A

N. Perrin

Düsseldorf

Sommersemester 2014

1 Gruppen 5

1.1 Wiederholung . . . 5

1.1.1 Gruppen, Untergruppen . . . 5

1.1.2 Gruppenhomomorphismen . . . 6

1.1.3 Reht und LinksKlassen . . . 7

1.2 Normalteiler . . . 9

1.3 Zentrum . . . 13

1.4 Erzeuger und Zyklishe Gruppe . . . 14

1.5 Ordung eines Elements . . . 16

1.6 Derivierte Untergruppe . . . 17

1.7 Semidirekte Produkte . . . 18

1.8 Operation einer Gruppe aufeiner Menge . . . 20

1.9 Symmetrishe Gruppe . . . 25

1.10 Sylow Sätze . . . 28

1.11 Auösbare Gruppen . . . 33

2 Ringe 36 2.1 Grundbegrie . . . 36

2.1.1 Denition . . . 36

2.1.2 Ringhomomorphismus . . . 38

2.1.3 Unterringeund Ideale . . . 39

2.1.4 Quotienten . . . 40

2.1.5 Erzeuger . . . 41

2.1.6 Isomorphiesätze . . . 42

2.1.7 Primidealeund maximaleIdeale . . . 43

2.1.8 TeilerfremdeIdeale . . . 45

2.2 Quotientkörper . . . 48

2.3 Noethershe Ringe . . . 49

2.4 Teilbarkeit . . . 50

2.4.1 Assoziierte, irreduzibelund Primelemente . . . 50

2.4.2 Faktorielle Ringe . . . 53

2.4.3 Satz von Gauÿ . . . 56

2.5 Anwendung: irreduzible Polynome . . . 59

3 Körper 62

3.2 Algebraishe und transzendente Elemente. . . 64

3.3 Konstruktionen mitZirkel und Lineal . . . 69

4 Galois Theorie 76 4.1 Zerfallungskörper . . . 76

4.2 Normale und separable Erweiterungen . . . 80

4.2.1 Normale Erweiterungen. . . 80

4.2.2 Separable Erweiterungen . . . 82

4.2.3 Galois Theorie. . . 83

4.2.4 Algebraisher Abshluÿ . . . 91

4.3 Endlihe Körper. . . 91

4.3.1 Existenz . . . 91

4.3.2 PrimitivesElement . . . 93

4.3.3 Galois Gruppe. . . 94

4.4 Satz vomprimitiven Element . . . 94

4.5 Einheitswurzeln und Kreisteilungskörper . . . 95

4.6 Radikalerweiterungen . . . 99

5 Diskriminante 105 5.1 Resultante . . . 105

5.2 Diskriminante . . . 109

1.1 Wiederholung

1.1.1 Gruppen, Untergruppen

Denition 1.1.1 EineGruppeisteineMenge

G

^miteinerVerknüpfung

G × G → G, (x, y) 7→ x · y

^{so, dass}

1. Es existiert einneutrales Element

e

ⁱⁿ

G

^mit

e · x = x · e = x

^{für alle}

x ∈ G

^.

2. Die Verknüpfung ist assoziativ i.e.

x · (y · z) = (x · y) · z

^{für alle}

x, y, z ∈ G

^.

3. jedes

x ∈ G

^{hat eininverses Element}

y ∈ G

^mit

x · y = y · x = e

^.

Denition 1.1.2 EineGruppe

G

^{heiÿtkommutativoderabelshfalls}

x · y = y · x

giltfür alle

x, y ∈ G

^.

Beispiel 1.1.3 1.

Z

^mit

+

^{ist eine Gruppe.}

2. Sei

n ∈ Z

^und

Z/nZ = {

Restklassen modulo

n }

^{. Dann ist}

Z/nZ

^mit

+

^eine

Gruppe.

3. Sei

K

^{ein Körper. Dannist}

GL n (K)

^mitMatrixmultiplikationeine Gruppe.

4.

S _n

^diePermutationsgruppemit

◦

^der KompositionvonAbbildungen als Verknüp- fungist eine Gruppe.

Lemma 1.1.4 Sei

G

^{eine Gruppeund seien}

x, y, z

^Elementein

G

^.

1.Das neutrale Element

e G

^{ist eindeutig bestimmt.}

2. Das inverse Element

x ^{− 1}

^von

x

^{ist eindeutig bestimmt.}

3.

xy = xz ⇒ y = z

^und

yx = zx ⇒ y = z

^,

4.

(x ^{− 1} ) ^{− 1} = x

^.

5.

(xy) ^{− 1} = y ^{− 1} x ^{− 1}

^.

Beweis. Siehe LAI.

Bemerkung 1.1.5 Sei

n ≥ 0

^{eine ganze Zahl. Aus 5. folgt per Induktion, dass}

(x ⁿ ) ^{− 1} = (x ^{− 1} ) ⁿ

^{. Wir shreiben}

x ^{− n}

^für

(x ⁿ ) ^{− 1} = (x ^{− 1} ) ⁿ

^{also ist}

x ⁿ

^{für alle}

n ∈ Z

deniert und esgilt

x ⁿ x ^m = x ^n+m

^{für alle}

n, m ∈ Z

^.

Lemma 1.1.6 Seien

G

^und

G ^′

^{zweiGruppenundsei}

(a, b) · (a ^′ , b ^′ ) = (aa ^′ , bb ^′ )

^.Dann

ist

G × G ^′

^{mit diesemProdukt eine Gruppe.}

Beweis. Übung.

Denition 1.1.7 Seien

G

^und

G ^′

^{zwei Gruppen. DasProdukt}

G × G ^′

^mitVerknüp-

fung

(a, b) · (a ^′ , b ^′ ) = (aa ^′ , bb ^′ )

^heiÿt Produkt-Gruppe von

G

^und

G ^′

^.

Denition 1.1.8 Sei

G

^{eine Gruppe. Eine Teilmenge}

H ⊂ G

^heiÿt Untergruppe von

G

^{falls gilt:}

1.

1 ∈ H

^,

2.

x, y ∈ H ⇒ x · y ^{− 1} ∈ H

^.

Lemma 1.1.9 Eine Untergruppe isteine Gruppe.

Beweis. Siehe LAI.

Beispiel 1.1.10 1.Sei

G

^{eineGruppe.Dannist}

H = { e G }

^dieTrivialuntergruppe eine Untergruppe von

G

^.

2.Sei

n ∈ Z

^{. Dannist}

nZ = { m ∈ Z | n

^teilt

m }

^eine Untergruppe von

(Z, +)

^.

3.Sei

K

^{einKörper. Dann ist}

SL n (K)

^eine Untergruppe von

GL n (K)

^.

1.1.2 Gruppenhomomorphismen

Denition 1.1.11 Seien

G

^und

G ^′

^{zweiGruppen. EineAbbildung}

f : G → G ^′

^heiÿt

Gruppenhomomorphismus falls für alle

x, y ∈ G

^gilt

f (xy ) = f(x)f (y).

Beispiel 1.1.12 1. die Abbildung

exp : (R, +) → (R >0 , × )

^{ist ein} Gruppenhomo- morphismus.

2.Sei

K

^{einKörper. Dannist}

det : GL n (K) → (K ^× , × ) = (K \ { 0 } , × )

^einGruppen-

homomorphismus.

Lemma 1.1.13 Sei

f : G → G ^′

^ein Gruppenhomomorphismus dann gilt für alle

x ∈ G

f(e G ) = e G ^′

^und

f (x ^{− 1} ) = f(x) ^{− 1} .

Beweis. Siehe LAI.

Denition 1.1.14 Sei

f : G → G ^′

^ein Gruppenhomomorphismus, dann heiÿt die Teilmenge

Ker(f ) = { x ∈ G | f (x) = e G ^′ }

^von

G

^{der Kern von}

f

^.

Lemma 1.1.15 Sei

f : G → G ^′

^ein Gruppenhomomorphismus. Sei

H

^{eine Unter-}

gruppe von

G

^und

H ^′

^eine Untergruppe von

G ^′

^.

