ieae A

N. Perrin

Düsseldorf

Sommersemester 2013

1 Wiederholung 6

1.1 Äquivalenzrelationen . . . 6

1.2 Lineare Abbildungen, Matrizen,Basiswehsel . . . 7

1.3 Äquivalenz vonMatrizen . . . 8

1.4 Basiswehsel für Endomorphismen,Ähnlihkeit . . . 9

1.5 Erste Invarianten für dieÄhnlihkeitsrelation. . . 9

1.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . 11

1.7 Diagonalisierbare Matrizen . . . 12

1.8 Eigenwerte und das harakteristishe Polynom . . . 12

1.9 Trigonalisierbarkeit . . . 13

1.10 Minimal Polynom . . . 13

2 Jordanshe Normalform 16 2.1 InvarianteUnterräume . . . 16

2.2 Verallgemeinerte Eigenräume . . . 17

2.3 Haupträume . . . 18

2.4 Jordan-Kette . . . 21

2.5 Endomorphismus miteinem Eigenwert . . . 23

2.6 Jordanshe Normalform . . . 25

3 Symmetrishe Gruppe 28 3.1 Denition . . . 28

3.2 Transpositionen . . . 29

3.3 Support . . . 31

3.4 Permutationsmatrix . . . 31

3.5 Elementare Transpositionen . . . 32

3.6 Determinante . . . 34

4 Tensorprodukt 36 4.1 Bilineare Abbildungen und Tensorprodukt . . . 36

4.2 Basen . . . 38

4.3 Erste Eigenshaften . . . 40

4.4 Bilineare Abbildungen . . . 41

4.5 Tensorprodukt vonHomomorphismen . . . 41

4.6 Körper Erweiterung . . . 42

4.8 Symmetrishe und antisymmetrishe Tensoren . . . 45

5 Algebren 48 5.1 Algebren . . . 48

5.2 Verknüpfungstafel . . . 49

5.3 Unteralgebren, Ideale und Quotienten . . . 50

5.4 Produkte. . . 52

5.5 Einshränkungund Erweiterung der Skalare . . . 52

5.6 Erzeuger . . . 53

5.7 Polynome . . . 55

5.8 Graduierte Algebren . . . 57

5.9 Tensor Algebra . . . 59

5.9.1 Denition . . . 59

5.9.2 UniverselleEigenshaft . . . 60

5.10 Symmetrishe Algebra . . . 61

5.10.1 Denition . . . 61

5.10.2 UniverselleEigenshaft . . . 63

5.10.3 Symmetrishe Tensoren und symmetrishe Algebra . . . 64

5.10.4 Symmetrishe Algebra und Polynome . . . 65

5.11 Äuÿere Algebra . . . 66

5.11.1 Denition . . . 66

5.11.2 UniverselleEigenshaft . . . 67

5.11.3 Rehnungsregeln . . . 68

5.11.4 Alternierende Abbildungen . . . 71

5.11.5 Basis . . . 73

5.11.6 Antisymmetrishe Tensoren und äuÿere Algebra . . . 74

6 Kombinatorisher Exkurs 76 6.1 Abbildungen . . . 76

6.2 Formeln . . . 79

6.3 Basenund Dimension . . . 80

7 Bilineare und sesquilineare Formen 81 7.1 Denition . . . 81

7.2 Matrizen . . . 83

7.3 Orthogonalität . . . 87

7.4 Dualräume. . . 91

7.5 Quadratishe Formen . . . 92

7.6 Adjungiert . . . 93

7.6.1 Endomorphismen die

B

^{erhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . 95}

7.6.2 Standard symmetrishe Bilinearformdes

K ⁿ

^{. . . . . . . . . . 96}

7.7 Symplektishe Formen . . . 97

7.8 Hermitshe Formen . . . 100

7.8.2 KomplexepositivdenitHermitsheFormenundSkalarprodukte103

7.9 Normale Endomorphismen . . . 105

7.9.1 Unitäre Matrizen . . . 107

7.9.2 Hermitshe und anti-Hermitshe Matrizen . . . 108

7.9.3 Reelle symmetrishe Bilinearformen . . . 109

In diesem Semester werden wir weiter mitlinearen Abbildungen arbeiten. Wir neh-

menan,dassalles,wasimSkriptLA1steht,bekanntist.Wirwerdenabermiteinigen

Wiederholungen anfangen.

1.1 Äquivalenzrelationen

Denition 1.1.1 1. Sei

M

^{eine Menge. Eine Relationauf}

M

^{ist eine Teilmenge}

R

von

M × M

^{. Seien}

x, y

^{zweiElementein}

M

^,für

(x, y) ∈ R

^{shreibt man}

x ∼ R y

^.

2.

R

^{heiÿt reexiv,wenn}

x ∼ R x

^{für alle}

x ∈ M

^.

3.

R

^heiÿt symmetrish, wenn

x ∼ R y ⇒ y ∼ R x

^.

4.

R

^{heiÿt transitiv, wenn}

(x ∼ ^R y

^und

y ∼ ^R z) ⇒ x ∼ ^R z

^.

Denition 1.1.2 EineRelation

R

^heiÿtÄquivalenzrelation,wenn

R

^reexiv,sym-

metrish und transitiv ist.

Denition 1.1.3 Sei

R

^eine Äquivalenzrelationauf

M

^.

1. Die Äquivalenzklasse

[x]

^ist

[x] = { y ∈ M | x ∼ ^R y } ⊂ M.

2.Die Quotientenmenge

M/R

^{istdieGesamtheit der} Äquivalenzklassen:

M/R = { [x] ∈ P(M) | x ∈ M } .

Satz 1.1.4 Sei

R

^eineÄquivalenzrelationauf

M

^{.Dannsind alleElementeaus}

M

ⁱⁿ

genau einer Äquivalenzklasse.

Für eine Äquivalenzrelationsind diefolgendenFragen wihtig:

Frage 1.1.5

1. Wann sind zwei Elemente

x, y ∈ M

äquivalent?

2.Suhe ein Element injede Äquivalenzklasse.

1.2 Lineare Abbildungen, Matrizen, Basiswehsel

FürdieDenitionen vonAbbildungen,Körpern,VektorräumenundBasenverweisen

wir auf das Skript LA1 (Denition 2.2.1, Denition 3.1.1 und Denition 5.1.1). Sei

K

^{einKörperund seien}

V

^und

W

^zwei

K

-Vektorräume.

Denition 1.2.1 Eine Abbildung

f : V → W

^{heiÿt linear, wenn für alle}

x, y ∈ K

und alle

v, v ^′ ∈ V

^gilt

f(xv + yv ^′ ) = xf (v ) + yf (v ^′ ).

Sei

B = (v 1 , · · · , v n )

^{eine Basis von}

V

^und

B ^′ = (w 1 , · · · , w m )

^{eine Basis von}

W

^{. Da}

B ^′

^{eine Basis ist, gibt es, für alle}

j ∈ [1, n]

^{, Skalare}

(a i,j ) i∈[1,m]

^aus

K

mit

f(v j ) = X m

i=1

a i,j w i .

FürDenitionundEigenshaftenvonMatrizenverweisenwiraufdasSkriptLA1.

Denition 1.2.2 Die Matrix

Mat B,B ^′ (f )

^von

f

^{mit den Basen}

B

^,

B ^′

^ist

Mat _B,B ^′ (f ) = (a _i,j ) _{i∈[1,m], j ∈[1,n]} =



 

a 1,1 · · · a 1,n

.

.

.

.

.

.

a m,1 · · · a m,n



  .

Sei

f : V → W

^{einelineareAbbildung.Wennwir dieBasen}

B , B ^′

^{wehseln, wirdsih}

die Matrix

Mat B,B ^′ (f )

^{verändern. Der} Basiswelhelsatz erklärt, wie sih die Matrix verändert.

Satz 1.2.3 Sei

f : V → W

^{eine lineare Abbildung. Seien}

B , C

^{Basen von}

V

^und

seien

B ^′ , C ^′

^Basenvon

W

^{. Sei}

A = Mat _B,B ^′ (f )

^und

B = Mat _C,C ^′ (f )

^{. Dann gilt}

B = QAP

wobei

P = Mat C,B (Id V )

^und

Q = Mat B ^′ ,C ^′ (Id W )

^.

