Eif

Geometrie

N. Perrin

Düsseldorf

Wintersemester 2014-2015

I. Algebraishe Mengen 6

1. Algebraishe Mengen 7

1.1. Erste Denition . . . 7

1.2. Noethershe Ringe . . . 8

1.3. Erste Eigenshaften . . . 10

1.4. Ideal einer Menge . . . 12

1.5. Reguläre Funktionen . . . 14

2. Zariski Topologie 16 2.1. Topologie . . . 16

2.2. Die Zariski-Topologie . . . 17

2.3. Irreduzibilität . . . 18

2.4. Irreduzible Komponenten . . . 21

2.5. Kompakte und Haudor Räume . . . 22

3. Nullstellensatz 25 3.1. Ganze Elemente . . . 25

3.2. Algebraishe Version . . . 27

3.3. Geometrishe Version . . . 28

3.4. Geometrishe Konsequenzen . . . 30

4. Morphismen 33 4.1. Der Funktor

Γ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34}

4.2. Weitere Eigenshaften vonMorphismen . . . 38

II. Projektive algebraishe Mengen 40 5. Projektiver Raum 41 5.1. ProjektiverRaum . . . 41

5.2. ProjektiveUnterräume . . . 42

5.3. Projektivitäten . . . 43

6. Projektive algebraisheMengen 48

6.1. HomogenePolynome . . . 48

6.2. projektive algebraishe Mengen . . . 49

6.3. Idealeiner projektiven algebraishen Menge . . . 51

6.4. Graduierte Ideale und Ringe . . . 52

6.5. Projektiver Nullstellensatz . . . 54

6.6. Graduierte Ringe . . . 55

6.7. Standardmäÿigeoene Teilmengen . . . 56

III. Algebraishe Varietäten 58 7. Garben 59 7.1. Garben vonFunktionen . . . 59

7.2. Prägarben und Garben . . . 60

7.3. Vergarbungund Konstruktion vonGarben . . . 62

7.4. Morphismen vonGarben . . . 64

7.5. Ringgarben . . . 65

7.6. GeringteRäume. . . 66

8. Algebraishe Varietäten 68 8.1. Strukturgarbe einer (anen) algebraishen Menge . . . 68

8.2. Ane algebraishe Varietäten . . . 75

8.3. Algebraishe Varietäten . . . 77

8.4. Untervarietäten . . . 79

8.5. LokaleRinge . . . 80

9. Projektive Varietäten 83 9.1. Strukture Garbe einer projektiven algebraishen Menge . . . 83

9.2. Projektive algebraishe Varietäten . . . 86

IV.Geometrie algebraisher Varietäten 90 10.Tangenträume 91 10.1.Tangenraum einer anenalgenbraishen Menge . . . 91

10.2.Derivationen . . . 92

10.3.Deformationen . . . 93

10.4.Dierential . . . 95

10.5.Tangenraum einer algebraishen Varietät . . . 98

10.6.LokaleRinge . . . 98

11.Dimension 101

11.2.Algebraishe Denition . . . 102

11.3.Transzendenzgrad . . . 102

11.4.Oene Teilmengen . . . 104

11.5.Hauptidealsatz . . . 105

11.6.Parametersysteme . . . 107

11.7.Dimension und Morphismen . . . 110

11.8.ProjektiveMengen . . . 112

12.Reguläre Varietäten 114 12.1.Reguläre Varietäten . . . 114

12.2.Jakobishes Kriterium . . . 114

13.Produkte 117 13.1.Produkte aneralgebraisher Varietäten . . . 117

13.2.Produkte algebraisher Varietäten . . . 118

13.3.Produkt projektiver algebraisher Varietäten . . . 120

13.4.Separable Varietäten . . . 121

13.5.Eigentlihe Varietäten . . . 123

14.Abelshe Varietäten 127 14.1.Algebraishe Gruppen . . . 127

14.2.Projektivealgebraishe Gruppen. . . 127

Algebraishe Mengen

Sei

k

^ein kommutativerKörper.

1.1. Erste Denition

Denition 1.1.1 Sei

n ∈ N

^.

1.DieMenge

k ⁿ

^aller

n

^-Tupel

x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ k ⁿ

^werdenwirmit

A n ( k )

^bezeihnen.

Sieheiÿt der ane Raum der Dimension

n

^über

k

^.

2. Für

x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ A n ( k )

^{und ein Polynom}

P ∈ k [X 1 , . . . , X n ]

^{shreiben wir}

P (x) := P (x 1 , . . . , x n )

^.

3. Sei

S ⊂ k [X 1 , . . . , X n ]

^{eine Teilmenge. Wir setzen}

V (S) = { x ∈ A _n ( k ) | P (x) = 0

^{für alle}

P ∈ S } .

Die Menge

V (S)

^{heiÿt die von}

S

^denierte algebraishe Menge.

4. Füreine endlihe Menge

S = { P 1 , . . . , P r }

^{shreiben wir}

V (S) = V (P 1 , . . . , P r )

^.

Beispiel 1.1.2 1. Die leere Menge

∅

^isteine algebraishe Menge: es gilt

V (1) = ∅

^.

2. Der aneRaum

A _n ( k )

^isteine algebraishe Menge: es gilt

V (0) = A _n ( k )

^.

3. Für

n = 1

^und

S 6 = { 0 }

^ist

V (S)

^{eine endlihe Menge.}

Lemma 1.1.3 Sei

n = 1

^.DiealgebraishenTeilmengenvon

A ₁ ( k )

^sind

∅

^,

A ₁ ( k )

^und

alleendlihen Teilmengen von

A ₁ ( k )

^.

Beweis. Übung.

Beispiel 1.1.4 1. Für

n = 2

^{sind die} algebraishen Teilmengen von

A 2 ( k )

^{von der}

Form

∅

^,

A ₂ ( k )

^{, alle endlihe Teilmengen von}

A ₂ ( k )

^{und die Kurven in der Ebene.}

Zum Beispiel

V (X, Y ) = { (0, 0) } , V (X(X − 1), Y ) = { (0, 0), (1, 0) } , V (X) =

^Gerade

, V (X ² + Y ² − 1) =

^Kreis

, V (Y ² − X(X − 1)(X + 1) =

^{Elliptishe Kurve}

.

2. EinPunkt

(a 1 , . . . , a n ) ∈ A n ( k ) = k ⁿ

^{ist eine} algebraishe Menge: Es gilt

{ (a 1 , . . . , a n ) } = V (X 1 − a 1 , . . . , X n − a n ).

Lemma 1.1.5 Seien

S ⊂ S ^′

^{zwei Teilmengen von}

k [X 1 , . . . , X n ]

^{. Danngilt}

V (S ^′ ) ⊂

V (S)

^.

Beweis. Übung.