1.Dann sind

f (H)

^und

f ^{− 1} (H ^′ )

Untergruppen von

G ^′

^und

G

^.

2. Für

H ^′ = { e _G ^′ }

^ist

Ker(f) = f ^{− 1} (H ^′ )

^eine Untergruppe von

G

^.

3. Für

H = G

^{istdas Bild}

f (G)

^von

f

^eine Untergruppe von

G ^′

Beweis. Siehe Übungsblatt 0.

Beispiel 1.1.16 Die Signatur

ε : S n → {± 1 }

^{ist ein} Gruppenhomomorphismus.

WirShreiben

A n = Kerε

^fürdie Alternierende Gruppe. Die Gruppe

A n

^isteine

Untergruppevon

S n

^.

Lemma 1.1.17 Sei

f : G → G ^′

^ein Gruppenhomomorphismus.Die Abbildung

f

^ist

genaudann injektiv, wenn

Ker(f ) = { e G }

^.

Beweis. Siehe LAI.

Denition 1.1.18 Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus

f : G → G ^′

^{heiÿt Iso-}

morphismus oder Gruppenisomorphismus.Wenn

G ^′ = G

^heiÿteinGruppeniso- morphismusGruppenautomorphismus oder Automorphismus.

Lemma 1.1.19 Sei

G

^{eine Gruppe und}

g ∈ G

^{. Dann ist}

Int g : G → G

^deniert

durh

Int g (h) = ghg ^{− 1}

^einGruppenautomorphismus.

Beweis. Siehe Übungsblatt 0.

Denition 1.1.20 Sei

G

^{eine Gruppe und}

g ∈ G

^{. Dann heiÿt}

Int g

^{innerer Grup-}

penhomomorphismus oder Konjugation mit

g

^. Gruppenautomorphismen, die nihtdieser From sind heiÿenäuÿere Automorphismen.

1.1.3 Reht und Links Klassen

Denition 1.1.21 Sei

G

^{eine Gruppe und}

H

^eine Untergruppe. Man deniert die Relation

∼

^durh

g ^′ ∼ g ⇔ ∃ h ∈ H

^mit

g ^′ = gh.

Lemma 1.1.22 Die Relation

∼

^{ist eine} Äquivalenzrelation und die Klasse eines Element

g ∈ G

^{istdieTeilmenge}

g ¯ = [g] = gH = { gh ∈ G | h ∈ H }

^.Die Äquivalenz- klassen heiÿenLinksklassen.

Beweis. Siehe Übungsblatt 0.

Denition 1.1.23 Sei

G

^{eine Gruppe und}

H

^eine Untergruppe.

1. Die Menge aller Äquivalenzklassen heiÿt Quotient von

G

^nah

H

^{und ist}

G/H

bezeihnet.

2. Die kanonishe Projektion ist die Abbildung

G → G/H

^{deniert durh}

g 7→

¯

g = [g] = gH

^.

Bemerkung 1.1.24 Analog kann man die Äquivalenzrelation

g ^′ ∼ R g ⇔ ∃ h ∈ H

^mit

g ^′ = hg

^denieren.DieÄquivalenzklassenheiÿenRehtsklassen

Hg = { hg ∈ G | h ∈ H }

^{und die Menge aller} Rehtsklassen ist

H \ G

^{.Man kann auh diekanoni-}

she Projektion

G → H \ G

^durh

g 7→ Hg

^denieren.

Satz 1.1.25 Sei

G

^{eine Gruppe und}

H

^eine Untergruppe von

G

^.

1. Esgilt

gH ∩ gH ^′ 6 = ∅ ⇒ gH = g ^′ H

^(m.a.W.

gH 6 = g ^′ H ⇒ gH ∩ gH ^′ = ∅

^).

2.Es gilt

G = S

gH ∈ G/H gH

^.

Beweis. Siehe LAI. Wir geben trozdem einen Beweis.

1. Sei

gh ∈ gH ∩ g ^′ H

^{. Dann gibt es}

h ^′ ∈ H ^′

^mit

gh = g ^′ h ^′

^{. Sei}

gh ^′′ ∈ gH

^{. Danngilt}

gh ^′′ = ghh ^{− 1} h ^′′ = g ^′ h ^′ h ^{− 1} h ^′′ ∈ g ^′ H

^also

gH ⊂ g ^′ H

^{.Analog gilt}

g ^′ H ⊂ gH

^.

2.Sei

g ∈ G

^{. Dann gilt}

g ∈ gH

^{. Umgekehrt gilt}

gH ⊂ G

^.

Korollar 1.1.26 (Satz von Lagrange) Esgilt

| G | = | G/H || H |

^.

Beweis. Die Gruppe

G

^{ist die disjunkte} Vereinnigung aller

gH

^für

gH = ¯ g ∈ G/H

alsogilt

| G | = X

¯ g ∈ G/H

| gH | .

Aber die Abbildungen

gH → g ^′ H

^und

g ^′ H → gH

^{deniert durh}

a 7→ g ^′ g ^{− 1} a

^und

a 7→ gg ^{′− 1} a

^{sind inverse von einander. Es gilt also}

| gH | = | g ^′ H |

^{für alle}

g, g ^′ ∈ G

und insbesondere für

g ^′ = e G

^gilt

| gH | = | H |

^{. Daraus folgt}

| G | = P

¯

g ∈ G/H | gH | = P

¯

g ∈ G/H | H | = | G/H || H |

^.

Denition 1.1.27 Sei

G

^{eine Gruppe und}

H

^eine Untergruppe von

G

^.

1. Die Ordnung von

G

^ist

| G |

^{dieAnzahl aller Elementen in}

G

^{(die Mähtigkeit}

von

G

^).

2.Der Index von

H

ⁱⁿ

G

^ist

[G : H] = | G/H |

^.

Korollar 1.1.28 Sie

G

^{eine endlihe Gruppe und}

H

^eine Untergruppe. Dann sind dieOrdnung

| H |

^{und der Index}

[G : H]

^von

H

^{Teiler der Ordnung}

| G |

^von

G

^.

1.2 Normalteiler

Denition 1.2.1 Sei

G

^{eine Gruppe.Eine} Untergruppe

H

^von

G

^{heiÿt Normaltei-}

lerfalls für alle

g ∈ G

^gilt

gHg ^{− 1} ⊂ H

^{. Manshreibt}

H ⊳ G

^.

Bemerkung 1.2.2 Eine Untergruppe

H

^{ist genau dann ein}Normalteilerwenn gilt

ghg ^{− 1} ∈ H

^{für alle}

g ∈ G

^{und alle}

h ∈ H

^.

Lemma 1.2.3 Jede Untergruppeeiner abelshen Gruppe

G

^{ist normal.}

Beweis. Klar.

Lemma 1.2.4 Eine Untergruppe

H

^{ist genau dann} Normalteiler, wenn

gH = Hg

füralle

g ∈ G

^.

Beweis. Siehe Übungsblatt 0.

Beispiel 1.2.5 1.DietrivialeUntergruppe

{ e G }

^unddieGruppe

G

^sindNormalteiler von

G

^:

{ e G } ⊳ G

^und

G ⊳ G

^.

2.

nZ ⊳ Z

^.

3.

SL n (K) ⊳ GL n (K )

^aber

SO n (K) 6 ⊳ GL n (K )

^.

Lemma 1.2.6 Sei

f : G → G ^′

^einGruppenhomomorphismus und seien

H ⊳ G

^und

H ^′ ⊳ G ^′

^.

1.Dann ist

f ^{− 1} (H ^′ ) ⊳ G

^. Insbesondere gilt

Kerf ⊳ G

^.

2. Falls

f

^{sujektiv ist, gilt}

f (H) ⊳ G ^′

^.