1.3 Äquivalenz von Matrizen

Denition 1.3.1 1. Seien

A, B ∈ M m,n (K)

^.

A

^und

B

^sind äquivalent, falls es

P ∈ GL n (K)

^und

Q ∈ GL m (K )

^{gibt mit}

B = QAP.

In diesem Fallshreiben wir

A ∼ B

^.

2.Sei

R

^dieRelation

R = { (A, B) ∈ M m,n (K) | A ∼ B }

^.

Lemma 1.3.2 Die Relation

R

^isteine Äquivalenzrelation.

Satz 1.3.3 Seien

A, B ∈ M m,n (K)

^.

A ∼ B ⇔ Rg(A) = Rg(B).

Wir können alsodieFrage: wann sind zwei Elemente

A, B ∈ M

äquivalent? antwor- ten:ZweiMatrizen

A, B

^{sindäquivalentgenaudann,wenn}

Rg(A) = Rg(B )

^.

Um die zweite Frage: suhe ein Element aus jeder Äquivalenzklasse zu beantworten

brauhen wir diefolgende Denition.

Denition 1.3.4 Sei

A ∈ M m,n (K)

^mit

Rg(A) = r

^Dannheiÿt

I r 0

0 0

∈ M m,n (K)

dieNormalform von

A

^{bzg. Äquivalenz vonMatrizen.}

Wir haben gesehen, dass die Äquivalenzklasse einer Matrix

A

^mir

Rg(A) = r

^die

folgende Menge ist:

[A] ∼ = { B ∈ M n,m (K) | Rg(B) = Rg(A) = r } .

Wirhabenin

[A]

^{einsehreinfahesElement:dieNormalformvon}

A

^.

I _r 0

0 0

∈ [A] ∼ .

1.4 Basiswehsel für Endomorphismen, Ähnlihkeit

Satz 1.4.1 Sei

V

^ein

n

-dimensionalerVektorraum. Seien

B

^und

C

^Basenvon

V

^und

sei

f : V → V

^linear.Sei

A = Mat B,B (f )

^und

B = Mat C,C (f )

^{. Dann gilt}

B = P ⁻¹ AP,

wobei

P = Mat C,B (Id V )

^.

Denition 1.4.2 1.Seien

A, B ∈ M n (K)

^{.Dann sind}

A

^und

B

^{ähnlih,falls esein}

P ∈ GL n (K)

^{gibt mit}

B = P ⁻¹ AP.

Indiesem Fall shreiben wir

A ≈ B

^.

2. Sei

R ^′

^dieRelation

R ^′ = { (A, B ) ∈ M _n (K) | A ≈ B }

^.

Lemma 1.4.3 Die Relation

R ^′

^{ist eine} Äquivalenzrelation.

Die zwei wihtigen Fragen für dieÄhnlihkeitrelation sind:

Frage 1.4.4

1.Wann sind zwei Matrizen

A, B ∈ M n (K)

^ähnlih?

2. Suhe eine Normalformbzg. ÄhnlihkeitvonMatrizen.

Wirwerden dieses Semester diese Fragen beantworten.

1.5 Erste Invarianten für die Ähnlihkeitsrelation

Lemma 1.5.1 Seien

A, B ∈ M n (K)

^{.Es gilt}

A ≈ B ⇒ A ∼ B.

Beweis. Seien

A, B ∈ M _n (K)

^mit

A ≈ B

^{. Nah der Denition gibt es ein}

P ∈ GL n (K)

^mit

B = P ⁻¹ AP

^{. Sei}

Q = P ⁻¹ ∈ GL n (K)

^{, dann gilt}

B = QAP

^und

A ∼ B

^.

Korollar 1.5.2 Seien

A, B ∈ M _n (K)

^mit

A ≈ B

^{. Danngilt}

Rg(A) = Rg(B)

^.

Beweis. Folgtaus Satz 1.3.3.

Beispiel 1.5.3 In Korollar1.5.2 haben wir niht

Rg(A) = Rg(B) ⇒ A ≈ B

^{. Seien}

A =

1 0 0 1

und

B =

1 1 0 1

.

Für

C ≈ A

^{gilt:es gibt}

P ∈ GL 2 (K)

^mit

C = P ⁻¹ AP = P ⁻¹ I 2 P = P ⁻¹ P = I 2 = A.

Es giltalso

[A] ≈ = { A } .

DieeinzigeMatrixdieähnlihzu

A

^{ist,istdieMatrix}

A

^.Alsogilt

Rg(A) = 2 = Rg(B)

(z.B. beide Determinanten sind ungleih

0

^{) aber}

A 6≈ B

^.

Nähstes Semester haben wir den folgende Satz bewiesen.

Satz 1.5.4 Seien

A, B ∈ M n (K )

^mit

A ≈ B

^{.Dann gilt}

χ A = χ B

^.

Korollar 1.5.5 Seien

A, B ∈ M n (K)

^mit

A ≈ B

^{. Dann sind dieEigenwerte von}

A

und

B

^gleih.

Beispiel 1.5.6 In Satz 1.5.4 haben wir niht

χ _A = χ _A ⇒ A ≈ B

^{. Seien}

A =

1 0 0 1

und

B =

1 1 0 1

.

Es gilt

χ A = (X − 1) ² = χ B .

Die Eigenwerte von

A

^und

B

^{sind gleih (der einzige Eigenwert ist}

1

^{). Aber, wie in}

Beispiel1.5.3, gilt

A 6≈ B

^.

WirgebenhiereinehinreihendeBedingungfürdieÄhnlihkeitvonMatrizen.

Satz 1.5.7 Seien

A ∈ M n (K)

^mit

n

^paarweisevershiedenenEigenwerten

λ 1 , · · · , λ n

und sei

B ∈ M n (K)

^mit

λ 1 , · · · , λ n

^alsEigenwerten. Danngilt

A ≈ B

^.

Beweis. Wir wissen (siehe Satz 1.7.5), dass die Matrix

A

^{und auh die Matrix}

B

diagonalisierbarmit den Eigenwerten

λ 1 , · · · , λ n

^{sind. Es gibt also Matrizen}

P, Q ∈ GL _n (K)

^mit

P ⁻¹ AP = D =



 

 

λ 1 0 · · · 0 0 λ 2

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

. .

.

.

0 0 · · · 0 λ n



 

 

= Q ⁻¹ BQ.

Es giltalso

A ≈ D ≈ B

^.

Beispiel 1.5.8 Im Satz 1.5.7 haben wir niht

(A ≈ B) ⇒

⁽

A

^und

B

^{haben diegleihen}

n

^paarweise vershiedenen Eigenwerte)

.

Seien

A =

1 0 0 1

= B.

Danngilt

A ≈ B

^und

A

^und

B

^{haben diegleihen} Eigenwerte, aber

A

^und

B

^haben

nureinen Eigenwert und niht

2

^paarweise vershiedene Eigenwerte.

DieseBeispiele und erste Invarianten zeigen, dass Diagonalisierbarkeiteinen starken

Zusammenhang mit Ähnlihkeit hat. Wir werden aber mehr brauhen. Wir wieder-

holenjetzt dieEigenshaften von diagonalisierbarenMatrizen.

1.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

Denition 1.6.1 1. Sei

f : V → V

^ein Endomorphismus von

V

^{. Ein Vektor}

v ∈ V \ { 0 }

^heiÿt Eigenvektor mit Eigenwert

λ ∈ K

^fallsgilt

f (v ) = λv.

2. Sei

A ∈ M n (K)

^{eine Matrix. Ein Vektor}

v ∈ K ⁿ \ { 0 }

^heiÿt Eigenvektor mit Eigenwert

λ ∈ K

^fallsgilt

Av = λv.

Denition 1.6.2 Sei

λ ∈ K

^und

f : V → V

^einEndomorphismus.DerEigenraum

E(f, λ)

^zu

f

^und

λ

^{ist der Unterraum}

E(f, λ) = Ker(λId V − f ) = { v ∈ V | f (v) = λv } .