Bemerkung 1.1.6 ZurErinnerung:Sei

S ⊂ k [X ₁ , . . . , X _n ]

^und

h S i

^dasvon

S

^erzeug-

teIdeal.Für

P ∈ h S i

^{gibtesElemente}

P 1 , . . . , P r ∈ S

^und

Q 1 , . . . , Q r ∈ k [X 1 , . . . , X r ]

mit

P = P ₁ Q ₁ + . . . + P _r Q _r .

Lemma 1.1.7 Sei

S ⊂ k [X 1 , . . . , X n ]

^und

h S i

^{das von}

S

^{erzeugte Ideal. Dann gilt}

V (S) = V ( h S i )

^.

Beweis. Esgilt

S ⊂ h S i

^{,alsogiltnahLemma 1.1.5}

V ( h S i ) ⊂ V (S)

^{.Umgekehrt, sei}

x ∈ V (S)

^und

P ∈ h S i

^{. NahBemerkung 1.1.6 gibt esElemente}

P 1 , . . . , P r ∈ S

^und

Q 1 , . . . , Q r ∈ k [X 1 , . . . , X r ]

^mit

P = P 1 Q 1 + . . . + P r Q r

^{. Daraus folgt}

P (x) = P 1 (x)Q 1 (x) + . . . + P r (x)Q r (x)

undda

x ∈ V (S)

^,folgt

P 1 (x) = . . . = P r (x) = 0

^unddamit

P (x) = 0

^i.e

x ∈ V ( h S i )

^.

Bemerkung 1.1.8 ZweiTeilmengenaus

k [X 1 , . . . , X n ]

^{können diegleihe Algebrai-}

she Menge denieren. Zum Beispielgilt

V (X) = V (X ² ) = V (X ^k )

für alle

k ≥ 1

^{. Später wollen wir diese} Vielfahheit berüksihtigen. Prinzip: die Gleihungen enthalten mehr Informationen als die algebraishe Menge.

1.2. Noethershe Ringe

ZurErinnerungausderVorlesungAlgebra.AlleRingesindkommutativ.

Denition 1.2.1 Sei

R

^einkommutativerRingund

I

^{ein Ideal.}

1. I heiÿt endlih erzeugt, falls es endlih viele Elemente

a 1 , · · · , a n ∈ R

^{gibt mit}

I = (a 1 , . . . , a n )

^.

2.Ein Ringheiÿt noethersher Ring, falls alleIdeale endlih erzeugt sind.

Beispiel 1.2.2 1.EinHauptidealringisteinnoethersher Ring(alle Idealesind von

einem Element erzeugt).

2.Insbesondere sind

Z

^und

k [X]

^{noethershe Ringe.}

Satz 1.2.3 Sei

R

^einkommutativerRing. Diefolgenden Aussagen sind äquivalent:

1.

R

^istein noethersher Ring.

2. Jede aufsteigende Kette

I ₁ ⊂ I ₂ ⊂ . . . ⊂ I _n ⊂ . . .

^{von Idealen ist stationäri.e.}

es gibt ein

N ∈ N

^mit

I n = I N

^{für alle}

n ≥ N

^.

3. Jede (nihtleere) Familie

(I λ ) λ∈Λ

^{von Idealen hat einmaximales Element.}

Beweis. Siehe VorlesungAlgebra. Zur Erinnerung der Beweis.

(

1. ⇒ 2.

^{) Sei}

I = S

n I n

^{. Dann ist}

I

^{ein Ideal: Seien}

a, b ∈ I

^{, dann gibt es}

n, m

mit

a ∈ I n

^und

b ∈ I m

^{. Ohne} Einshränkung können wir annehmen

n ≤ m

^{. Also}

a ∈ I n ⊂ I m

^und

a + b ∈ I m ⊂ I

^{.Sei jetzt}

c ∈ R

^{. Danngilt}

ac ∈ I n

^{, also}

ac ∈ I

^.

Da

R

^{noethersh ist, gibt es Elemente}

a ₁ , . . . , a _k ∈ R

^mit

I = (a ₁ , . . . , a _k )

^{. Per}

Denitionvon

I

^{gibt es Zahlen}

n i

^mit

a i ∈ I n i

^{für jedes}

i

^{. Sei}

N = max i { n i }

^{. Dann}

gilt

a i ∈ I n i ⊂ I N

^{für jedes}

i

^{. Daraus folgt}

I = (a 1 , . . . , a k ) ⊂ I N

^{und damit}

I = I N

^.

Esfolgt

I _n ⊂ I = I _N

^{für alle}

n

^und

I _n = I _N

^{für alle}

n ≥ N

^.

(

2. ⇒ 3.

⁾ Angenommen, die Familie

(I λ ) λ∈Λ

^{habe kein maximales Element. Wir}

konstruierenperInduktionnah

n

^{einnihtstationäre}aufsteigendeKettevonIdealen.

Sei

I ₁ := I _{λ 1}

^{einElementin der Familie. Da}

I ₁

^{nihtmaximal ist,gibt es ein}

λ ₂ ∈ Λ

mit

I 1 ( I 2 := I λ 2

^{. Sei die Kette}

I 1 ( . . . ( I n

konstruiert. Da

I n

^{kein maximales}

Element ist,gibt es ein

λ n+1 ∈ Λ

^mit

I n ( I n+1 := I λ n+1

^.

(

3. ⇒ 1.

^)Sei

I

^einIdealund

E = { J

^{endliherzeugtes Ideal mit}

J ⊂ I }

^.Da

(0) ⊂ E

^,

ist

E

^{einenihtleereFamilievonIdealenundhatalsoeinmaximalesElement}

J

^.Falls

J ( I

^{, gibt es ein}

a ∈ I

^mit

a 6∈ J

^{. Dann ist}

J + (a)

^{endlih erzeugt und es gilt}

J ( J + (a) ⊂ I

^{.Ein Widerspruhzur} Maximalität.

Beispiel 1.2.4 3. Der Ring

R = R[X 1 , . . . , X n , . . .]

^{mitunendlih vielen Unbekann-}

ten ist niht noethersh: es gibt eine niht stationäre, unendlih aufsteigende Kette

vonIdealen:

(0) ( (X 1 ) ( (X 1 , X 2 ) ( . . . ( (X 1 , . . . , X n ) ( . . .

Theorem 1.2.5 Sei

R

^einnoethersher Ring. Dannist

R[X]

^{auhnoethersh.}

Beweis. Sei

I

^einIdealvon

R[X]

^{und sei}

D = { 0 } ∪ { a ∈ R | ∃ P ∈ I

^mitLeitkoezient

a } .

