Problème

R

^par^f

(

^x

) =

^osx

+

^x.

+

^x

=

−³

près.

−

x

2

=

⁰

,

^x

∈ R

^.

l'intervalle

[ −

²

;

²

]

^.

−³

solution.

(57)

Problème

R

^par^f

(

^x

) =

^osx

+

^x.

+

^x

=

−³

près.

−

x

2

=

⁰

,

^x

∈ R

^.

l'intervalle

[ −

²

;

²

]

^.

−³

solution.

(58)

Problème

R

^par^f

(

^x

) =

^osx

+

^x.

+

^x

=

−³

près.

−

x

2

=

⁰

,

^x

∈ R

^.

l'intervalle

[ −

²

;

²

]

^.

−³

solution.

F i i e G i

(

)

(

)

: [

,

] → R ,

7→



 

 

∈ [

,

]

(

−

)

∈ ]

,

]

cos 1

x y

+1

+1

O 1 1

x

y

O 1 1

x

y

O 1 1

x

y

cos 1

x y

+1

+1

O 1 1

x

y

R

R

∈

(

) =

(

)

7→

−

+

−

O 1

1

x

y

O x y

f (b)

f (a)

b

a

f (b)

f (a)

a b

0 k

c x

y

R

<

(

)

(

)

∈ [

,

]

(

) =

0

Γ

F i i e G i

) ⁼

^∈ [

) ⁼

⁺

⁺

⁻ (