Satz 1.6.3 Die Eigenwerte von

f

^{sind dieNullstelen von}

χ f

^.

Satz 1.6.4 Sei

f ∈ End(V )

^.

1.Für

λ 6 = µ

^gilt

E(f, λ) ∩ E(f, µ) = 0

^.

2. Systeme von Eigenvektoren mit paarweise vershiedenen Eigenwerten von

f

^sind

linearunabhängig.

Sei

n = dim V

Korollar 1.6.5 Sei

f ∈ End(V )

^{.Dann hat}

f

^höhstens

n

Eigenwerte.

Korollar 1.6.6 Sei

f ∈ End(V )

^{.Dann gilt}

X

λ∈K

E(f, λ) = M

λ∈K

E(f, λ).

1.7 Diagonalisierbare Matrizen

Denition 1.7.1 Eine Matrix

A = (a _i,j ) ∈ M _n (K )

^{heiÿtdiagonalwenn gilt:}

a _i,j = 0

für alle

i 6 = j

^.

Denition 1.7.2 Eine Matrix

A ∈ M n (K)

^ist diagonalisierbar falls sie ähnlih zu einer Diagonalmatrix ist, i.e. falls es

P ∈ GL n (K)

^{gibt so dass}

P AP ⁻¹

^eine

Diagonalmatrixist.

Bemerkung 1.7.3 Eine Matrix

A

^ist diagonalisierbar genau dann, wenn es in der Ähnlihkeitsklassevon

A

^eineDiagonalmatrix

D

^gibt.FürdiagonalisierbareMatrizen gibt es ein sehr einfahes Element: die Diagonalmatrix

D

^{. Diese} Diagonalmatrix

D

wird die(jordanshe) Normalformvon

A

^sein.

Satz 1.7.4 Sei

A ∈ M n (K)

^{.Dann sind folgende Aussagen}äquivalent:

1.

A

^ist diagonalisierbar.

2. Es gibt eine Basis

B

^von

K ⁿ

^{, welhe aus} Eigenvektoren von

A

^besteht.

3.

P

λ∈K dim E(A, λ) = n

^.

4.

⊕ λ∈K E(A, λ) = K ⁿ

^.

Satz 1.7.5 Sei

n = dim V

^und

f ∈ End(V )

^.Hat

f

^genau

n

vershiedene Eigenwerte, dann ist

f

diagonalisierbar.

1.8 Eigenwerte und das harakteristishe Polynom

Satz 1.8.1 Sei

A ∈ M _n (K)

^{und sei}

f ∈ End(V )

^{.Es gilt}

{

^{Eigenwerte von}

A } = {

Nullstellen von

χ A } {

^{Eigenwerte von}

f } = {

Nullstellenvon

χ _f } .

Satz 1.8.2 Sei

n = dim V

^{und sei}

f ∈ End(V )

^{. Für jedes}

λ ∈ K

^giltdann

dim E(f, λ) ≤ m(χ _f , λ),

wobei

m(χ f , λ)

^die Vielfahkeit von

λ

ⁱⁿ

χ f

^ist.

Korollar 1.8.3 Sei

n = dim V

^{und sei}

f ∈ End(V )

^{. Der} Endomorphismus

f

^ist

diagonalisierbargenau dann, wenn

χ f

vollständigin Linearfaktoren zerfällt und für jedes

λ ∈ K

^{, gilt}

dim E(f, λ) = m(χ f , λ)

^.

1.9 Trigonalisierbarkeit

Denition 1.9.1 1. Eine Matrix

A = (a _i,j ) ∈ M _n (K)

^{ist eine obere} Dreiekmatrix wenn

a i,j = 0

^für

i > j

^.

2. Sei

n = dim V

^und

f ∈ End(V )

^{. Der} Endomorphismus

f

^heiÿt trigonalisierbar fallses eine Basis

B

^{gibt mit}

Mat B (f )

^{eine obere} Dreiekmatrix.

Bemerkung 1.9.2 Eine Matrix

A

^is diagonalisierbar genau dann, wenn es in der Ähnlihkeitsklasse von

A

^{eine obere} Dreiekmatrix

D

^gibt.

Satz 1.9.3 Sei

f ∈ End(V )

^{. Die folgende Aussagen sind} äquivalent:

1.

f

^isttrigonalisierbar.

2.

χ _f

^{zerfällt über}

K

vollstandiginLinearfaktoren.

Korollar 1.9.4 Falls

K

^algebraish abgeshlossen ist, falls also jedes Polynom in

K[X] \{ 0 }

^über

K

ⁱⁿLinearfaktorenzerfällt,dannistjedes

f ∈ End(V )

^mit

dim V <

∞

trigonalisierbar.

Bemerkung 1.9.5 Für

K

^algebraishabgeshlossen, gibt es immerin der Ähnlih- keitsklasse

[A] ≈

^von

A

^{eine obere} Dreiekmatrix.Wir können also als einfahes Ele- ment in der Ähnlihkeitsklasse eine obere Dreiekmatrix wählen. Wir werden sehen,

dassmaneinenoheinfahereMatrixwählenkann:die(jordanshe) Normalform

von

A

^.

1.10 Minimal Polynom

Sei

V

^mit

dim V = n

^{und sei}

f ∈ End(V )

^.

Satz 1.10.1 ann existiert genaueinnormiertesPolynom

µ _f ∈ K[X]

^{, das Minimal-}

polynom von

f

^mit

1.

µ f (f ) = 0

2. Ist

P ∈ K[X]

^mit

P (f) = 0

^{, so ist}

µ f

^{einTeiler von}

P

^.

Satz 1.10.2 Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1.

f

^istdiagonalisierbar.

2.

µ f

^zerfällt vollständiginLinearfaktoren und besitzt nur einfahe Nullstellen.

Satz 1.10.3 (Satz von Cayley-Hamilton) Es gilt

χ f (f) = 0

^.

Korollar 1.10.4 Es gilt:

µ f

^{ist einTeiler von}

χ f

^.

Korollar 1.10.5

µ f

^und

χ f

^{haben die gleihen} Nullstellen (die Eigenwerte). Sei

λ

eine solhe Nullstelle,es gilt

m(µ f , λ) ≤ m(χ f , λ).

Satz 1.10.6 Seien

A, B ∈ M n (K )

^mit

A ≈ B

^{. Danngilt}

µ A = µ B

^.

Beweis. Sei

P ∈ GL n (K )

^mit

B = P ⁻¹ AP

^{. Es gilt also auh}

A = P BP ⁻¹

^{. Eine}

einfahe Induktion gibt für alle

i ∈ N

^:

B ⁱ = P ⁻¹ A ⁱ P.

Sei

µ A = P k

i=0 a i X i ∈ K[X]

^{. Esgilt}

µ A (A) = 0

^{.Wir zeigen, dass}

µ A (B ) = 0

^{. Esgilt}

µ A (B ) =

X k

i=0

a i B ^k = X k

i=0

a i P ⁻¹ A ^k P = P ⁻¹ X k

i=0

a i A ^k

!

P = P ⁻¹ µ A (A)P = 0.

Es giltalso:

µ A (B) = 0

^und

µ B

^{isteinTeiler von}

µ A

^.

Wir können

A

^und

B

^{vertauhen und sogilt auh}

µ B (A) = 0

^{. Daraus folgt,dass}

µ A

einTeiler von

µ _B

^{ist.Esfolgt,dass}

µ _A = λµ _B

^mit

λ ∈ K

^{, undweil}

µ _A

^und

µ _B

^beide

normiertsind, folgt

µ A = µ B

^.

Beispiel 1.10.7 Im Satz 1.10.6haben wir niht

µ A = µ B ⇒ A ≈ B

^{. Seien}

A =





1 0 0 0 1 0 0 0 2





^und

B =





1 0 0 0 2 0 0 0 2



 .

Nah Korollar1.10.5hat

µ _A

^(bzg.

µ _B

^{)dieEigenwertevon}

A

^(bzg.