Wir zeigen, dass

D

^{ein Ideal in}

R

^{ist. Seien}

a, a ^′ ∈ D

^mit

a + a ^′ 6 = 0

^{und sei}

b ∈ R

^{. Dann gibt es Polynome}

P, Q ∈ I

^mit Leitkoezienten

a

^und

a ^′

^{. Sei}

k = min(deg P, deg Q)

^{. Da}

I

^{ein Ideal ist, gilt}

T = X ^{deg Q−k} P + X ^{deg P −k} Q ∈ I

^{(es gilt}

deg(T ) = max(deg(P ), deg(Q))

^)und

T

^hatLeitkoezient

a + a ^′

^,also

a + a ^′ ∈ D

^.Es

giltauh

bP ∈ I

^mit Leitkoezient

ab

^,also

ab ∈ D

^und

D

^{ist einIdeal.}

Da

R

^{noethersh ist,ist}

D

^{endlih erzeugt, alsogibt es Elemente}

a 1 , . . . , a r ∈ R

^mit

D = (a 1 , . . . , a r )

^{. Für}

i ∈ [1, r]

^sei

P i ∈ I

^mit Leitkoezient

a i

^{und sei}

d i = deg P i

^.

Wirsetzen

d = max(d 1 , . . . , d r )

^.

Für

m ≤ d

^{setzen wir}

D m = { 0 } ∪ { a ∈ R | ∃ P ∈ I

^mit

deg(P ) ≤ m

^und Leitkoezient

a } .

Wie oben zeigt man, dass

D m

^{einIdeal in}

R

^{ist.Das Ideal}

D m

^{istalso auh endlih}

erzeugt:

D m = (b 1,m , . . . , b r m ,m )

^{. Für alle}

m ≤ d

^{und alle}

i ∈ [1, r m ]

^seien

Q i,m ∈ I

mit

deg(Q i,m ) ≤ m

^und Leitkoezient

b i,m

^.

Wir zeigen, dass das Ideal

I

^von

P 1 , . . . , P r

^{und allen}

(Q i,m ) m≤d,i∈[1,r m ]

^{erzeugt wird.}

Sei

I ^′

^{das vondiesenElementen erzeugteIdeal. Esgilt}

I ^′ ⊂ I

^.Angenommen,esgelte

I ^′ ( I

^,sei

P ∈ I \ I ^′

^{mitminimalemGrad.}

Falls

deg P > d

^,sei

a

^derLeitkoezientvon

P

^.Esgilt

a ∈ D

^,also

a = a 1 c 1 +. . .+a r c r

mit

c 1 , . . . , c r ∈ R

^{und das Polynom}

T = X ^{deg P −d 1} c 1 P 1 + . . . + X ^{deg P −d r} c r P r

hat

a

^als Leitkoezienten. Falls

T = P

^{, gilt}

P ∈ I ^′

^{; ein} Widerspruh. Sonst gilt

P − T ∈ I \ I ^′

^mit

deg(P − T ) < deg P

^{;einWiderspruh zur} Minimalität.

Falls

deg P = m ≤ d

^{, sei}

a

^der Leitkoezient von

P

^{. Es gilt}

a ∈ D m

^{, also}

a = b 1,m c 1 + . . . + b r m ,m c r m

^mit

c 1 , . . . , c r m ∈ R

^{und das Polynom}

T = X ^{m−deg Q 1,m} c 1 Q 1,m + . . . X ^{m−deg Q rm,m} c r m Q r m ,m

hat

a

^als Leitkoezienten. Falls

T = P

^{, gilt}

P ∈ I ^′

^{; ein} Widerspruh. Sonst gilt

P − T ∈ I \ I ^′

^mit

deg(P − T ) < deg P

^{;einWiderspruh zur} Minimalität.

Korollar 1.2.6 Sei

R

^einnoethersherRing.Dannist

R[X 1 , . . . , X n ]

^{auhnoethersh.}

Korollar 1.2.7 Der Ring

k [X 1 , . . . , X n ]

^{ist noethersh.}

Korollar 1.2.8 Sei

V (S)

^einealgebraisheMenge.DanngibtesPolynome

P 1 , . . . , P r ∈ k [X 1 , . . . , X r ]

^so,dass

V (S) = V (P 1 , . . . , P r ).

Beweis. Es gilt

V (S) = V ( h S i )

^{und da}

k [X 1 , . . . , X n ]

^{noethersh ist, ist}

h S i

^end-

lih erzeugt. Es gibt also

P ₁ , . . . , P _r ∈ k [X ₁ , . . . , X _r ]

^{so, dass}

h S i = (P ₁ , . . . , P _r ) = h{ P 1 , . . . , P r }i

^{. Daraus folgt}

V (S) = V (P 1 , . . . , P r )

^.

1.3. Erste Eigenshaften

Lemma 1.3.1 Sei

(S λ ) λ∈Λ

^{eine Familie von Teilmengen von}

k [X 1 , . . . , X n ]

^{und sei}

(I λ ) λ∈Λ

^{eine Familie von Idealen in}

k [X 1 , . . . , X n ]

^{.Dann gilt}

\

λ∈Λ

V (S λ ) = V [

λ∈Λ

S λ

!

und

\

λ∈Λ

V (I λ ) = V X

λ∈Λ

I λ

! .

Insbesondere istder Shnitt von algebraishen Mengen eine algebraishe Menge.

Beweis. Übung.

Denition 1.3.2 Sei

R

^ein kommutativer Ring und seien

I, J

^{zwei Ideale von}

R

^.

Das Produktideal

IJ

^von

I

^und

J

^{ist das von allen Produkte}

ab

^{erzeugte Ideal,}

wobei

a ∈ I

^und

b ∈ J

^.

Bemerkung 1.3.3 Esgilt

IJ ⊂ I ∩ J

^{: Für}

a ∈ I

^und

b ∈ J

^gilt

ab ∈ I ∩ J

^.

Lemma 1.3.4 Seien

I

^und

J

^{zwei Ideale in}

k [X 1 , . . . , X n ]

^{. Danngilt}

V (I ∩ J) = V (I ) ∪ V (I) = V (IJ).

InsbesondereistdieVereinigungvonalgebraishenMengeneinealgebraisheMenge.

Beweis. Es gilt

IJ ⊂ I ∩ J ⊂ I, J

^{. Daraus folgt}

V (IJ ) ⊃ V (I ∩ J) ⊃ V (I) ∪ V (J)

^.

Esgenügt also, dieEnthaltung

V (IJ ) ⊂ V (I ) ∪ V (J )

^{zu zeigen.}

Sei

x ∈ V (IJ )

^mit

x 6∈ V (I)

^{. Es gibt also}

P ∈ I

^mit

P (x) 6 = 0

^{. Sei}

Q ∈ J

^{, dann}

gilt

P Q ∈ IJ

^{, also}

P (x)Q(x) = (P Q)(x) = 0

^{, weil}

x ∈ V (IJ)

^{. Da}

P (x) 6 = 0

^{, folgt}

Q(x) = 0

^{für alle}

Q ∈ J

^,also

x ∈ V (J )

^.