Beweis. 1. Sei

g ∈ G

^und

h ∈ f ^{− 1} (H ^′ )

^{. Dann gilt}

f (ghg ^{− 1} ) = f(g)f (h)f (g) ^{− 1} ∈ H ^′

also

ghg ^{− 1} ∈ f ^{− 1} (H ^′ )

^.

2.Sei

g ^′ ∈ G ^′

^und

h ^′ ∈ f(H)

^{.Danngibtesein}

h ∈ H

^mit

h ^′ = f (h)

^.Da

f

^surjektivist

gibt es ein

g ∈ G

^mit

f (g) = g ^′

^{. Dann gilt}

g ^′ h ^′ g ^{′− 1} = f (g)f(h)f (g ^{− 1} ) = f (ghg ^{− 1} ) ∈

f(H)

^.

Satz 1.2.7 Sei

H ⊳ G

^.DannistdieVerknüpfung

G/H × G/H → G/H

^,

(¯ g, g ¯ ^′ ) 7→ gg ^′

wohl deniert und

G/H

^istmitdieser Verknüpfung einer Gruppe.Auÿerdem istdie kanonishe Projektion

G → G/H

^einGruppenhomomorphismus.

Beweis. Seien

a, b ∈ G

^mit

¯ a = ¯ g

^und

¯ b = ¯ g ^′

^{. Wir zeigen, dass}

ab = gg ^′

^{. Sei}

h ∈ H

mit

a = gh

^und

h ^′ ∈ H

^mit

b = g ^′ h ^′

^{. Da}

g ^′ H = Hg ^′

^{gibt es}

h ^′′ ∈ H

^mit

hg ^′ = gh ^′′

^.

Esgilt

ab = abH = ghg ^′ h ^′ H = gg ^′ h ^′′ h ^′ H = gg ^′ H = gg ^′ .

Es gilt

g ¯ e ¯ G = ge G = ¯ g

^{und analog gilt}

¯ e G g ¯ = ¯ g

^{also gilt}

e ¯ G = e G/H

^{. Es gilt}

¯

g(¯ g ^′ g ¯ ^′′ ) = ¯ gg ^′ b ^′′ = g(g ^′ g ^′′ ) = (gg ^′ )g ^′′ = gg ^′ ¯ g ^′′ = (¯ g g ¯ ^′ )¯ g ^′′

^{. Esgilt}

¯ gg ^{− 1} = gg ^{− 1} = e G

^und

analog

g ^{− 1} g ¯ = e G

^{. Daraus folgtauh, dass diekanonishe Projektionein Guppenho-}

momorphismusist.

Denition 1.2.8 Sei

H

^einNormalteilervon

G

^{.Die Gruppe}

G/N

^{heiÿtQuotient-}

gruppe von

G

^nah

H

^.

Beispiel 1.2.9 Die Gruppe

Z/nZ

^istdie Quotientgruppevon

Z

^nah

nZ

^.

Satz 1.2.10 Sei

f : G → G ^′

^ein Gruppenhomomorphismus, sei

H

^ein Normalteiler von

G

^{und sei}

p : G → G/H

^diekanonishe Projektion.

1. Es gibt ein eindeutig bestimmter Gruppenhomomorphismus

f ¯ : G/H → G ^′

^so,

dass das Diagram

G ^{f //}

p

G ^′ G/H

f ¯

<<

y y y y y y y y

kommutiert,genau dann wenn

H ⊂ Kerf

^.

Angenommen

H ⊂ Kerf

^{und sei}

f ¯

^{wie in1.}

2.Die Abbildung

f ¯

^{istgenau dann injektiv, wenn}

H = Kerf

^.

3.Die Abbildung

f ¯

^{istgenau dann surjektiv, wenn}

f

^{surjektiv ist.}

Beweis. 1. Sei

f ¯

^{wie oben und sei}

h ∈ H

^{. Dann gilt}

f(h) = ¯ f ◦ p(h)

^{. Aber}

p(h) = [h] = hH = H = [e G ] = e G/H

^{. Daraus folgt}

f(h) = ¯ f (e G/H ) = e G ^′

^da

f ¯

^ein

Gruppenhomomorphismusist. Esfolgt

H ⊂ Kerf

^.

Umgekehrt sei

H ⊂ Kerf

^{. Sei}

g ∈ G

^{, wir setzen}

f([g]) = ¯ f(g)

^{(die ist die einzige}

Mögligkeitso,dassdasDiagramkommutiert,dieszeigt,dass

f ¯

^{eindeutigbestimtist).}

Sei

g ^′

^mit

[g ^′ ] = [g]

^.Esgibt

h ∈ H

^mit

g ^′ = gh

^undesgilt

f (g ^′ ) = f (gh) = f (g)f(h) = f (g)e G ^′ = f (g )

^{. Also ist die Abbildung}

f ¯

^{wohl deniert. Auÿerdem gilt}

f([g][g ¯ ^′ ]) = f ¯ ([gg ^′ ]) = f (gg ^′ ) = f (g)f(g ^′ ) = ¯ f([g]) ¯ f([g ^′ ])

^und

f ¯

^isteinGruppenhomomorphismus.

Darüber hinausgilt

f ¯ ◦ p(g) = ¯ f ([g ]) = f (g )

^{und das Diagram ist} kommutativ.

2. Sei

f ¯

^{injektiv. Dann gilt}

Ker ¯ f = { e G/H }

^{. Sei}

g ∈ Kerf

^{. Es gilt}

f([g]) = ¯ e G ^′

^also

[g] ∈ Ker ¯ f

^{und da}

f ¯

^{injetiv ist, gilt}

[g ] = e _G/H

^{. Es folgt}

gH = [g] = e _G/H = H

^und

g ∈ H

^{. Also}

Kerf ⊂ H

^{und da}

H ⊂ Kerf

^folgt

H = Kerf

^.

Umgekehrt sei

H = Kerf

^{und sei}

[g] ∈ Ker ¯ f

^{. Es gilt}

f (g) = ¯ f([g]) = e G ^′

^also

g ∈ Kerf = H

^{.Es folgt}

[g ] = H = e _G/H

^und

f ¯

^{ist injektiv.}

3. Sei

f

^{surjektiv und sei}

g ^′ ∈ G ^′

^{. Dann gibt es}

g ∈ G

^mit

f (g) = g ^′

^{. Es gilt}

f ¯ ([g ]) = f(g ) = g ^′

^alsoist

f ¯

^{auhsurjektiv.}

Umgelehrt,sei

f ¯

^{surjektivundsei}

g ^′ ∈ G ^′

^.Esgibt

[g] ∈ G/H

^mit

f ¯ ([g]) = g ^′

^.Daraus

folgt

f(g) = ¯ f ([g]) = g ^′

^und

f

^{istsurjektiv.}

Korollar 1.2.11 Sei

f : G → G ^′

^ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gilt

G/Kerf ≃ G ^′

^.

Beispiel 1.2.12 1. Esgilt

GL n (k)/ SL n (K) ≃ k ^×

^{(derKernel des} surjektiven Grup- penhomomorphismus

det : GL n (k) → k ^×

^ist

SL n (k)

^).

2. Es gilt

C ^× /S ¹ ≃ R _>0

^{(der Kernel des} surjektiven Gruppenhomomorphismus

| · | : C ^× → R >0

^ist

S ¹

^).

3.Esgilt

R/Z ≃ S ¹

^{(derKernel des}surjektiven Gruppenhomomorphismus

r 7→ e ^2iπr

ist

Z

^).

4. Es gilt

S n /A n ≃ {± 1 }

^{(der Kernel des} surjektiven Gruppenhomomorphismus

ε : S n → {± 1 }

^ist

A n

^).

Denition 1.2.13 EinDiagram

1 ^// H ^{i //} G ^{f //} G ^{′ //} 1

^{heiÿtexakte Se-}

quenz,

ˆ wenn alleAbbildungen Gruppenhomomorphismensind,

ˆ wenn

i

^{injektiv ist,}

ˆ wenn

f

^{surjektiv ist und}

ˆ wenn

i(H) = Kerf

^.