B

^)alsNullstellen.

Also haben

µ A

^und

µ B

^{die Zahlen}

1

^und

2

^als Nullstellen. Die beiden Matrizen

A

und

B

^sind Diagonalmatrizen,also diagonalisierbar.NahSatz 1.10.2 folgt,dass

µ A

und

µ _B

^einfahe Nullstellenhaben. Es folgt

µ A = (X − 1)(X − 2) = µ B .

Wir zeigen, dass

A 6≈ B

^{. Hätten wir}

A ≈ B

^{, dann folgt nah Satz 1.5.4}

χ A = χ B

^.

Aberes gilt

χ _A = (X − 1) ² (X − 2) 6 = (X − 1)(X − 2) ² = χ _B .

Also

A 6≈ B

^.

Beispiel 1.10.8 Es gibt Matrizen

A

^und

B

^mit

Rg(A) = Rg(B), χ _A = χ _B

^und

µ _A = µ _B

,aber mit

A 6≈ B

^.

Seien

A =



 



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1



 



und

B =



 



1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1



 

 .

Esgilt

Rg(A) = 4 = Rg(B), χ A = (X − 1) ⁴ = χ B

^und

µ A = (X − 1) ² = µ B .

Aber esgilt

A 6≈ B

^.

Übung 1.10.9 Seien

A

^und

B

^{wie imBeispiel 1.10.8.}

1.ZeigenSie,dass

Rg(A) = 4 = Rg(B )

^,

χ A = (X − 1) ⁴ = χ B

^und

µ A = (X − 1) ² = µ B

^.

2. ZeigenSie, dass

A 6≈ B

^.

Sei

V

^ein

K

-Vektorraum der Dimension

n

^{und sei}

f ∈ End(V )

^ein Endomorphis- mus.

2.1 Invariante Unterräume

Denition 2.1.1 EinUnterraum

U

^von

V

^{heiÿtinvariantfür}

f

^(oder

f

-invariant) falls

f(U ) ⊂ U

^.

Lemma 2.1.2 Sei

U

^{einUnterraum von}

V

^.

()Wenn

U f

^{-invariantist,dann ist}

U

^auh

P (f )

^{-invariantfür alle}

P ∈ K[X]

^.

()Sei

λ ∈ K

^.Dannist

U

^genaudann

f

-invariant,wenn

U (f − λId V )

^{-invariantist.}

Beweis. () Sei

P ∈ K[X]

^und

u ∈ U

^{. Dann ist}

f (u) ∈ U

^{und per Induktion gilt}

f ^k (u) ∈ U

^füralle

k ∈ N

^{. Daraus folgt}

P (f)(u) ∈ U

^.

() Angenommen

U

^sei

f

-invariant. Dann gilt

f (u) ∈ U

^{für alle}

u ∈ U

^{. Es folgt}

(f − λId V )(u) = f (u) − λu ∈ U

^und

U

^ist

(f − λId V )

-invariant.Umgekehrt,sei

u ∈ U

^,

dann gilt

(f − λId V )(u) ∈ U

^also

f (u) − λu ∈ U

^{. daraus folgt}

f (u) ∈ U

^und

U

^ist

f

-invariant.

Lemma 2.1.3 Seien

U 1 , · · · , U r f

-invarianteUnterräumesodass,

V = U 1 ⊕ · · · ⊕ U r

^.

()Seien

B ¹ , · · · , B ^r

^Basenvon

U 1 , · · · , U r

^.Dannist

B = B ¹ ∪ · · · ∪ B ^r

^{eine Basisvon}

V

^.

()Sei

A i = Mat B i (f | U i )

^für

i ∈ [1, r]

^{,dann gilt}

Mat B (f ) =



 

 

A 1 0 · · · 0 0 A ₂

^{... ...}

.

.

. .

.

. .

.

.

0 0 · · · 0 A r



 

  .

Beweis. Übung.

Lemma 2.1.4 Umgekehrt, sei

B = (v 1 , · · · , v n )

^{eine Basismit}

Mat B (f ) =



 

 

A 1 0 · · · 0 0 A 2

.

.

. .

.

.

.

.

. .

.

. .

.

.

0 0 · · · 0 A r



 

 

wobei

A i ∈ M n i (K)

^{. Dannsind die Unterräume}

U i = h v n 1 +···+n i−1 +1 , · · · , v n 1 +···+n i−1 +n i i

f

^{-invariant und esgilt}

V = U ₁ ⊕ · · · ⊕ U _r

^.

Beweis. Übung.

2.2 Verallgemeinerte Eigenräume

Denition 2.2.1 Seien

k ∈ N

^und

λ ∈ K

^{. Der}

k

^-te verallgemeinerte Eigen- raum zum Eigenwert

λ

^ist

E k (f, λ) = Ker(f − λId V ) ^k

^.

Bemerkung 2.2.2 Es gilt

E ₁ (f, λ) = E(f, λ)

^{also ist der erste} verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert

λ

^{der Eigenraum zum Eigenwert}

λ

^.

Lemma 2.2.3 Sei

λ ∈ K

^.

()Für jedes

k ∈ N

^ist

E k (f, λ) f

-invariant.

()Esgilt

E k (f, λ) ⊂ E l (f, λ)

^für

k ≤ l

^.

()Esgibt ein

k ∈ N

^mit

E _k (f, λ) = E _k+1 (f, λ)

^.

(v)Sei

k

^mit

E k (f, λ) = E k+1 (f, λ)

^{, dann gilt}

E k (f, λ) = E l (f, λ)

^füralle

l ≥ k

^.

Beweis. () Sei

v ∈ E k (f, λ)

^{. Dann gilt}

(f − λId V ) ^k (v ) = 0

^{. Wir zeigen, dass}

f (v) ∈ E k (f, λ)

^also

(f − λId V ) ^k (f(v)) = 0

^{. Es gilt}

(f − λId _V ) ^k (f (v)) = ((f − λId _V ) ^k ◦ f )(v) = f ◦ (f − λId _V ) ^k (v) = f((f − λId _V ) ^k (v)) = 0.

()Sei

v ∈ E _k (f, λ)

^und

l ≥ k

^.Danngilt

(f − λId _V ) ^k (v) = 0

^,Alsogilt

(f − λId _V ) ^l (v) = (f − λId V ) ^l−k ((f − λId V ) ^k (v)) = (f − λId V ) ^l−k (0) = 0

^{. Es giltalso}

v ∈ E l (f, λ)

^.

() Wir betrahten

d k = dim E k (f, λ

^{. Die Folge}

(d k ) k∈N

^{ist steigend und}

d k ≤ n

^.

Es gibt also ein

k

^mit

d k = d k+1

^also

dim E k (f, λ) = dim E k+1 (f, λ)

^{. Daraus folgt}

E k (f, λ) = E k+1 (f, λ)

^.

(v) Sei

k

^mit

E k (f, λ) = E k+1 (f, λ)

^{und sei}

l ≥ k

^{. Es gilt}

E k (f, λ) ⊂ E l (f, λ)

^.

Umgekehrt zeigen wir perInduktion über

l ≥ k

^,dass

E l (f, λ) ⊂ E k (f, λ)

^{. Für}

l = k

ist dies wahr.

Angenommen

E l (f, λ) ⊂ E k (f, λ)

^.Wirzeigen

E l+1 (f, λ) ⊂ E k (f, λ)

^.Sei

v ∈ E l+1 (f, λ)

^.

Es gilt

(f − λId V ) ^l+1 (v) = 0

^{, also}

(f − λId V ) ^k+1 ((f − λId V ) ^l−k (v )) = 0

^{. Es folgt}

(f − λId _V ) ^l−k (v) ∈ E _k+1 (f, λ) = E _k (f, λ)

^{. Es gilt also}

0 = (f − λId _V ) ^k ((f − λId V ) ^l−k (v)) = (f − λId V ) ^l (v) = 0

^und

v ∈ E l (f, λ) ⊂ E k (f, λ)

^.