Korollar 1.3.5 Seien

I ₁ , . . . , I _r

^{Ideale in}

k [X ₁ , . . . , X _n ]

^{. Danngilt}

V (I 1 ) ∪ . . . ∪ V (I r ) = V (I 1 · · · I r ) = V (I 1 ∩ · · · ∩ I r ).

Insbesondere ist eine endlihe Vereinigung von algebraishen Mengen eine algebrai-

she Menge.

Beweis. FolgtperInduktion nah dem obigenLemma.

Korollar 1.3.6 Jede endlihe Menge von

A n ( k )

^{ist eine} algebraishe Menge.

Beweis. Jeder Punkt ist eine algebraishe Menge nah Beispiel 1.1.4.(2). Nah dem

obigenKorollar istjedeendlihe Vereinigung vonalgebraishen Menge einealgebrai-

she Menge. Daraus folgt dieBehauptung.

Denition 1.3.7 Sei

P ∈ k [X 1 , . . . , X n ]

^mit

P 6 = 0

^{. Die Hyperähe von}

A n ( k )

der Gleihung

P

^{ist die}algebraishe Teilmenge

V (P )

^.

Proposition 1.3.8 Jede algebraishe Menge istendliher Shnitt vonHyperähen

in

A n ( k )

^.

Beweis. Sei

S ⊂ k [X 1 , . . . , X n ]

^und

V (S)

^{die zugehörige} algebraishe Menge. Nah Korollar1.2.8gibtesPolynome

P 1 , . . . , P r ∈ k [X 1 , . . . , X n ]

^mit

V (S) = V (P 1 , . . . , P r )

^.

NahLemma1.3.1 folgt

V (S) = V (P ₁ ) ∩ . . . ∩ V (P _r )

^,alsoist

V (S)

^{endliher Shnitt}

vonHyperähen.

1.4. Ideal einer Menge

Denition 1.4.1 Sei

V

^{eineTeilmengevon}

A n ( k )

^{. Das Ideal von}

V

^istdieMenge

I (V ) = { P ∈ k [X 1 , . . . , X n ] | P (x) = 0

^{für alle}

x ∈ V } .

Lemma 1.4.2 Sei

V ⊂ A n ( k )

^{. Dannist}

I(V )

^{ein Idealvon}

k [X 1 , . . . , X n ]

^.

Beweis. Übung.

Beispiel 1.4.3 Es gilt

I( ∅ ) = k [X 1 , . . . , X n ]

^.

Lemma 1.4.4 Seien

V ⊂ W ⊂ A _n ( k )

^{. Dann gilt}

I(V ) ⊃ I(W )

^.

Beweis. Übung.

Lemma 1.4.5 Sei

V ⊂ A n ( k )

^.

1. Danngilt

V ⊂ V (I(V ))

^.

2.Es gilt(

V

^isteine algebraishe Menge

⇔ V (I(V )) = V

^).

Beweis. 1. Sei

x ∈ V

^und

P ∈ I(V )

^{.Dann gilt}

P (x) = 0

^{, also}

x ∈ V (I(V ))

^{. Daraus}

folgt

V ⊂ V (I(V ))

^.

2. Ist

V

algebraish, so gilt

V = V (I)

^{für ein Ideal}

I ⊂ k [X ₁ , . . . , X _n ]

^{. Sei}

P ∈ I

^.

Dann gilt

P (x) = 0

^{für alle}

x ∈ V

^{, also}

P ∈ I(V )

^{. Daraus folgt}

I ⊂ I(V )

^{. Es folgt}

V = V (I) ⊃ V (I(V ))

^.

Umgekehrt, falls

V = V (I(V ))

^{, ist}

V

algebraish.

Beispiel 1.4.6 Ist

V

^niht algebraish, ist die zweite Aussage im obigen Lemma immer falsh.Zum Beispielsei

V = { x ∈ R = A ₁ (R) | 0 < x < 1 } .

Danngilt

I(V ) = { 0 }

^:Sei

P ∈ I(V ) ⊂ R[X]

^.Dannhat

P

^{unendlihviele}Nullstellen, also

P = 0

^{.Es giltaber}

V (I(V )) = A 1 (R) = R ) V

^.

Lemma 1.4.7 Sei

I ⊂ k [X 1 , . . . , X n ]

^{ein Ideal. Dann gilt}

I ⊂ I(V (I))

^.

Beweis. Sei

P ∈ I

^und

x ∈ V (I)

^{. Danngilt}

P (x) = 0

^{, also}

P ∈ I(V (I))

^.

Beispiel 1.4.8 DieumgekehrteEnthaltungistnihtimmerwahr.EsgibtzweiHaupt-

gründedafür.

1.Ist

k

^{nihtalgebraish}abgeshlossen,kann

V (I)

^{sehr(zu)kleinsein:Sei}

k = R

^und

I = (X ² + Y ² + 1)

^{. Es gilt}

V (I) = V (X ² + Y ² + 1) = ∅

^{und folglih}

I ( R[X, Y ] = I(V (I))

^.

2.Die Operationsieht diePotenzen niht: für

I = (X ² ) ⊂ k [X]

^gilt

V (I) = { 0 }

^und

I(V (I)) = (X) ) (X ² ) = I

^.

DieBeziehung zwishen

I

^und

I(V (I))

^{istwihtigund wird späternohmalbetrah-}

tet.

Proposition 1.4.9 Sei

k

^{unendlih und}

n ≥ 1

^{. Danngilt}

I(A n ( k )) = (0)

^.

Beweis. Wir zeigen

I(A n ( k )) = (0)

^{per Induktion nah}

n

^.

Fall

n = 1

^{. Sei}

P ∈ I(A 1 ( k ))

^{. Da}

k

^{unendlih ist, hat}

P

^{unendlih viele} Nullstellen.

Daraus folgt

P = 0

^.

Induktionsshritt. Wir betrahten

P

^{als Polynom in}

X n

^{mit Koezienten im Ring}

k [X 1 , . . . , X n−1 ]

^:

P = X

i

r i X _n ⁱ ,

wobei

r i ∈ k [X 1 , . . . , X n−1 ]

^{. Sei}

(a 1 , . . . , a n−1 ) ∈ k ⁿ⁻¹

^{. Dann ist}

P a 1 ,...,a n − 1 (X n ) = P (a 1 , . . . , a n−1 , X n ) = X

i

r i (a 1 , . . . , a n−1 )X _n ⁱ

ein Polynom in

k [X _n ]

^{. Für alle}

a _n ∈ k ⁿ

^gilt

P _{a 1 ,...,a n−1} (a _n ) = P (a ₁ , . . . , a _n ) = 0

^{. Also}

P a 1 ,...,a n − 1 = 0

^i.e.

r i (a 1 , . . . , a n−1 ) = 0

^{für alle}

i

^{und alle}

(a 1 , . . . , a n−1 ) ∈ k ⁿ⁻¹

^{. Es}

folgt

r i ∈ I(A n−1 ( k ))

^{für alle}

i

^{. Nah Induktion gilt}

r i = 0

^{für alle}

i

^{und damit}

P = 0

^.