Bemerkung 1.2.14 Falls

1 ^// H ^{i //} G ^{f //} G ^{′ //} 1

^{eineexakteSequenzist,}

gilt

G ^′ ≃ G/H

^.

Beispiel 1.2.15 Es gibt (Siehe Übungsblatt 1)eine exakte Sequenz

1 → A 3 ≃ Z/3Z → S 3 → {± 1 } ≃ Z/2Z → 1.

Denition 1.2.16 Eine Gruppe

G

^{heiÿt einfah falls}

G

^und

{ e G }

^{dieeinzige Nor-}

malteilervon

G

^sind.

Beispiel 1.2.17 1.Die Gruppe

Z/nZ

^{istgenaudann einfah,wenn}

p

^einePrimzahl

ist(Siehe Übungsblatt 1).

2. Später zeigen wir, dass die Gruppe

A n = Ker(ε : S n → {± 1 } )

^{einfah für}

n ≥ 5

ist.

Denition 1.2.18 Sei

G

^{eineGruppeund}

H

^eineUntergruppe.DerNormalisator

N _G (H)

^von

H

ⁱⁿ

G

^ist

N G (H) = { g ∈ G | gHg ^{− 1} = H } .

Lemma 1.2.19 Sei

G

^{eine Gruppe und}

H

^eine Untergruppe.

1. Der Normalisator

N G (H)

^isteine Untergruppe von

G

^.

2.Es gilt

H ⊳ N _G (H)

^(also

H

^istNormalteilerin

N _G (H)

^).

3.Sei

K

^eine Untergruppe von

G

^mit

H ⊳ K

^{. Danngilt}

K ⊂ N _G (H)

^(i.e.

N _G (H)

^ist

diegröÿte Untergruppe von

G

^mit

H ⊳ N G (H)

^).

Beweis. 1. Es gilt

e G He ⁻ _G ¹ = e G He G = H

^also

e G ∈ N G (H)

^{. Seien}

a, b ∈ N G (H)

^.

Dann gilt

aHa ^{− 1} = H

^und

bHb ^{− 1} = H

^also

b ^{− 1} Hb = H

^{.Daraus folgt}

(ab ^{− 1} )H(ab ^{− 1} ) ^{− 1} = ab ^{− 1} Hba ^{− 1} = aHa ^{− 1} = H

und

ab ^{− 1} ∈ N G (H)

^und

N G (H)

^{ist eine} Untergruppe von

G

^.

2.Klar.

3.Sei

K

^eine Untergruppe mit

H ⊳ K

^{. Sei}

k ∈ K

^{. Dann gilt}

kH ^{− 1} ⊂ K

^{. Da}

K

^eine

Gruppe ist gilt auh

k ^{− 1} ∈ K

^also

k ^{− 1} Hk ⊂ H

^{und mit} Linksmultiplikation mit

k

und Rehtsmultiplikation mit

k ^{− 1}

^folgt

H ⊂ kHk ^{− 1}

^{. Daraus folgt}

kHk ^{− 1} = H

^und

k ∈ N G (H)

^.

Beispiel 1.2.20 Sei

G = S 3

^{und sei}

H = { (123) =

^Id

, (213) }

^und

A 3 = { (123) =

Id

, (231), (312) }

^.Dannsind

H

^und

A 3

Untergruppevon

G

^{und esgilt(sieheÜbungs-}

blatt 1)

N G (H) = H

^und

N G (A 3 ) = S 3 .

Satz 1.2.21 (Erster Isomorphiesatz) Sei

G

^eineGruppe,

H ⊳ G

^einNormalteiler von

G

^und

K ⊂ G

^eine Untergruppevon

G

^.

1. Danngilt

HK = KH

^,

KH ⊂ G

^isteine Untergruppe,

H ⊳ KH

^und

K ∩ H ⊳ K

^.

2.Die Abbildung

f : K/(K ∩ H ) → KH/H

^{deniert durh}

k(K ∩ H) 7→ kH

^{ist ein}

Isomorphismusalso

K/(K ∩ H) ≃ KH/H.

Beweis. 1. Sei

h ∈ H

^und

k ∈ K

^{. Da}

H

^ein Normalteiler ist, gilt

khk ^{− 1} ∈ H

^und

es folgt

kh ∈ Hk ⊂ HK

^{. Daraus folgt}

KH ⊂ HK

^{. Analog gilt}

k ^{− 1} hk ∈ H

^und

hk ∈ kH ⊂ KH

^{.Daraus folgt}

HK ⊂ KH

^und

KH = HK

^.

Da

e G ∈ H

^und

e G ∈ K

^gilt

e G ∈ KH

^{. Seien}

k, k ^′ ∈ K

^und

h, h ^′ ∈ H

^{so, dass}

kh, k ^′ h ^′ ∈ KH

^{. Es gilt}

kh(k ^′ h ^′ ) ^{− 1} = khh ^{′− 1} k ^{′− 1} ∈ KHK = KKH = KH

^{. Daraus}

folgt,dass

KH

^eine Untergruppe ist.

Da

H

^ein Normalteiler ist, gilt

gHg ^{− 1} ⊂ H

^{für alle}

g ∈ G

^. Insbesondere für alle

g ∈ KH

^{und es folgt}

H ⊳ KH

^.

Sei

g ∈ H ∩ K

^und

k ∈ K

^{. Es gilt}

kgk ^{− 1} ∈ K

^{und da}

H

^ein Normalteiler ist, gilt auh

kgk ^{− 1} ∈ H

^{. Also}

kgk ^{− 1} ∈ H ∩ K

^und

H ∩ K ⊳ K

^.

2. Sei

f : K → KH/H

^{die Abbildung deniert durh}

f (k) = kH

^{. Seien}

k, k ^′ ∈ K

^.

Es gilt

f (kk ^′ ) = kH · k ^′ H = kk ^′ H = f (kk ^′

^{also ist}

f

^einGruppenhomomorphismus.

Seien

k ∈ K

^und

h ∈ H

^{. Dann gilt}

f (k) = kH = khH

^und

f

^{ist surjektiv. Sei}

k ∈ K ∩ H

^{. Danngilt}

f (k) = kH = H = e KH/H

^also

H ∩ K ⊂ Kerf

^.Sei

k ∈ KKerf

^.

Danngilt

kH = f (k) = H

^und

k ∈ H

^also

k ∈ K ∩ H

^{. Esfolgt}

H ∩ K = Kerf

^.Nah

Korollar1.2.11 folgt,dass

K/(H ∩ K ) ≃ KH/H

^.

Satz 1.2.22 (Zweiter Isomorphiesatz) Sei

G

^{eine Gruppe und seien}

H ⊳ G

^und

K ⊳ G

^mit

K ⊂ H

^.

1.Dann gilt

K ⊳ H

^und

H/K ⊳ G/K

^.

2.DieAbbildung

f : (G/K)/(H/K) → G/H

^deniertdurh

gK · H/K 7→ gH

^istein

Isomorphismusalso

(G/K)/(H/K) ≃ G/H.

Beweis. 1. Sei

h ∈ H ⊂ G

^{. Da}

K ⊳ G

^gilt

hKh ^{− 1} = K

^und

K ⊳ H

^.

Die Teilmenge

H/K ⊂ G/K

^ist

π K (H)

^,wobei

π : G → G/K

^{diekanonishe Projek-}

tion ist.Da

H ⊳ G

^und

π

^{surjektiv folgt,dass}

H/K ⊳ G/K

^.

2. Die kanonishe Projektion

π H : G → G/H

^{ist ein} surjektiver Gruppenhomomor- phismusund es gilt

K ⊂ H = Kerπ H

^{.Daraus folgt, dass esein}surjektiver Gruppen- homomorphismus

F = ¯ π H : G/K → G/H

^{gibt mit}

π H = π K ◦ F

^also

F ([g] K ) = [g] H

^.