Korollar 2.2.4 Sei

λ ∈ K

^{. Danngibt es ein}

M λ ∈ N

^mit

E k (f, λ) ( E k+1 (f, λ)

^für

k < M λ

^und

E k (f, λ) = E k+1 (f, λ)

^für

k ≥ M λ

^.

2.3 Haupträume

Denition 2.3.1 Der Hauptraum zum Eigenwert

λ

^ist

H(f, λ) = E _{M λ} (f, λ)

^.

Lemma 2.3.2 ()Ist

λ

^{einEigenwert von}

f

^{, so gilt}

H(f, λ) 6 = 0

^.

()Sonst gilt

H (f, λ) = 0

^.

Beweis. () Sei

v

^ein Eigenvektor zu

λ

^{. Es gilt}

v 6 = 0

^und

(f − λId V )(v) = 0

^{. Esgilt}

also

0 6 = E(f, λ) ⊂ H(f, λ)

^.

() Angenommen

H(f, λ) 6 = 0

^{. Dann gibt es ein}

v ∈ H(f, λ)

^mit

v 6 = 0

^{. Es gilt}

(f − λ) ^{M λ} (v) = 0

^{und daraus folgt}

(f − λ) ^l (v ) = 0

^{für alle}

l ≥ M λ

^{. Sei}

k

^maximal

mit der Eigenshaft

(f − λ) ^k (v ) 6 = 0

^{(z.B. hat}

k = 0

^diese Eigenshaft, aber alle

k ≥ M λ

^{haben diese Eigenshaft niht mehr). Es gilt also}

(f − λ) ^k (v) 6 = 0

^und

(f − λ) ^k+1 (v) = 0

^{.Daraus folgt}

0 = (f − λ) ^k+1 (v) = (f − λId V )((f − λ) ^k (v)).

Also ist

(f − λ) ^k (v)

^ein Eigenvektor von

f

^{mitdem Eigenwert}

λ

^.Widerspruh.

WirwerdendieHaupträumedank dem Minimalpolynomstudieren.Zuerst brauhen

wir einLemma.

Denition 2.3.3 Seien

P 1 , · · · , P r ∈ K[X]

^{. Die Polynome}

P 1 , · · · , P r

^{sind teiler-}

fremd, fallses kein

Q ∈ K[X]

^mit

deg(Q) > 0

^und

Q | P i

^{für alle}

i ∈ [1, r]

^gibt.

Beispiel 2.3.4 ()

X

^und

X − 1

^sind teilerfremd.

()Für

λ 1 , · · · , λ r

^{paarweise vershiedensind}

P 1 = (X − λ 1 ) ^{m 1} , · · · , P r = (X − λ r ) ^{m r}

()Für

λ 1 , · · · , λ r

^{paarweise vershieden sei}

P i = Y

j6=i

(X − λ j ) ^{m j} .

Dannsind

P 1 , · · · , P r

teilerfremd.

(v)Für

P 1 = · · · = P r = 0

^sind

P 1 , · · · , P r

^niht teilerfremd.Jedes Polynom

P

^teilt

P 1 , · · · , P r

^:

P i = 0 = 0 · P

^.

Lemma 2.3.5 Seien

P 1 , · · · , P r ∈ K[X]

teilerfremd.DanngibtesPolynome

Q 1 , · · · , Q r ∈ K[X]

^mit

Q 1 P 1 + · · · + Q r P r = 1.

Beweis. NahInduktion über

N = deg(P 1 ) + · · · + deg(P r )

^.

Für

N = 0

^gilt

deg(P 1 ) = deg(P r ) = 0

^{. Es gibt also Skalare}

λ 1 · · · , λ r ∈ K

^mit

P i = λ i

^füralle

i ∈ [1, r]

^.Esgibtein

i

^mit

λ i 6 = 0

^{.(Wennnihtgilt}

λ 1 = · · · = λ r = 0

^,

also

P 1 = · · · = P r = 0

^und

P 1 , · · · , P r

^{sind niht} teilerfremd. ) Sei

Q i = _λ ¹

i

und

Q j = 0

^für

j 6 = i

^{, alsogilt}

Q 1 P 1 + · · · + Q r P r = 1

^.

Wirnehmenan,dassesfüralleteilerfremdenPolynome

R 1 , · · · , R r

^mit

N ≥ deg(R 1 )+

· · · +deg(R _r )

^Polynome

S ₁ , · · · , S _r

^gibtmit

S ₁ R ₁ + · · · +S _r R _r = 1

^.Seien

P ₁ , · · · , P _r

^tei-

lerfremdePolynomemit

deg(P 1 )+ · · · +deg(P r ) = N +1

^.OhneBeshränkungkönnen wir annehmen, dass

deg(P 1 ) ≥ · · · deg(P r )

^{. Wirwissen, dass es für alle}

i ∈ [1, r − 1]

Polynome

U _i , R _i

^mit

P _i = T _i P _r + R _i

^und

deg(R _i ) < deg(P _r ) ≤ deg(P _i )

^{gibt. Es gilt}

also

deg(R 1 ) + · · · + deg(R r−1 ) + deg(P r ) < deg(P 1 ) + · · · + deg(P r−1 ) + deg(P r )

^.

Wirzeigen, dass

R 1 , · · · , R r−1 , R r = P r

teilerfremdsind. Sei

P ∈ K[X]

^mit

P | R i

^für

alle

i ∈ [1, r]

^.Esgilt

P | R _i

^und

P | R _r = P _r

^.Alsoteilt

P

^allePolynome

T _i P _r + R _i = P _i

^.

Da

P 1 , · · · , P r

teilerfremd sind gilt

deg(P ) = 0

^und

R 1 , · · · , R r

^sind teilerfremd.

NahInduktion gibt es Polynome

S 1 , · · · , S r

^mit

S 1 R 1 + · · · + S r R r = 1

^{.Wir setzen}

R _i = P _i − T _i P _r

^für

i ∈ [1, r − 1]

^und

R _r = P _r

^{. Es gilt}

1 = S 1 R 1 + · · · + S r R r = S 1 (P 1 − T 1 P r ) + · · · + S r−1 (P r−1 − T r−1 P r ) + S r P r .

Wir setzen

Q _i = S _i

^für

i ∈ [1, r − 1]

^und

Q _r = S _r − (S ₁ T ₁ + · · · + S _r−1 T _r−1 )

^{. Die}

Gleihung

Q 1 P 1 + · · · + Q r P r = 1

^folgt.

Beispiel 2.3.6 Sei

P 1 = X

^und

P 2 = X − 1

^{. Dann sind}

P 1

^und

P 2

teilerfremd und für

Q 1 = 1

^,

Q 2 = − 1

^gilt

Q 1 P 1 + Q 2 P 2 = 1

^.

Sei

µ _f

^das Minimalpolynom von

f

^{. Wir nehmen an, dass}

µ _f

ⁱⁿ Linearfaktoren zer- fällt:

µ f = (X − λ 1 ) ^{m 1} · · · (X − λ ^r ) ^{m r} ,

wobei

λ 1 , · · · , λ r

^{paarweise vershieden sind.}

Satz 2.3.7 Sei

H i = Ker(f − λ i ) ^{m i}

^für

i ∈ [1, r]

^{. Es gilt}

V = H 1 ⊕ · · · ⊕ H r .

Beweis. Wirzeigen

V = H 1 + · · · +H r

^.Sei

v ∈ V

^{.Wirzeigen,dassesVektoren}

v i ∈ H i

für

i ∈ [1, r]

^{gibt mit}

v = v 1 + · · · + v r

^.Sei

P i = Q

j6=i (X − λ j ) ^{m j}

^für

i ∈ [1, r]

^{. Dann}

sind

P 1 , · · · , P r

teilerfremd. Nah dem obigen Lemma gibt es Polynome

Q 1 , · · · , Q r

mit

P 1 Q 1 + · · · + P r Q r = 1

^{. Es giltalso}

v = Id V (v ) = (P 1 (f )Q 1 (f ) + · · · + P r (f)Q r (f))(v).