Beispiel 1.4.10 Die obige Proposition ist für endlihe Körper falsh: Sei

k = F _q

^,

danngilt

X ^q − X ∈ I (A 1 ( k ))

^.

Beispiel 1.4.11 1. Sei

a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n ( k )

^{. Dann gilt}

I( { a } ) = (X − a 1 , . . . , X − a n ).

Die Enthaltung

⊃

^{ist klar. Umgekehrt, sei}

P ∈ I( { a } )

^{, also}

P ∈ k [X 1 , . . . , X n ]

mit

P (a) = 0

^{. Wir betrahten die} Restdivision von

P

^mit

X − a 1

^{. Es gilt}

P = (X − a 1 )Q 1 + R 1

^mit

R 1 ∈ k [X 2 , . . . , X n ]

^und

0 = P (a) = R 1 (a)

^{. Per Induktion}

dank der Restdivision gilt

P = Q + r

^mit

Q ∈ (X − a 1 , . . . , X − a n )

^und

r ∈ k

^{. Aus}

P (a) = 0

^folgt

r = 0

^{und damitdie Aussage.}

2. Sei

k

^{unendlih und sei}

I = I(V (Y ² − X ³ )) ∈ k [X, Y ]

^{. Es gilt}

(Y ² − X ³ ) ⊂ I

^.

Umgekehrt, sei

P ∈ I

^{. Wir betrahten die} Restdivision von

P

^mit

Y ² − X ³

^{. Es}

gibt also

Q, R ∈ k [X, Y ]

^mit

deg _Y (R) < 2

^{, also}

R(X, Y ) = A(X)Y + B(X)

^für

A, B ∈ k [X]

^{so, dass}

P = (Y ² − X ³ )Q(X, Y ) + A(X)Y + B(X).

Für

t ∈ k

^gilt

(t ³ , t ² ) ∈ V (Y ² − X ³ )

^{. Daraus folgt}

P (t ³ , t ² ) = 0

^{und somit}

A(t ² )t ³ + B(t ² ) = 0

^{. Wirshreiben}

A(X) = P

k a k X ^k

^und

B(X) = P

j b j X ^j

^{.Daraus folgt}

X

k

a k t ^2k+3 + X

j

b j t ^2j = 0.

Da

k

^{unendlih ist, müssen alle Koezienten null sein, also}

a _k = 0

^und

b _j = 0

^für

alle

k

^und

j

^{. Es folgt}

A = B = 0

^und

P ∈ (Y ² − X ³ )

^.

1.5. Reguläre Funktionen

Denition 1.5.1 Sei

V ⊂ A _n ( k )

^{. Die}

k

^-Algebra

Γ(V ) = k [X ₁ , . . . , X _n ]/I(V )

^heiÿt

ane Algebra von

V

^{oder Algebra regulärer Funktionen auf}

V

^.

Denition 1.5.2 EinRing

R

^{heiÿtreduziert,fallsfüralle}

a ∈ R

^{folgendeAussage}

gilt:(

a

^nilpotent

⇒ a = 0

^).

Proposition 1.5.3 Sei

V ⊂ A _n ( k )

^{. Der Ring}

Γ(V )

^{istreduziert.}

Beweis. Sei

P ∈ k [X 1 , . . . , X n ]

^{so, dass}

[P ] ∈ Γ(V )

^{nilpotent ist. Es gilt also}

P ⁿ ∈ I(V )

^,also

P ⁿ (x) = 0

^füralle

x ∈ V

^{. Darausfolgt}

P (x) = 0

^{für alle}

x ∈ V

^{und damit}

P ∈ I(V )

^i.e.

[P ] = 0

^.

Denition 1.5.4 Sei

R

^einRing.

1. Sei

I

^{einIdeal in}

R

^{.Das Radikal von}

I

^ist

√ I = { a ∈ R | ∃ k ∈ N

^mit

a ^k ∈ I } .

2.Das Nilradikal von

R

^ist

p (0)

^.

Lemma 1.5.5 Sei

R

^{ein Ringund}

I

^{einIdeal in}

R

^.

1. Dannist

√ I

^einIdealin

R

^.

2.Es gilt

I ⊂ √ I

^.

3.Es gilt(

R/I

^reduziert

⇔ I = √

I

^).

Beweis. 1. Seien

a, b ∈ √

I

^{. Dann gibt es}

k, l

^mit

a ^k , b ^l ∈ I

^{.Wir betrahten}

(a + b) ^k+l =

k+l

X

i=0

k + l i

a ⁱ b ^k+l−i .

Für

i ≥ k

^gilt

a ⁱ b ^k+l−i = a ^i−k a ^k b ^k+l−i ∈ I

^(weil

a ^k ∈ I

^{). Für}

i ≤ k

^gilt

a ⁱ b ^k+l−i = a ⁱ b ^l b ^k−i ∈ I

^(weil

b ^l ∈ I

^{).Daraus folgt}

(a + b) ^k+l ∈ I

^{und damit}

a + b ∈ √

I

^.

Sei

a ∈ √

I

^und

c ∈ R

^{. Dann gibt es}

k

^mit

a ^k ∈ I

^{, also}

(ac) ^k = a ^k c ^k ∈ I

^{. Daraus}

folgt

ac ∈ √ I

^.

2. Klar.

3. (

⇒

^)Sei

a ∈ √

I

^und

k

^mit

a ^k ∈ I

^{.Dann gilt}

[a] ^k = 0 ∈ R/I

^{. Daraus folgt}

[a] = 0

^,

also

a ∈ I

^.

(

⇐

^{) Sei}

a ∈ R

^mit

[a]

^{nilpotent. Es gibt ein}

k

^mit

[a] ^k = 0

^{, also}

a ^k ∈ I

^{. Es folgt}

a ∈ √

I = I

^,also

[a] = 0

^.

Bemerkung 1.5.6 DasNilradikalistdieMenge allernilpotenten Elementen. Diese

Menge istalsoein Ideal.

Korollar 1.5.7 Sei

V ⊂ A _n ( k )

^{. Dann gilt}

I(V ) = p

I (V )

^.

2.1. Topologie

ZurErinnerungwerdenwirhierdieDenitioneinerTopologiewiederholen.

Denition 2.1.1 Sei

X

^{eineMenge. Eine Topologieauf}

X

^isteinMengesystem

T

bestehend aus Teilmengen von

X

^{, für diediefolgenden Axiomeerfülltsind:}

(T1) Die leere Menge

∅

^und

X

^{sind Elemente aus}

T

^,

(T2) Der Durhshnitt endlihvielerElementen aus

T

^{istElement aus}

T

^,

(T3) Die Vereinigung beliebigvieler Elementen aus

T

^{istElementaus}

T

^.