Wir zeigen, dass

KerF = H/K

^{. Daraus folt, dass es ein} Gruppenisomorphismus

F ¯ : (G/K)/(H/K) → G/H

^{gibt mit}

F ¯ ([[g] K ] H/K ) = [g] H

^{. Sei}

[g] K ∈ KerF

^{. Dann}

gilt

[e _G ] _H = F ([g ] _K ) = [g] _H

^also

g ∈ H

^und

[g ] _K ∈ H/K

^{.Umgekehrt,sei}

[g] _K ∈ H/K

also

[g] K = [h] K

^{für ein}

h ∈ H

^{i.e. es gibt ein}

k ∈ K

^mit

g = hk

^{. Da}

K ⊂ H

^gilt

g ∈ H

^{. Daraus folgt}

[g] H = [e G ] H

^und

F ([g] K ) = [g] H = [e G ] H

^also

[g] K ∈ KerF

^.

Umgekehrt,sei

[g] _K ∈ KerF

^.Esgilt

[g] _H = F ([g] _K ) = [e _G ] _H

^also

g ∈ H

^{.Daraus folgt}

[g] K ∈ H/K

^.

1.3 Zentrum

Denition 1.3.1 Sei

G

^{eine Gruppe.}

1.Das Zentrum einer Gruppe

G

^{istdie Menge}

Z (G) = { g ∈ G | gh = hg

^{für alle}

h ∈ G } .

2. Sei

X ⊂ G

^{eine Teilmenge. Der} Zentralisator von

G

^{istdieTeilmenge}

Z G (X) = { g ∈ G | gx = xg

^{für alle}

x ∈ X } .

Bemerkung 1.3.2 Es gilt

Z(G) = Z G (G)

^.

Beispiel 1.3.3 1.Sei

G

^eine kommutativeGruppe.Dann gilt

Z(G) = G

^.

2.Sei

G = S n

^{. Danngilt}

Z(S n ) = {

^Id

}

^(Siehe Übungsblatt 2) für

n ≥ 3

^.

Lemma 1.3.4 Sei

G

^{eine Gruppe und}

X ⊂ G

^{eine Teilmenge.}

1. Der Zentralisator

Z _G (X)

^isteine Untergruppe.

2.Das Zentrum

Z(G)

^isteinNormalteilervon

G

^und

Z _G (X)

^{und ist abelsh.}

3.Es gilt

G/Z(G) ≃ {

^innereAutomorphismen

}

^.

4.Falls

G/Z(G)

^{zyklish ist (siehe Denition 1.4.2 unten), gilt}

G = Z(G)

^also

G

^ist

abelsh.

Beweis. 1.Esgilt

e _G x = xe _G

^füralle

x ∈ G

^alsoist

e _G ∈ Z _G (X)

^.Seien

g, h ∈ Z _G (X)

^.

Es gilt

gx0xg

^und

hx = xh

^füralle

x ∈ X

^{. Daraus folgt}

xh ^{− 1} = h ^{− 1} x

^füralle

x ∈ X

und

xgh ^{− 1} = gxh ^{− 1} = gh ^{− 1} x

^i.e.

gh ^{− 1} ∈ Z G (X)

^.

2.Nahder Denitiongilt

Z(G) ⊂ Z G (X)

^.Sei

z ∈ Z(G)

^und

g ∈ G

^{. Esgilt}

gzg ^{− 1} = gg ^{− 1} z = z

^also

gzg ^{− 1} ∈ Z(G)

^{. Daraus folgt, dass}

Z(G)

^ein Normalteiler in

G

^und

Z G (X)

^{ist. Seien}

z, z ^′ ∈ Z (G)

^{. Es gilt}

zz ^′ = z ^′ z

^also

Z(G)

^{ist abelsh.}

3. Sei

f : G → {

^innere Automorphismen

}

^{deniert durh}

f(g) = Int _g

^{. Diese Abbil-}

dung ist surjetiv und es gilt

f (gh) = Int gh = Int g ◦ Int h

^{(es gilt}

Int g ◦ Int h (g ^′ ) = Int g (hg ^′ h ^{− 1} = ghg ^′ h ^{− 1} g ^{− 1} = (gh)g ^′ (gh) ^{− 1} = Int gh (g ^′ )

^{).DieAbbildungistalsoeinsur-}

jektiverGruppenhomomorphismus.Sei

g ∈ Ker(f)

^.Esgilt

Int _g =

^Idalso

Int _g (h) = h

für alle

h ∈ G

^{. Dies istäquivalent zu}

ghg ^{− 1} = h

^{für alle}

h ∈ H

^{und auhzu}

gh = hg

für alle

h ∈ G

^{. Also}

Ker(f ) = Z (G)

^.

4. Seien

g, h ∈ G

^{und sei}

π : G → G/Z(G)

^{die kanonishe} projektion. Da

G/Z(G)

zyklish ist gibt es ein

a ∈ G

^mit

G/Z(G) = h [a] i

^. Insbesondere gibt es

n, m ∈ Z

mit

[g] = [a] ⁿ

^und

[h] = [a ^m ]

^{. Es gibt also}

z, z ^′ ∈ Z(G)

^mit

g = a ⁿ z

^und

h = a ^m z ^′

^.

Daraus folgt

gh = a ⁿ za ^m z ^′ = a ^m z ^′ a ⁿ z = hg

^und

G

^istkommutativ.

1.4 Erzeuger und Zyklishe Gruppe

Lemma 1.4.1 Sei

G

^{eine Gruppe.}

1. Sei

(H i ) i ∈ I

^{eine Familie von} Untergruppen von

G

^{. Dann ist}

T

i ∈ I H i

^{eine Unter-}

gruppe von

G

^.

2.Sei

A

^{eineTeilmengevon}

G

^{.Danngibteseinekleinste}Untergruppe

H

^mit

A ⊂ H

^.

Beweis. 1. Siehe Übungsblatt 1.

2. Sei

(H _i ) _i

^{die Familie aller} Untergruppen von

G

^die

A

^{enthalten (diese Familie}

ist niht leer da

G

^{eine solhe Gruppe ist). Dann ist}

H = T

i ∈ I H i

^{die minimale}

Untergruppedie

A

^enthält

Denition 1.4.2 1. Sei

G

^{eine Gruppe und}

A

^{eine Teilmenge von}

G

^{. Die kleinste}

Untergruppe die

A

^{enthält heiÿt die von}

A

^erzeugte Untergruppe und ist

h A i

geshrieben. Falls

A

^nureinelementigist:

A = { g }

^{shreibt man}

h A i = h g i

^.

2. Eine Teilmenge

A

^{einer Gruppe}

G

^{heiÿt erzeugend (man sagt auh}

A

^erzeugt

G

^)falls

G = h A i

^.

3. Eine Gruppe

G

^{heiÿt zyklishfalls es einElement}

g ∈ G

^{gibt mit}

G = h g i

^.

Beispiel 1.4.3 1. Die Gruppe

(Z, +)

^{istzyklish und}

1

^erzeugt

Z

^.

2. Sei

n ∈ Z

^{. Die Gruppe}

(Z/n, +)

^{ist zyklish und}

¯1

^erzeugt

Z/nZ

^.

3. Die einfahe Transpositionen

(s i ) i ∈ [1,n − 1]

^{deniert durh}

s i (k) =

 



k

^für

k 6∈ { i, i + 1 } i + 1

^für

k = i

i

^für

k = i + 1

erzeugen

S _n

^i.e.

S _n = h s _i | i ∈ [1, n − 1] i

^{(Siehe LAII).}

Lemma 1.4.4 Sei

G

^{eine Gruppeund}

g ∈ G

^{. Es gilt}

h g i = { g ⁿ | n ∈ Z }

^.

Beweis. Sei

n ∈ Z

^{. Da}

h g i

^{eine Gruppeistundenthält}

g

^,gilt

g ^{− 1} ∈ h g i

^und

g ⁿ ∈ h g i

also

{ g ⁿ | n ∈ Z } ⊂ h g i

^.