Sei

v i = P i (f)Q i (f )(v )

^{. Es gilt}

v = v 1 + · · · + v r

^{.Wir zeigen}

v i ∈ H i

^{.Es gilt}

(f − λ _i ) ^m _i (v _i ) = (f − λ _i ) ^m _i P _i (f)Q _i (f )(v) = µ _f (f )Q _i (f)(v) = 0(f )Q _i (f )(v ) = 0.

Daraus folgt

v i ∈ H i

^.

Wir zeigen jetzt, dass die Summe

H 1 + · · · + H r

^{eine direkte Summe ist. Seien also}

v i ∈ H i

^mit

v 1 + · · · + v r = 0

^{. Wirzeigen}

v i = 0

^füralle

i ∈ [1, r]

^{. Es gilt}

0 = P i (f )(v 1 ) + · · · + P i (f )(v r ) = P i (f )(v i )

da

(X − λ _j ) ^{m j} P _i

^{für alle}

j 6 = i

^{teilt. Sei}

R = (X − λ _i ) ^{m i}

^{. Es gilt}

R(f )(v _i )

^{. Die}

Polynome

P i

^und

R = (X − λ i ) ^{m i}

^sind teilerfremd.Es gibt also Polynome

Q

^und

S

mit

QP i + SR = 1

^{. Daraus folgt}

v i = Q(f)P i (f )(v i ) + S(f )R(f )(v i ) = 0.

Da der obige Beweisfür alle

i ∈ [1, r]

^{gilt,giltalso}

v _i = 0

^{für alle}

i ∈ [1, r]

^.

Korollar 2.3.8 Für alle

i ∈ [1, r]

^gilt

H(f, λ i ) = H i

^und

M λ i = m i

^.

Beweis. Für alle

i ∈ [1, r]

^und

k ≤ M λ i ≤ l

^gilt

Ker(f − λ i Id V ) ^k ⊂ Ker(f − λ i Id V ) ^{M λi} ⊂ Ker(f − λ i Id V ) ^l .

Es giltalso

H i ⊂ H(f, λ i )

^.

Umgekehrt, sei

v ∈ H(f, λ i )

^{. Wir zeigen, dass}

v ∈ H i

^{. Nah dem obigen Satz gilt}

v = v 1 + · · · + v r

^mit

v j ∈ H j

^{für alle}

j ∈ [1, r]

^{. Sei}

P i = Q

j6=i (X − λ j ) ^{m j}

^und

R = (X − λ i ) ^{M λi}

^{. Es gilt}

P i (f)(v j ) = 0

^{für alle}

j ∈ [1, r]

^und

R(f)(v) = 0

^{. Die}

Polynome

P _i

^und

R

^sind teilerfremd. Es gibt also

Q, S ∈ K[X]

^mit

1 = QP _i + SR

^.

Daraus folgt

v = Q(f )P i (f )(v 1 + · · · + v r ) + S(f )R(f )(v) = Q(f)P i (f )(v i ).

Da

v i ∈ H i

^und

H i f

-invariant, gilt

v = Q(f )P i (f )(v i ) ∈ H i

^.

Wirzeigen

m i = M λ i

^{. Esgilt}

Ker(f − λ i Id V ) ^{m i +1} ⊂ Ker(f − λ i Id V ) ^{M λi} = Ker(f − λ i Id V ) ^{m i} ⊂ Ker(f − λ i Id V ) ^{m i +1} .

Alle Enthaltungen sind Gleihungen und es folgt

Ker(f − λ _i Id _V ) ^{m i} = Ker(f − λ i Id V ) ^{m i +1}

^{. Nahder Denitionvon}

M λ i

^gilt

M λ i ≤ m i

^.Sei

P = (X − λ i ) ^{M λi} · · · (X − λ r ) ^{M λr} .

Wirzeigen,dass

P (f) = 0

^.Seialso

v ∈ V

^.Wirzeigen

P (f)(v) = 0

^{.Nahdemobigen}

Satz gilt

v = v ₁ + · · · + v _r

^mit

v _i ∈ H _i

^{. Es gilt also}

P (f )(v _i ) = 0

^{für alle}

i ∈ [1, r]

^.

Daraus folgt

P (f )(v) = 0

^{. Aus der Denition von}

µ f

^folgt,dass

µ f

^{einTeiler von}

P

ist.Daraus folgt

m i ≤ M λ i

^{. Esfolgt}

M λ i = m i

^.

Korollar 2.3.9 Sei

U

^ein

f

-invarianter Unterraum. Dann gilt

U = (U ∩ H 1 ) ⊕ · · · ⊕ (U ∩ H r ).

Beweis. Da wir eine direkte Summe

H 1 ⊕ · · · ⊕ H r

^{haben ist dieSumme}

(U ∩ H 1 ) +

· · · + (U ∩ H r )

^{auh eine direkte Summe. Wir haben eine Enthaltung}

(U ∩ H 1 ) ⊕

· · · (U ∩ H _r ) ⊂ U

^{. Umgekehrt, sei}

v ∈ U

^{, und wie oben sei}

P _i = Q

j6=i (X − λ _j ) ^{m j}

für

i ∈ [1, r]

^.Dannsind

P 1 , · · · , P r

teilerfremdund esgibt Polynome

Q 1 , · · · , Q r

^mit

P 1 Q 1 + · · · + P r Q r = 1

^{. Es giltalso}

v = v 1 + · · · + v r

wobei

v _i = P _i (f )Q _i (f )(v ) ∈ H _i

^.Da

U

^ein

f

-invarianter Unterraumist und

v ∈ U

^ist,

gilt

v i = P i (f )Q i (f )(v) ∈ U

^.Esfolgt

v i ∈ U ∩ H i

^und

U = (U ∩ H 1 ) ⊕· · ·⊕ (U ∩ H r )

^.

Korollar 2.3.10 Sei

i ∈ [1, r]

^{.Dann gibt esein}

v ∈ V

^mit

(f − λ i Id V ) ^{m i −1} (v) 6 = 0

^und

(f − λ i Id V ) ^{m i} (v) 6 = 0.

Beweis. Esgilt

m i = M λ i

^.Alsogilt

Ker(f − λ i Id V ) ^{m i −1} = E m i −1 (f, λ i ) ( E m i (f, λ i ) = Ker(f − λ _i Id _V ) ^{m i}

^.Sei

v ∈ Ker(f − λ _i Id _V ) ^{m i} \ Ker(f − λ _i Id _V ) ^{m i −1}

^{. Dannerfüllt}

v

^die

obigeEigenshaft.

2.4 Jordan-Kette

Denition 2.4.1 Ein System

(v 1 , · · · , v t )

^{von Vektoren heiÿt} Jordan-Kette (für

f

^{zum Eigenwert}

λ

^{),falls für alle}

k ∈ [1, t − 1]

^gilt

ˆ

v 1 6 = 0

^,

ˆ

(f − λId V )(v 1 ) = 0

ˆ

(f − λId V )(v k+1 ) = v k

^.

Lemma 2.4.2 () Es gibt einen Vektor

v ∈ V

^mit

(f − λ i Id V ) ^{m i −1} (v) 6 = 0

^und

(f − λ i Id V ) ^{m i} (v) = 0

^.

() Sei

v k = (f − λ i Id V ) ^{m i −k} (v)

^{. Das System}

(v 1 , · · · , v m i )

^isteine Jordan-Kette für

f

^{zum Eigenwert}

λ _i

^.

Beweis. ()Siehe Korollar 2.3.10

()Folgtaus den Denitionen von

v

^{und der} Jordan-Kette.

Lemma 2.4.3 Sei

(v ₁ , · · · , v _t )

^eine Jordan-Kettefür

f

^{zum Eigenwert}

λ

^.

()Dannist

((f − λ i Id V )(v 2 ), · · · , (f − λ i Id V )(v t )) = (v 1 , · · · , v t−1 )

^eine Jordan-Kette für

f

^{zum Eigenwert}

λ

^.

()Dann ist

h v 1 , · · · , v t i f

^{-invariantund}

(v 1 , · · · , v t )

^linear unabhängig.

Beweis. ()Folgt aus der Denition.