Die Elemente aus

T

^{heiÿen oene} Teilmengen. Eine Teilmenge

F

^von

X

^heiÿt

abgeshlossenfallsdasKomplement

F ^c

^{oenist.EineMenge}

X

^{miteinerTopologie}

T

^heiÿt topologisher Raum.

Lemma 2.1.2 Sei

X

^ein topologisher Raum mitder Topologie

T

^{. Sei}

Y

^{eine Teil-}

mengevon

X

^{.Danndeniertdas}Mengesystem

T Y = { U ∩ Y | U ∈ T }

^{eineTopologie}

auf

Y

^.

Beweis. Übung.

Denition 2.1.3 Sei

X

^ein topologisher Raum mit der Topologie

T

^{. Sei}

Y

^eine

Teilmenge von

X

^{. Die Topologie}

T ^Y = { U ∩ Y | U ∈ T }

^auf

Y

^{heiÿt induzierte}

Topologie.

Denition 2.1.4 Sei

X

^ein topologisher Raum. Eine oene Überdekung von

X

^{ist eine Familie}

(U ) U∈U

^{von oene Teilmengen so, dass}

X = [

U∈U

U.

Lemma 2.1.5 Sei

X

^ein topologisher Raum und sei

(U) U∈U

^{eine oene Über-}

dekeung.

Eine Teilmenge

Z ⊂ X

^{istgenau dannoen(bzw.} abgeshlossen), wenn

Z ∩ U

^oen

(bzw. abgeshlossen) in

U

^{(mit der} induzierten Topologie) ist,für alle

U ∈ U

^.

Beweis. WirgebeneinenBeweisfüroeneTeilmenge.DerBeweisfürabgeshlossene

Teilmengen ist analog.

Falls

Z

^{oen ist gilt}

Z ∩ U

^{oen für alle}

U ∈ U

^{. Umgekehrt, falls}

Z ∩ U

^{oen in}

U

ist,für alle

U ∈ U

^.Dannist

Z ∩ U

^{der Form}

U ∩ U ^′

^{füreine oeneTeilmenge}

U ^′

^von

X

^also

U ∩ Z = U ∩ U ^′

^{istoen in}

X

^{. Es giltaber}

Z = Z ∩ X = Z ∩ [

U∈U

U

!

= [

U∈U

Z ∩ U

! .

Daraus folgt,dass

Z

^oenin

X

^ist.

2.2. Die Zariski-Topologie

Bemerkung 2.2.1 Man kann auh eine Topologie

T

^{dank der Angabe des Men-}

gensystems aller abgshlossenen Teilmengen denitieren: Sei

T ^′

^ein Mengesystem bestehend aus Teilmengenvon

M

^{,für diedie folgendenAxiomeerfüllt sind:}

(T'1) Die leere Menge

∅

^und

M

^{sind Elemente aus}

T ^′

^,

(T'2) Die Vereinigung endlih vielerElementen aus

T ^′

^{ist Element aus}

T ^′

^,

(T'3) Der Durhshnitt beliebigvieler Elementen aus

T ^′

^{istElementaus}

T ^′

^.

Dann Deniert das System

T

^aller Komplemente von Elementen aus

T ^′

^{eine Topo-}

logie auf

M

^{i.e. erfülltdie Axiome(T1), (T2) und (T3).}

Bemerkung 2.2.2 Sei

T ^′

^das Mengesystem aller algebraishen Mengen in

A n ( k )

^.

Nah Beispiel 1.1.2, Lemma 1.3.1 und Korollar 1.3.5 erfüllt

T ^′

^{die Axiome (T'1),}

(T'2)und (T'3)und deniert alsoeine Topologie.

Denition 2.2.3 Die Zariski-Topologie auf

A n ( k )

^{ist die Topologie deren abge-}

shlossenen Teilmengen die algebraishen Mengen sind.

Denition 2.2.4 Sei

V

^{eine Teilmengevon}

A n ( k )

^{. Die Zariski-Topologie auf}

V

istdie, vonder Zariski-Topologie, induzierteTopologie auf

V

^.

Bemerkung 2.2.5 Man sollte hier aufpassen: die Zariski-Topologie ist viel anders

alsdie üblihe Topologie: dieoene Teilmengen sind gröÿer und die abgeshlossene

Teilmengen sind kleiner.

Zum Beispiel, nah Lemma1.1.3 sind dieAbgeshlossene Teilmengen in

A 1 (R) = R

nur

∅

^,

R

^{und die endlihe Teilmegen. Ein niht leeres oenes Intervall wie}

]0, 1[

^is

Lemma 2.2.6 Sei

V ⊂ A n ( k )

^{. Danngilt(für die}Zariski-Topologie)

V = V (I (V )).

Beweis. Es gilt

V ⊂ V (I(V ))

^{und da}

V (I(V ))

^{algebraish ist, ist es} abgeshlossen.

Daraus folgt

V ⊂ V (I(V ))

^{. Sei}

Z

abgeshlossen mit

V ⊂ Z

^{. Danngilt}

Z = V (I (Z ))

und

I(V ) ⊃ I(Z)

^{. Daraus folgt}

V (I (V )) ⊂ V (I(Z)) = Z

^{. Also ist}

V (I(V ))

^die

minimaleabgeshlossene Teilmengedie

V

^{enthält i.e.}

V = V (I (V ))

^.

Denition 2.2.7 Sei

P ∈ k [X 1 , · · · , X n ]

^{. Das Komplement der Hyperähe}

V (P )

heiÿt die von

P

^denierte standardmäÿige oene Teilmenge und ist

D(P )

bezeihnet:

D(P ) = A n ( k ) \ V (P ).

Proposition 2.2.8 EineoeneTeilmenge(inderZariski-Topologie)isteineendlihe

Vereinigung vonstandardmäÿigen oenen Teilmengen.

Beweis. Sei

U

^{eine oene Teilmengen. Dann ist}

A n ( k ) \ U

abgeshlossen also eine algebraisheMengederForm

V (S)

^{.NahKorollar1.2.8giltesPolynome}

P ₁ , · · · , P _r ∈ k [X 1 , · · · , X n ]

^mit

V (S) = V (P 1 , · · · , P r )

^{. Nah Lemma 1.3.1 folgt}

V (S) = V (P 1 ) ∩

· · · ∩ V (P r )

^{. Daraus folgt}

U = A _n ( k ) \ V (S) = A _n ( k ) \ (V (P ₁ ) ∩ · · · ∩ V (P _r ))

= (A n ( k ) \ V (P 1 )) ∪ · · · ∪ (A n ( k ) \ V (P r )) = D(P 1 ) ∪ · · · ∪ D(P r )

und dieAussage folgt.