Umgekehrt, seien

n, m ∈ Z

^{. Dann ist}

(g ⁿ )(g ^m ) ^{− 1} = g ^{n − m} ∈ { g ⁿ | n ∈ Z }

^und

e G = g ⁰ ∈ { g ⁿ | n ∈ Z }

^{. Daraus folt, dass}

{ g ⁿ | n ∈ Z }

^eine Untergruppe von

G

^ist

und enthält

g

^{. Also}

h g i ⊂ { g ⁿ | n ∈ Z }

^.

Satz 1.4.5 Sei

G

^{eine zyklishe Gruppe.Dann ist}

G

^isomorphzu

Z

^oder

Z/nZ

^.

Beweis. Sei

g ∈ G

^so,dass

G = h g i

^{. Sei}

f : Z → G

^{deniert durh}

f (n) = g ⁿ

^{. Dies}

isteinGruppenhomomorphismusund nahdemobigenLemmafolgt

f (Z) = G

^.Falls

f

^{injektiv ist,ist}

f

^einIsomorphismusund

G ≃ Z

^{. Sonst sei}

N = Kerf

^{. Dannist}

N

eineUntergruppevon

Z

^undesfolgt

N = nZ

^füreine

n ∈ Z

^{(SieheÜbunsblatt0oder}

imBeweis von Korollar 1.4.7).Es folgt (nah Korollar 1.2.11)

G = Z/N = Z/nZ

^.

Korollar 1.4.6 Sei

p

^{eine Primzahl und}

G

^{eine Gruppe mit}

| G | = p

^.

1.Sei

g ∈ G

^mit

g 6 = e G

^{. Danngilt}

G ≃ h g i

^.

2. Esgilt

G ≃ Z/pZ

^.

Beweis. 1. Sei

H = h g i

^{. Dann gilt}

e G , g ∈ H

^also

| H | ≥ 2

^{. Nah dem Satz von}

Lagrangegilt

| H |

^teilt

p

^also

| H | = p = | G |

^und

H = G

^.

2.Folgtvomobigen Satz.

Korollar 1.4.7 Jede Untergruppe einer zyklishen Gruppeist zyklish.

Beweis. Die Gruppe

G

^{ist isomorph zu}

Z

^oder

Z/nZ

^{. Es wurde im} Übungsblatt 0 gezeigt,dass dieUntergruppen zyklish sind. Wirgeben dennoh einen Beweis.

Angenommen

G = Z

^{. Sei}

H

^eine Untergruppe von

Z

^{. Falls}

H = { 0 }

^{sind wir fertig.}

Sonst ist

H ∩ Z >0 6 = ∅

^.Sei

m = min { r ∈ H | r > 0 }

^.Sei

n ∈ H

^{. Danngibt es}

k ∈ Z

und

r ∈ [0, m − 1]

^mit

n = km + r

^{. Da}

H

^{eine Gruppe ist gilt}

r = n − km ∈ H

^und

da

m

^{minimalwar, gilt}

r = 0

^{.Daraus folgt}

H = mZ

^.

Sei

G = Z/nZ

^{und sei}

H

^eine Untergruppe von

G

^{. Sei}

π : Z → Z/nZ = G

^die

kanonishe Projektion. Dann ist

π ^{− 1} (H)

^eine Untergruppe von

Z

^{also gibt es ein}

m ∈ Z

^mit

π ^{− 1} (H) = mZ

^{. Da die kanonishe Projektion surjektiv ist, folgt}

H =

π(π ^{− 1} (H)) = π(mZ) = { k[m] = [mk] ∈ Z/nZ }

^.

1.5 Ordung eines Elements

Denition 1.5.1 Sei

G

^{eine Gruppeund}

g ∈ G

^{. DieOrdnung}

ord(g)

^von

g

^istdie

Ordung der Gruppe

h g i

^.

Lemma 1.5.2 Es gilt

{ k ∈ Z _{≥ 0} | g ^k = e G } = ord(g)Z

^{(wir setzen}

∞ Z = { 0 }

^).

Beweis. Nah Satz 1.4.5 istdie Gruppe

h g i

^{isomorph zu}

Z

^oder

Z/nZ

^.

Im ersten Fall gilt

ord(g) = ∞

^{und im zweiten Fall gilt}

ord(g) = n

^{. Auÿerdem ist}

die Abbildung

Z → h g i

^bzw.

Z/nZ → h g i

^{deniert durh}

k 7→ g ^k

^bzw.

[k] 7→ g ^k

^ein

Isomorphismus.

Im ersten Fall gilt

{ k ∈ Z _≥ 0 | g ^k = e G } = { 0 }

^{. Im zweiten Fall gilt}

{ k ∈ Z | g ^k =

e G } = { k ∈ Z | [k] = 0 ∈ Z/nZ } = nZ

^.

Lemma 1.5.3 Sei

G

^{eine Gruppe und}

g ∈ G

^mit

ord(g) = n < ∞

^{.Dann gilt}

ord(g ^m ) = n

ggT(m, n)

für alle

m ∈ Z

^.

Beweis. Seien

d = ggT(m, n)

^,

m ^′ = ^m _d ∈ Z

^und

n ^′ = ⁿ _d ∈ Z

^{. Sei}

s = ord(g ^m )

^{. Es}

gilt

g ^ms = (g ^m ) ^s = e G

^{. Also gibt es}

k ∈ Z

^mit

ms = kn

^{. Es folgt}

m ^′ s = n ^′ k

^{. Da}

ggT(m ^′ , n ^′ ) = 1

^folgt

n ^′ | s

^.

Es gilt

(g ^m ) ^{n ′} = g ^{mn ′} = g ^{m ′ dn ′} = g ^{m ′ n} = (g ⁿ ) ^{m ′} = e G

^{. Daraus folgt}

s | n ^′

^{. Insgesamt}

folgt

s = n ^′

^.

Korollar 1.5.4 Die erzeugende Elemente von

Z/nZ

^{sind die Klassen}

[m] ∈ Z/nZ

mit

ggT(m, n) = 1

^.

Beweis. Sei

[m] ∈ Z/nZ

^mit

Z/nZ = h [m] i

^{. Dann gilt}

[m] = m[1]

^und

ord([1]) = n

^.

Daraus folgt

ord(m) = n/ggT(m, n)

^.

DieKlasse

[m]

^{istabergenaudannerzeugend,wenn}

ord([m]) = n

^also

n/ggT(m, n) =

n

^i.e.

ggT(m, n) = 1

^.

Beispiel 1.5.5 Die erzeugende Klassenin

Z/4Z

^sind

[1]

^und

[3]

^.

Korollar 1.5.6 Sei

n ∈ Z

^{. Die Gruppe}

Z/nZ

^{hat für jedes}

m | n

^{genau eine Unter-}

gruppe der Ordnung

m

^{:die Gruppe}

mZ/nZ = { [km] ∈ Z | k ∈ Z } .

Beweis. DieswurdeimÜbungsblatt0bewiesen.WirgebendennoheinenBeweis.Sei

H

^eineUntergruppevon

Z/nZ

^undsei

d = min { k ∈ Z _>0 | [k] ∈ H }

^.Da

[0] = [n] ∈ H

gilt

0 < d ≤ n

^{. Sei}

[k] ∈ H

^{. Wirshreiben}

k = da + b

^mit

a, b ∈ Z

^und

b ∈ [0, d − 1]

^.

Es gilt

[k], [d] ∈ H

^also

[b] = [k] − a[d] ∈ H

^{. Da}

d

^{minimal ist, folgt}

b = 0

^und

k ∈ dZ

^{. Es folgt}

H = dZ/nZ = { [kd] ∈ Z/nZ | k ∈ Z } = h [d] i

^{. Auÿerdem gilt}

ord([d]) = _ggT(n,d) ⁿ = ⁿ _d := m

^.

1.6 Derivierte Untergruppe

Denition 1.6.1 Sei

G

^{eine Gruppe,seien}

g, h ∈ G

^undseien

H, K ⊂ G

^Untergrup-

pen.