()Nah()folgt,dass

f − λId _V

^dieJordan-Ketteauf

(0, v ₁ , · · · , v _t−1 )

^shikt.Daraus

folgt,dass

h v 1 , · · · , v t i (f − λId V )

-invariant,also

f

^{-invariant ist.}

Nah Induktion über

t

^{. Seien}

x 1 , · · · , x t

^{Skalare mit}

P

i x i v i = 0

^{. Es folgt}

0 = P

i x i (f − λId V )(v i ) = P

i≤r−1 x i+1 v i

^{. Da}

(v 1 , · · · , v t−1 )

^eine Jordan-Ketteist,istdas System linear unabhängig. Es folgt

x 2 = · · · = x r = 0

^{. Es gilt dann auh}

x 1 v 1 = 0

^.

Da

v 1 6 = 0

^folgt

x 1 = 0

^{. Das System}

(v 1 , · · · , v t )

^{ist linear}unabhängig.

Korollar 2.4.4 Sei

(v ₁ , · · · , v _t )

^eine Jordan-Kette für

f

^{zum Eigenwert}

λ

^{. Sei}

U = h v 1 , · · · , v t i

^{und sei}

B = (v 1 , · · · , v t )

^.

()Das System

B

^{isteine Basis von}

U

^.

()Es gilt

Mat B (f | ^U ) =



 

 

λ 1 · · · 0 0 λ

^{... ...}

.

.

. .

.

. .

.

.

1 0 · · · 0 λ



 

 

:= J (λ, t).

Beweis. ()Folgt aus dem obigenLemma.

()Esgilt

(f − λId V )(v k+1 ) = v k

^für

k ∈ [1, t − 1]

^{. Darausfolgt}

f (v k+1 ) = λv k+1 + v k

^.

Es giltauh

(f − λId V )(v 1 ) = 0

^,also

f (v 1 ) = λv 1

^{. DasLemma ist bewiesen.}

Denition 2.4.5 Die Matrix

J (λ, t)

^heiÿt Jordan-Blok der Gröÿe

t

^{zum Ei-}

genwert

λ

^.

2.5 Endomorphismus mit einem Eigenwert

Sei

f ∈ End(V )

^{. In diesem Kapitel nehmen wir an, dass}

χ f = (X − λ) ⁿ

^und

µ f = (X − λ) ^m

^{. Wie shreiben}

E i = E i (f, λ)

^{. Esgilt}

0 ( E 1 ( · · · ( E m = V.

Wirshreiben

g = f − λId _V

^.

Lemma 2.5.1 Sei

U

^{einUnterraummit}

E ₁ ∩ U = 0

^.Dannist

g | U : U → V

^injektiv.

Insbesondere gilt:Sei

B

^{eine Basis von}

U

^{, dann ist}

g( B )

^{eine Basisvon}

g (U )

^.

Beweis. Es gilt

Ker(g | ^U ) = U ∩ Kerg = U ∩ E 1 = 0

^.

WirbauenjetzteineZerlegungvon

V = E m

^{ineinedirekteSumme.}

Satz 2.5.2 Für alle

i ∈ [1, m]

^{, gibt es Unterräume}

U i ⊂ E i

^sodass

E _i = E _i−1 ⊕ M m−i

j=0

g ^j (U _i+j ).

Beweis. Nahabsteigender Induktion über

i ∈ [1, m]

^.

Für

i = m

^,wählenwir

U _m

^{einKomplementvon}

E _m−1

ⁱⁿ

E _m

^.Esgilt

E _m = E _m−1 ⊕ U _m

^.

Induktionsannahme: für

k ∈ [i + 1, m]

^{gibt es Unterräume}

U k ⊂ E k

^mit:

E i+1 = E i ⊕

m−i−1

M

j=0

g ^j (U i+j+1 ).

Lemma 2.5.3 Es gilt

E i−1 +

m−i X

j=1

g ^j (U i+j ) = E i−1 ⊕

m i

M

i=1

g ^j (U i+j ).

Beweis. Sei

v ∈ E i−1

^und

u i,j ∈ U i+j

^mit

v +

m−i X

j=1

g ^j (u i,j ) = 0.

Wirzeigen, dass

v = g ^j (u i,j ) = 0

^{für alle}

j ∈ [1, m − i]

^{.Es gilt}

m−i−1

X

j=0

g ^i+j (u i,j+1 ) = X m−i

j=1

g ^i+j−1 (u i,j ) = − g ⁱ⁻¹ (v) = 0.

Daraus folgt

m−i−1

X

j=0

g ^j (u i,j+1 ) ∈ E i .

Nah Induktionsannahme gilt

g ^j (u i,j+1 ) = 0

^{für alle}

j ∈ [0, m − i − 1]

^{. Es folgt}

g ^j+1 (u i,j+1 ) = 0

^{für alle}

j ∈ [0, m − i − 1]

^und

g ^j (u i,j ) = 0

^{für alle}

j ∈ [1, m − i]

^{. Es}

folgt auh

v = 0

^.

Sei

U _i

^{einKomplement von}

E _i−1 ⊕

m i

M

i=1

g ^j (U _i+j )

ⁱⁿ

E _i

^{. Esgilt}

E i = E i−1 ⊕ M m−i

j=0

g ^j (U i+j ).

Korollar 2.5.4 Seien

U i

^für

i ∈ [1, m]

^{wie im Satz 2.5.2. Sei}

B ⁱ

^{eine Basis von}

U i

^,

dann ist

g ^j ( B i )

^{eine Basisvon}

g ^j (U i )

^füralle

j ∈ [0, i − 1]

^.

Beweis. Nah Lemma 2.5.1, genügt es zu zeigen, dass

g ^j−1 (U _i ) ∩ E ₁ = 0

^{für alle}

j ∈ [0, i − 1]

^{. Sei}

v ∈ g ^j−1 (U i ) ∩ E 1

^{und sei}

u ∈ U i

^mit

g ^j−1 (u) = v

^{. Es gilt}

g ^j (u) = g(v) = 0

^{. Daraus folgt}

u ∈ U i ∩ E j ⊂ U i ∩ E i−1 = 0

^{. Esfolgt}

u = 0

^und

v = 0

^.

Korollar 2.5.5 Für alle

i ∈ [1, m]

^gilt

dim E i = dim E i−1 +

X m

k=i

dim U k

^und

dim U i = 2 dim E i − dim E i+1 − dim E − i − 1,

wobei

E m+1 = E m = V

^.

Beweis. DieersteDimensionsformelfolgtaus demSatz2.5.2und demKorollar2.5.4.

Die zweite Dimensionsformel folgt aus der ersten nah absteigender Induktion über

i

^.

Für

i = m

^gilt

dim E m = dim E m−1 + dim U m

^{. Daraus folgt die} Dimensionformel.

Induktionsannahme: Für

k ∈ [i + 1, m]

^gilt

dimU k = dim E k − dim E k+1 − dim E k−1

^.

Es gilt

dim E i = dim E i−1 + P m

k=i dim U k

^{. Daraus folgt}

dim U i = dim E i − dim E i−1 − P m

k=i+1 dim U k

= dim E i − dim E i−1 − 2 P m

k=i+1 dim E k + P m

k=i+1 dim E k+1 + P m

k=i+1 dim E k−1

= dim E i − dim E i−1 − 2 P m

k=i+1 dim E k + P m+1

k=i+2 dim E k + P m−1

k=i dim E k

= dim E _i − dim E _i−1 − dim E _i+1 − dim E _m + dim E _m+1 + dim E _i

= 2 dim E i − dim E i−1 − dim E i+1 .

Korollar 2.5.6 Es gilt

V = M m

i=1

M i−1

j=0

g ^j (U _i )

! .

Korollar 2.5.7 Seien

U i

^für

i ∈ [1, m]

^{wie imSatz 2.5.2 und seien}

B i

^Basenvon

U i

^.

Dannist

B = [ m

i=1 i−1 [

j=1

g ^j ( B i )

!

eine Basisvon

V

^.