2.3. Irreduzibilität

Lemma 2.3.1 Sei

X

^eintopologisher Raum. Dannsind äquivalent:

1. Falls

X = F 1 ∪ F 2

^mit

F 1

^und

F 2

abgeshlossen,gilt

X = F 1

^oder

X = F 1

^.

2. Falls

U 1

^und

U 2

^{oen in}

X

^{sind mit}

U 1 ∩ U 2 = ∅

^{, gilt}

U 1 = ∅

^oder

U 2 = ∅

^.

Beweis. Setze

U i = F _i ^c

^oder

F i = U _i ^c

^für

i ∈ [1, 2]

^.

Denition 2.3.2 Sei

X

^eintopologisher Raum mit

X 6 = ∅

^.

1. Wenn

X

^{eine von den beiden} äquivalenten Eigenshaften 1. oder 2. aus Lemma 2.3.1 erfüllt, heiÿt irreduzibel.

Falls

X

^niht irreduzibelist heiÿt

X

^reduzibel.

2.Sei

Y

^{eine Teilmengevon}

X

^.Dannheiÿt

Y

irreduzibel(bzw.reduzibel)falls

Y

Beispiel 2.3.3 FürdieklassisheTopologieauf

R

^,eineabgeshlosseneTeilmenge

F

von

R

^{mit der} induzierten Topologie ist genau dann irreduzibel, wenn

F

^{nur einen}

Punkt enthält (Übung).

Denition 2.3.4 Eintopologisher Raum heiÿt zusammenhängend, falls gilt:

(

U ₁

^und

U ₂

^oenmit

U ₁ ∪ U ₂ = X

^und

U ₁ ∩ U ₂ = ∅

⁾

⇒

⁽

U ₁ = ∅

^oder

U ₂ = ∅

^).

Lemma 2.3.5 Sei

X

^ein irreduzibler topologisher Raum. Dann ist

X

^zusammen-

hängend.

Beweis. Seien

U ₁

^und

U ₂

^{oeneTeilmengenmit}

U ₁ ∪ U ₂ = X

^und

U ₁ ∩ U ₂ = ∅

^.Dann

gilt

U 1 = ∅

^oder

U 2 = ∅

^.

Denition 2.3.6 Sei

X

^ein topologisher Raum. Eine Teilmenge

Y

^von

X

^heiÿt

dihtfalls gilt

Y ∩ U 6 = ∅

^{für alleniht leere oene Teilmengen}

U

^von

X

^.

Proposition 2.3.7 Sei

X

^einirreduzibler topologisher Raum und sei

U

^{eine niht}

leere oene Teilmenge. Dann ist

U

^{diht in}

X

^und irreduzibel.

Beweis. Sei

U ^′

^{eine weitere niht leere oene Teilmenge. Falls}

U ∩ U ^′ = ∅

^{gilt, folgt}

U = ∅

^oder

U ^′ = ∅

^{. Ein}Widerspruh.

Seien

U ₁

^und

U ₂

^{oene Teilmengen von}

U

^mit

U ₁ ∩ U ₂ = ∅

^{. Dannsind auh}

U ₁

^und

U 2

^{oene Teilmengen von}

X

^mit

U 1 ∩ U 2 = ∅

^{.Es folgt}

U 1 = ∅

^oder

U 2 = ∅

^.

Proposition 2.3.8 Sei

X

^eintopologisher Raumund sei

Y

^{eine Teilmenge.}

1.Falls

Y

irreduzibel ist,dann ist

Y

^{(der Abshluss)} irreduzibel.

2.Sei

U

^{eine oene Teilmengevon}

X

^{.Danndenieren die}Abbildungen

Y 7→ Y

^und

Z 7→ Z ∩ U

bijektionen zwishen

{ Y ⊂ U | Y

abgeshlossen und irreduzibelin

U }

und

{ Z ⊂ X | Z

abgeshlossen und irreduzibelin

X

^mit

Z ∩ U 6 = ∅}

^.

Beweis. 1. Seien

F 1

^und

F 2

^zweiabgeshlossene Teilmengen von

Y

^mit

F 1 ∪ F 2 = Y

^.

PerDenition gibt esabgeshlossene Teilmengen

Z ₁

^und

Z ₂

^von

X

^mit

F _i = Z _i ∩ Y

^.

Daraus folgt, dass

F 1

^und

F 2

^{auh in}

X

abgeshlossen sind. Also sind

F 1 ∩ Y

^und

F 2 ∩ Y

ⁱⁿ

Y

abgeshlossenundesgilt

Y = Y ∩ Y = Y ∩ (F 1 ∪ F 2 ) = (Y ∩ F 1 ) ∪ (Y ∩ F 2 )

^.

Da

Y

irreduzibel ist folgt

F ₁ ∩ Y = Y

^oder

F ₂ ∩ Y = Y

^also

Y ⊂ F ₁

^oder

Y ⊂ F ₂

^.

Daraus folgt

Y ⊂ F 1 = F 1

^oder

Y ⊂ F 2 = F 2

^also

Y = F 1

^oder

Y = F 2

^.

2. Sei

Y ⊂ U

abgeshlossen und irreduzibel. Dann ist

Y

abgeshlossen irreduzibel und

∅ 6 = Y ⊂ Y ∩ U

^{alsoniht leer.}

Sei

Z

abgeshlossen irreduzibel mit

Z ∩ U 6 = 0

^{.Dann ist}

Y = Z ∩ U

^{oen in}

Z

^und

abgeshlossen in

U

^{, niht leer und nah}Proposition 2.3.7 irreduzibel.

DieAbbildungensindalsowohldeniertundwirzeigen,dasssieinversevoneinander

Sei

Y ⊂ U

abgeshlossen und irreduzibel. Es gilt

Y ⊂ U ∩ Y

^{. Umgekehrt, da}

Y

abgeshlossen in

U

^{ist,gibt esein}

F

abgeshlossenin

X

^mit

Y = F ∩ U ⊂ F

^.Esgilt

also

Y ⊂ F

^und

Y ∩ U ⊂ F ∩ U = Y

^{. Daraus folgt}

Y = Y ∩ U

^.

Sei

Z

abgeshlossen in

X

^, irreduzibel mit

Z ∩ U 6 = ∅

^{. Es gilt}

Z ∩ U ⊂ Z

^{und da}

Z

abgeshlossen ist,gilt

Z ∩ U ⊂ Z

^{. Sei}

F = Z \ (Z ∩ U )

^.Dannist

F

abgeshlossen in

Z

^{und esgilt}

Z = F ∪ Z ∩ U

^.Da

Z

irreduzibelist,folgt

F = ∅

^oder

Z ∩ U = ∅

^.Die

zweite Gleihung ist niht möglihalso

F = ∅

^und

Z = U ∩ Z

^.