1.Der Kommutatorvon

g

^und

h

^ist

[g, h] = ghg ^{− 1} h ^{− 1}

^.

2. Der Kommutator

[H, K]

^von

H

^und

K

^{ist die Gruppe}

[H, K] = h [h, k] | h ∈ H

^und

k ∈ K i

^.

3. Die derivierte Gruppe

D(G)

^von

G

^{ist dieGruppe}

D(G) = [G, G]

^(manhmal

wird

D(G)

^auh

(G, G)

bezeihnet).

Lemma 1.6.2 Sei

G

^{eine Gruppe.}

1.

D(G) = { [g 1 , h 1 ] · · · [g n , h n ] | n ∈ Z _≥ 0

^und

g i , h i ∈ G }

^.

2.

D(G)

^{ist eine} Normalteilerin

G

^.

3.

G/D(G)

^istabelsh.

4. Sei

N ⊳ G

^mit

G/N

^{abelsh. Dann gilt}

D(G) ⊂ N

^{. Also ist}

D(G)

^{die kleinste}

Untergruppeso, dass

G/D(G)

^{abelsh ist.}

Beweis. 1. Sei

H = { [g 1 , h 1 ] · · · [g n , h n ] | n ∈ Z _≥ 0

^und

g i , h i ∈ G }

^{.Es gilt}

H ⊂ D(G)

^.

Wir zeigen, dass

H

^eine Untergruppe ist. Alle Produkte von Elementen aus

H

^sind

noh in

H

^{. Es gilt}

[g, h] ^{− 1} = [h, g]

^{also ist das Inverses jedes Element aus}

H

^noh

in

H

^und

H

^{ist eine} Untergruppe. Daraus folgt

D(G) ⊂ H

^da

D(G)

^{die kleinste}

Untergruppe diealle Kommutatoren enthält ist.

2. Seien

g, h, k ∈ G

^{. Es gilt}

k[g, h]k ^{− 1} = [kgk ^{− 1} , khk ^{− 1} ]

^{. Daraus folgt}

k[g, h]k ^{− 1} ∈ D(G)

^{und nah 1.}

kD(G)k ^{− 1} ⊂ D(G)

^.

3. Seien

g, h ∈ G

^{. Dann gilt}

[ghg ^{− 1} h ^{− 1} ] = e

ⁱⁿ

G/D(G)

^also

[g ][h] = [h][g]

^und

G/D(G)

^{ist abelsh.}

4.Seien

g, h ∈ G

^{.Es gilt}

[ghg ^{− 1} h ^{− 1} ] _N = [g] _N [h] _N [g] ⁻ _N ¹ [h] ⁻ _N ¹ = [e _G ] _N

^da

G/N

^abelsh

ist.Daraus folgt

ghg ^{− 1} h ^{− 1} ∈ N

^und

D(G) ⊂ N

^.

1.7 Semidirekte Produkte

Lemma 1.7.1 Seien

N

^und

H

^{zwei Gruppen und sei}

Φ : H → Aut(N ), h 7→ Φ h

^ein

Gruppen homomorphismus (wobei

Aut(N )

^{die Gruppe aller} Automorphismen von

N

^ist).

Sei

N ⋊ H := N × ^Φ H := (N × H, ⋆)

^mit

(n, h) ⋆ (n ^′ , h ^′ ) = (nΦ h (n ^′ ), hh ^′ ).

Dannist

N ⋊ H

^{eine GruppemitneutralemElement}

(e N , e H )

^undInverse

(n, h) ^{− 1} =

(Φ h ⁻¹ (n ^{− 1} ), h ^{− 1} )

^.

Beweis. Esgilt

(e N , e H )⋆(n, h) = (e N Φ e H (n), e H h) = (

^Id

N (n), h) = (n, h)

^und

(n, h)⋆

(e N , e H ) = (nΦ h (e N ), he H ) = (n, h)

^.

Es gilt

(n, h) ⋆ (Φ _h ^{− 1} (n ^{− 1} ), h ^{− 1} ) = (nΦ h (Φ _h ^{− 1} (n ^{− 1} )), hh ^{− 1} ) = (nΦ _hh ^{− 1} (n ^{− 1} ), e H ) = (n

^Id

N (n ^{− 1} ), e H ) = (nn ^{− 1} , e H ) = (e N , e H )

^{. Es gilt auh}

(Φ h ⁻¹ (n ^{− 1} ), h ^{− 1} ) ⋆ (n, h) = (Φ h ^{− 1} (n ^{− 1} )Φ h ^{− 1} (n), h ^{− 1} h) = (Φ h ^{− 1} (n ^{− 1} n), e H ) = (Φ h ^{− 1} (e G ), e H ) = (e N , e H )

^.

Es gilt

(n, h) ⋆ ((n ^′ , h ^′ ) ⋆ (n ^′′ , h ^′′ )) = (n, h) ⋆ (n ^′ Φ h ^′ (n ^′′ ), h ^′ h ^′′ )

= (nΦ h (n ^′ Φ h ^′ (n ^′′ )), hh ^′ h ^′′ )

= (nΦ h (n ^′ )Φ hh ^′ (n ^′′ ), hh ^′ h ^′′ )

= (nΦ h (n ^′ ), hh ^′ ) ⋆ (n ^′′ , h ^′′ )

= ((n, h) ⋆ (n ^′ , h ^′ )) ⋆ (n ^′′ , h ^′′ ) .

Daraus folgt, dass

N ⋊ H

^{eine Gruppe ist.}

Denition 1.7.2 Seien

N

^und

H

^{zwei Gruppen und sei}

Φ : H → Aut(N ), h 7→ Φ h

einGruppenhomomorphismus.DasheiÿtdieGruppe

N ⋊H := N × ^Φ H := (N × H, ⋆)

mit Produkt

(n, h) ⋆ (n ^′ , h ^′ ) = (nΦ h (n ^′ ), hh ^′ )

semidirektes Produkt von

N

^und

H

^bzg.

Φ

^.

Beispiel 1.7.3 Sei

Φ : H → Aut(N )

^{deniert durh}

Φ h =

^Id

N

^{für alle}

h ∈ H

^.Dann

gilt

(n, h) ⋆ (n ^′ , h ^′ ) = (nΦ _h (n ^′ ), hh ^′ ) = (n

^Id

_N (n ^′ ), hh ^′ ) = (nn ^′ , hh ^′ )

und das semidirekte Produkt istdie Produktgruppe.

Lemma 1.7.4 Sei

G = N ⋊ H

^{und seien}

N ^′ = { (n, e H ) | n ∈ N }

^und

H ^′ = { (e N , h) | h ∈ H }

^.

1.Dann ist

H ^′

^eine Untergruppe von

G

^und

N ^′ ⊳ G

^.

2. Es gibt isomorphismen

N ≃ N ^′

^und

H ≃ H ^′

^{deniert durh}

n 7→ (n, e _H )

^und

h 7→ (e N , h)

^.

3. Esgilt

N ^′ ∩ H ^′ = { e G }

^und

G = N ^′ H ^′

^.

Beweis. 1. DieAbbildung

π : G → H

^{deniert durh}

π(h)

^isteinGruppenhomomor- phismusund

Kerπ = N ^′

^also

N ^′ ⊳ G

^.Esgilt

e G ∈ H ^′

^und

(e N , h) ⋆ (e N , h ^′ ) = (e N , hh ^′ )

also

H ^′

^isteine Untergruppe von

G

^.

2.Manüberprüftleiht,dassdiese AbbildungeninjektiveGruppenhomomorphismen

sind. Per Defnitionsind diese Abbildungen surjektiv.

3.Esgilt

N ^′ ∩ H ^′ = { (e _n , e _H ) } = { e _G }

^und

(n, h) = (n, e _H ) ⋆ (e _N , h)

^also

G = N ^′ H ^′

^.

Satz 1.7.5 Sei

G

^{eine Gruppe,}

H

^eine Untergruppe und

N ⊳ G

^.