Denition 2.5.8 Sei

m ∈ N

^{. Für}

i ∈ [1, m]

^{, sei}

n _i , d _i ∈ N

^und

A _i ∈ M _{n i} (K)

^{. Wir}

shreiben

diag(d 1 A 1 , · · · , d m A m )

^{für die} blokdiagonaleMatrix mit

d 1

^-Mal

A 1

^,

· · ·

^,

d m

^-Mal

A m

^{auf der Diagonale.}

Korollar 2.5.9 Esgilt

Mat B (f ) = diag(d 1 J(λ, 1), · · · , d m J(λ, m))

^wobei

d i = dim U i

^.

Beweis. Für

v ∈ U i

^,ist

(g ⁱ⁻¹ (v), · · · , g(v ), v )

^eine Jordan-Kettefür

f

^{zum Eigenwert}

λ

^{. Die Basis}

B

^{ist alsoeine} Vereinigung von Jordan-Ketten und dieobere Diagonal-

formder Matrix folgtdaraus.

2.6 Jordanshe Normalform

Satz 2.6.1 (Jordanshe Normalform) Sei

f ∈ End(V )

^{, so dass}

χ f

^(oder

µ f

^{) in}

Linearfaktoren zerfällt. Danngibt es eine Basis

B

^von

V

^so,dass

Mat B (f ) = diag(J (ζ 1 , n 1 ), · · · , J(ζ s , n s ))

, wobei die Matrizen

J(λ i , n i )

^{sind, bis auf} Vertaushen, eindeutig bestimmt sind.

DieseMatrixheiÿtJordan-Normalformvon

f

^.Die

ζ 1 , · · · , ζ s

^{sindnihtnotwendig}

paarweise vershieden.

Beweis. Ist

B

^eineBasismit

Mat B (f )

^{wieoben,sosagenwir,dass}

Mat B (f )

^inJordan-

Normalformist.Wir zeigen zuerst,dass eseine solhe Basisgibt.

Für die Einshränkung

f i

^von

f

^auf

H(f, λ i )

^gilt

(f i − λ i Id) ^{m i} = 0

^{. Nah Korollar}

2.5.9 gibt eseine Basis

B i

^von

H(f, λ i )

^so,dass

Mat B i (f i )

ⁱⁿ Jordan-Normalformist.

Sei

B = B 1 ∪ · · · ∪ B r

^{. Nah dem Satz 2.3.7,ist}

B

^{eine Basis von}

V

^{und es gilt}

Mat B (f ) = diag(Mat B ₁ (f 1 ), · · · , Mat B r (f r )).

Esfolgt, dass

Mat B (f)

ⁱⁿJordan-Normalform ist.

Wir zeigen jetzt, dass die Jordan-Blöke, bis auf Vertaushen, eindeutig bestimmt

sind. Sei

B = B 1 ∪ · · · ∪ B s

^{eine Basis mit}

B i = (v i,1 , · · · , v i,n i )

^{so, dass}

Mat B (f)

ⁱⁿ

Jordan-Normalformist.

Sei

J (ζ i , n i )

^ein Jordan-Blok von

Mat B (f)

^{. Dann ist}

v i,1

^ein Eigenvektor für den Eigenwert

ζ _i

^{.Esfolgt,dass dieSkalare}

ζ ₁ , · · · , ζ _s

^{dieEigenwerte von}

f

^{sindund also}

eindeutig bestimmt. Auÿerdem, gilt

v i,j ∈ E j (f, ζ i ) \ E j−1 (f, ζ i )

^für

j ∈ [1, n i ]

^{. Sei}

e j (λ) = dim E j (f, λ)

^{.Es folgt}

d _j (λ) = e _j (λ) − e _j−1 (λ) =

^{Anzahl der Elemente von}

{ i | ζ _i = λ

^und

n _i ≤ j } .

Sei

j t (λ)

^{die Anzahl von} Jordan-Blöken der Gestalt

J(λ, t)

^{in alle} Jordan-Blöken

J(ζ 1 , n 1 ), · · · , J(ζ s , n s )

^{. Es folgt}

d j (λ) = X

t≥j

j t (λ).

Daraus folgt

j t (λ) = d t (λ) − d t−1 (λ) = e t (λ) + e t−2 (λ) − 2e t−1 (λ).

Es folgt, dass

j t (λ)

^{nur von}

f

^{abhängt und dass die} Jordan-Blöke, bis auf Vertau-

shen, eindeutig bestimmt sind.

Sei

e _t (f, λ) = dim E _t (f, λ)

^{und sei}

j _t (f, λ)

^{die Anzahl von} Jordan-Blöke der Gröÿe

t

^{zum Eingenwert}

λ

^.

Korollar 2.6.2 Sei

f ∈ End(V )

^und

J

^{eine jordanshe Normalform für}

f

^.

()

J

^hat

dim E(f, λ) = e ₁ (f, λ)

Jordan-Blöke zum Eigenwert

λ

^.

()

J

^hat

j t (f, λ) = 2e t (f, λ) − e t+1 (f, λ) − e t−1 (f, λ)

Jordan-Blöke

J(λ, t)

^.

()Es gilt

e i (λ) = X

t≥1

min(i, t)j t (f, λ).

Beweis. ()folgt aus ()für

i = 1

^.

Wir haben imBeweisdes obigenSatzes gezeigt,dass

e i (λ) − e i−1 (λ) = d i (λ) = X

t≥i

j t (λ).

Es folgt

j t (f, λ) = d t (λ) − d t+1 (λ) = e t (f, λ) − e t−1 (f, λ) − (e t+1 (f, λ) − e t (f, λ))

Esgiltauh

e i (f, λ) = X i

k=1

d k (λ) = X i

k=1

X

t≥k

j t (λ) = X

t≥1

j t (λ) X

k≤i,t

1 = X

t≥1

min(i, t)j t (f, λ).

Denition 2.6.3 Das Spektrum

Σ(f )

^einesEndomorphismus

f

^(bzw.

Σ(A)

^einer

Matrix

A

^{) istdie Menge aller Eigenwerte von}

f

^{(bzw. von}

A

^).

Korollar 2.6.4 ZweiMatrizen

A, B ∈ M n (K)

^,sodass

χ A

^und

χ B

ⁱⁿLinearfaktoren zerfallen,sindgenau dannähnlih,wenn

dim E i (A, λ) = dim E i (B, λ)

^füralle

λ ∈ K

^.

Beweis. NahdemSatzsind

A

^und

B

^{genaudannähnlih,wenn}

A

^und

B

^dieselben

Jordan-Blöke haben. Nah dem obigen Korollar ist dies äquivalent zu

j t (A, λ) = j t (B, λ)

^{für alle}

λ ∈ K

^{und alle}

t ∈ N

^{. Nahdem obigen Korollar gilt}

j t (f, λ) = 2 dim E t (f, λ) − (dim E t−1 (f, λ) + dim E t+1 (f, λ)

und (nah Induktion) giltauh

dim E i (f, λ) = X

t≥1

min(i, t)j t (f, λ).

Es folgt,dass

A

^und

B

^{genau dann ähnlih sind, wenn}

dim E i (A, λ) = dim E i (B, λ)

füralle

λ ∈ K

^.

Beispiel 2.6.5 Seien

A =



 



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1



 



und

B =



 



1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1



 

 .

DieseMatrizen sind in Jordan-Normalform.Die Jordan-Blöke für

A

^sind

J(1, 1); J(1, 1); J(1, 2).

Die Jordan-Blöke für

B

^sind

J(1, 2); J (1, 2).

Es folgt,dass

A 6≈ B

^{(dies ist eine Lösung für die Übung nah dem Beispiel 1.10.8).}

Wir können die Dimension aller erweitertenEigenräume Bestimmen.Für

λ 6 = 1

^gilt

dim E i (A, λ) = dim E i (B, λ) = 0

^{für alle}

i

^{. Esgilt}

dim E 0 (A, 1) = 0, dim E 1 (A, 1) = 3

^und

dim E i (A, λ) = 4

^{für alle}

i ≥ 2.

dim E 0 (B, 1) = 0, dim E 1 (B, 1) = 2

^und

dim E i (B, λ) = 4

^{für alle}

i ≥ 2.