1. Falls gilt

N ∩ H = { e G }

^und

G = NH

^{. Dann ist für}

Φ : H → Aut(N )

^deniert

durh

Φ _h (n) = hnh ^{− 1}

^dieAbbildung

f : N × ^Φ H → G, (n, h) 7→ nh

ein Isomorphismus.

2. Fallszusätzlih gilt

H ⊳ G

^{, so wird der} Isomorphismuszu

f : N × H → G

^.

Beweis. 1. Es gilt

f((n, h) ⋆ (n ^′ , h ^′ )) = f(nΦ _h (n ^′ ), hh ^′ ) = nhn ^′ h ^{− 1} hh ^′ = nhn ^′ h ^′ = f (n, h)f(n ^′ , h ^′ ).

Darausfolgt,dass

f

^einGruppenhomomorphismusist.Da

G = N

^{istdieseAbbildung}

surjektiv.Sei

(n, h) ∈ Kerf

^.Esgilt

nh = e G

^also

n = h ^{− 1}

^und

n ∈ N ∩ H

^also

n = e G

^.

Daraus folgt

h = e G

^und

f

^{ist injektiv alsoein}Isomorphismus.

2. Seien

h ∈ H

^und

n ∈ N

^{. Es gilt}

N ∋ n ^{− 1} (hnh ^{− 1} ) = (n ^{− 1} hn)h ^{− 1} ∈ H

^also

n ^{− 1} hnh ^{− 1} = e G

^{. Es folgt}

hn = nh

^und

Φ h (n) = n

^und

N ⋊ H = N × H

^.

Beispiel 1.7.6 1. Sei

c = (231)

^{, sei}

s = (213)

^{und seien}

N = A 3 = {

^Id

, c, c ² }

^und

H = {

^Id

, s }

^{. Da}

A 3

^ein Normalteiler ist, sind

Int s : A 3 → A 3

^und

Int

^Id

: A 3 → A 3

Gruppenautomorphismen und die Abbildung

Φ : H → Aut(A 3 )

^,

Φ h = Int h

^{ist ein}

Gruppenhomomorphismus.

Dank dem obigen Satz zeigt man, dass dieAbbildung

A 3 ⋊ H → S 3 , (n, h) 7→ nh

einGruppenisomorphismusist.

2.Algemeinergilt

S n ≃ A n ⋊ {± 1 }

^.

2. Diedergruppe. Sei

R n

^ein regelmäÿiges Polygon. Zum Beispiel

R n = { e ^{2ikπ n} | k ∈ [0, n − 1] }

^.

n = 4

•

^O

n = 8

•

^O

Sei

D 2n

^{die Gruppe aller Isometrie die}

R n

^{erhalten. Man zeigt, dass}

D 2n

^genau

2n

elementehat.Sei

O

^{dasZentrumvon}

R _n

^undseien

D ₁ , · · · , D _n

^{dieGeradendiedurh}

O

^{und eine Eke laufen oder die durh}

O

^{und die Mitte einer Kante laufen. Sei}

R

die Drehung um

O

^von

^2π _n

^{und seien}

S 1 , · · · , S n

^die Spiegelungen an den Geraden

D 1 , · · · , D n

^{.Dann gilt}

D 2n = {

^Id

, R, · · · , R ⁿ , S 1 , · · · , S n } .

DieGruppe

D 2n

^enthält

N = {

^Id

, R, · · · , R ⁿ }

^{undmanüberprüftleiht,dass}

N ⊳D 2n

^.

Sei

H = {

^Id

, S 1 }

^{. Dannist}

H

^eine Untergruppevon

G

^{. Dank dem obigen Satz zeigt}

man, dass die Abbildung

N ⋊ H → G, (n, h) 7→ nh

einGruppenisomorphismusist.

1.8 Operation einer Gruppe auf einer Menge

Denition 1.8.1 Sei

G

^{eine Gruppe und}

X

^{eine Menge. Eine Operation von}

G

auf

X

^{isteine Abbildung}

G × X → X

^,

(g, x) 7→ g · x

^{mit den} Eigenshaften:

1. Für alle

x ∈ X

^gilt

e G · x = x

^.

2. Für alle

g, h ∈ G

^{und alle}

x ∈ X

^gilt

(gh) · x = g · (h · x)

^.

Beispiel 1.8.2 1. Die triviale Operation

G × X → X

^{deniert durh}

g · x = x

füralle

g ∈ G

^und

x ∈ X

^.

2. Die Linkstranslation

G × G → G

^{deniert durh}

g · h = gh

^{(hier ist}

X = G

^).

2. Die Linkstranslation auf einem Quotient

G × G/H → G/H

^{deniert durh}

g · [g ^′ ] H = [gh] H

^{(hier ist}

X = G/H

^wobei

H

^eine Untergruppe ist).

3. Die Konjugation

G × G → G

^{deniert durh}

g · h = ghg ^{− 1}

^{(hier ist}

X = G

^).

4.

S n × [1, n] → [1, n]

^{deniert durh}

σ · i = σ(i)

^.

4.

GL n (K) × K ⁿ → K ⁿ

^{deniert durh}

A · v = Av

^.

Lemma 1.8.3 Sei

G × X → X

^,

(g, x) 7→ g · x

^{eine Operation.}

1.DannistdieAbbildung

Φ(g) : X → X

^deniertdurh

Φ(g )(x) = g · x

^{eineBijektion}

von

X

^{und die Abbildung}

Φ : G → Bij(X)

deniert durh

g 7→ Φ(g)

^ein Gruppenhomomorphismus.

2.Umgekehrt,sei

Φ : G → Bij(X)

^einGruppenhomomorphismus.Dannist

G × X → X

^{deniert durh}

(g, x) 7→ g · x = Φ(g )(x)

^{eine Operation.}

Beweis. 1. Wir zeigen,dass

Φ(gh) = Φ(g) ◦ Φ(h)

^{. Es gilt}

Φ(gh)(x) = (gh) · x = g · (h · x) = Φ(g)(h · x) = Φ(g ) (Φ(h)(x)) = (Φ(g) ◦ Φ(h)) (x).

Daraus folgt, dass

Φ(g) ◦ Φ(g ^{− 1} ) = Id X = Φ(g ^{− 1} ) ◦ Φ(g)

^{also ist}

Φ(g)

^{bijektiv mit}

Φ(g) ^{− 1} = Φ(g ^{− 1} )

^und

Φ

^isteinGruppenhomomorphismus.

2. Es gilt

e G · x = Φ(e G )(x) = Id X (x) = x

^und

g · (h · x) = Φ(g)(Φ(h)(x)) =

(Φ(g) ◦ Φ(h))(x) = Φ(gh)(x) = (gh) · x

^.

Denition 1.8.4 Sei

G × X → X

^,

(g, x) 7→ g · x

^{eine Operationvon}

G

^auf

X

^.

1.DieOperationheiÿttransitiv,fallsesfüralle

x, y ∈ X

^ein

g ∈ G

^gibtmit

g · x = y

^.

2. Eine Operationheiÿt treufalls

(g · x = x

^{für alle}

x ∈ X) ⇒ (g = e _G )

^.

3. Sei

x ∈ X

^{. Die Menge}

G · x = { g · x ∈ X | g ∈ G

^{heiÿt Orbit oder Bahn von}

x ∈ X

^.

Manshreibt

X/G = { G · x | x ∈ X }

^{für dieMenge aler Bahnen. Diese Menge heisst}

Quotient von

X

^nah

G

^.

4.Ein

x ∈ X

^{heiÿtFixpunktfalls}

g · x = x

^füralle

g ∈ G

^{.DieMengeallerFixpunkte}

ist

X ^G

geshrieben.

5.Für

x ∈ X

^heiÿt

G x = { g ∈ G | g · x = x }

^der Stabilisator von

x

^.

6. Allgemeiner heiÿt für

Y ⊂ X

^{eine Teilmenge}

G Y = { g ∈ G | g · Y = Y }

^der

Stabilisator von

Y

^.