Proposition 2.3.9 Sei

V

^eine algebraishe Menge mitder Zariski-Topologie.Dann gilt

V

^ist irreduzibel

⇔ I(V )

^{istein Primideal}

⇔ Γ(V )

^{ist ein}Integritätsring.

Beweis. Die zweite Äquivalenz folgt aus der Vorlesung Algebra (Lemma 2.1.36.(1)).

Angenommen

V

^sei irreduzibel und seien

P 1 , P 2 ∈ k [X 1 , · · · , X n ]

^mit

P 1 P 2 ∈ I(V )

^.

Sei also

F i = V (P i )

^für

i ∈ { 1, 2 }

^{. Dann sind}

F 1

^und

F 2

abgeshlossen in

V

^{. Sei}

x ∈ V

^.Danngilt

P 1 (x)P 2 (x) = (P 1 P 2 )(x) = 0

^also

P 1 (x) = 0

^oder

P 2 (x) = 0

^.Daraus

folgt

x ∈ V (P ₁ ) = F ₁

^oder

x ∈ V (P ₂ ) = F ₂

^i.e.

V = (V ∩ F ₁ ) ∪ (V ∩ F ₂ )

^{. Also es}

gilt

V ⊂ F 1 ∪ F 2

^{. Da}

V

irreduzibelist, folgt

V ⊂ F 1 = V (P 1 )

^oder

V ⊂ F 2 = V (P 2 )

^.

Daraus folgt

P 1 ∈ I(V )

^oder

P 2 ∈ I(V )

^.

Umgekehrt sei

I(V )

^{prim aud seien}

F 1

^und

F 2

abgeshlossen in

V

^mit

V = F 1 ∪ F 2

^.

Falls

F 1 ( V

^und

F 2 ( V

^gilt

I(V ) ( I (F 1 )

^und

I(V ) ( I(F 2 )

^{(sonnst gilt}

V = V (I(V )) = V (I (F i )) = F i

^{weil alle Mengen} algebraishe Mengen sind). Seien also

P i ∈ I (F i ) \ I(V )

^für

i ∈ { 1, 2 }

^{. Esgilt}

P 1 P 2 ∈ I(F 1 ∪ F 2 ) = I (V )

^aber

P i 6∈ I(V )

^für

i ∈ { 1, 2 }

^{.Ein Widerspruh zu}

I (V )

^Primideal.

Korollar 2.3.10 Sei

k

^{unendlih.Dann ist}

A n ( k )

irreduzibel.

Beweis. Es gilt

I(A n ( k )) = (0)

^und

Γ(A 1 ( k )) = k [X 1 , · · · , X n ]

^istein Integritätsring.

Daraus folgt dieAussage.

Beispiel 2.3.11 Für

k

^{endlih ist}

A n ( k )

^{reduzibel: es ist die} Vereinigung endlih vielerPunkten.

Korollar 2.3.12 (Fortsetzung algebraisher Gleihungen) Sei

k

^unendlihund

sei

V ( A n ( k )

^eine algebraishe Menge. Sei

P ∈ k [X 1 , · · · , X n ]

^mit

P (x) = 0

^für

x 6∈ V

^{. Dann gilt}

P = 0

^.

Beweis. Es gilt

A n ( k ) = V (P ) ∪ V

^{. Da}

A n ( k )

irreduzibel ist und

V ( A n ( k )

^gilt

V (P ) = A _n ( k )

^.

Korollar 2.3.13 Seien

A, B ∈ M n ( k )

^{.Dann gilt}

χ AB = χ BA

^.

Beweis. Sei

P (A, B) = χ AB − χ BA

^{. Es ist ein Polynom in den Koezienten von}

A

^und

B

^{. Für}

B

invertierbar gilt

χ AB = χ B(AB)B ⁻¹ = χ BA

^also

P (A, B) = 0

^für

B

invertierbar. Da die Menge aller niht invertierbaren Matrizen eine algebraishe

Menge ist (es ist

V (det)

^)folgt

P = 0

^.

2.4. Irreduzible Komponenten

Denition 2.4.1 Eintopologisher Raum

X

^{heiÿtnoethersh fallsjedeabsteigen-}

de Kette von abgeshlossenen Teilmengen stationäristi.e. für jede Kette

Z 1 ⊃ Z 2 ⊃ · · · ⊃ Z r ⊃ · · ·

mit

Z r

abgeshlossen,gibt es ein

N

^{so, dass}

Z r = Z N

^{für alle}

r ≥ N

^.

Beispiel 2.4.2 Der Körper

R

^{mit der üblihen Topologie ist niht noethersh: die}

absteigendeKette

[0, _n ¹ ]

^von abgeshlossenen Teilmengen ist niht stationär.

Lemma 2.4.3 Der Raum

A n ( k )

^mitder Zariski-Topologieist noethersh.

Beweis. Sei

Z 1 ⊃ Z 2 ⊃ · · · ⊃ Z r ⊃ · · ·

^{eine Kette von} abgeshlossenen Teilmengen von

A n ( k )

^{. Danngilt}

Z r = V (I(Z r ))

^und

I (Z 1 ) ⊂ I(Z 2 ) ⊂ · · · ⊂ I(Z r ) ⊂ · · ·

^ineine

Kette von Idealen in

k [X 1 , · · · , X n ]

^{. Da dieser Ring noethersh ist folgt, dass es ein}

N

^{gibt mit}

I(Z r ) = I (Z N )

^für

r ≥ N

^{. Esfolgt}

Z r = V (I(Z r )) = V (I(Z N )) = Z N

^für

r ≥ N

^.

Lemma 2.4.4 Sei

X

^einnoethersher topologisherRaum und

Y ⊂ X

^{.Dann ist}

Y

auh noethersh für dieinduzierte Topologie.

Beweis. Sei

Z ₁ ⊃ Z ₂ ⊃ · · · ⊃ Z _r ⊃ · · ·

^{eine Kette von} abgeshlossenen Teilmengen von

Y

^{. Für jedes}

r

^{, sei}

F r

abgeshlossen in

X

^mit

Z r = Y ∩ F r

^{. Wir setzen}

Z _r ^′ = F 1 ∩ · · · ∩ F r

^{. Dann ist}

Z ₁ ^′ ⊃ Z ₂ ^′ ⊃ · · · ⊃ Z _r ^′ ⊃ · · ·

^{eine Kette von} abgeslossenen Teilmengen von

X

^{. Es gibt alsoein}

N

^mit

Z _r ^′ = Z _N ^′

^für

r ≥ N

^{.Es giltaber}

Z r = Z 1 ∩ · · · ∩ Z r = (Y ∩ F 1 ) ∩ · · · · ∩ (Y ∩ F r ) = Y ∩ (F 1 ∩ · · · ∩ F r ) = Y ∩ Z _r ^′ .

Daraus folgt

Z r = Y ∩ Z _r ^′ = Y ∩ Z _N ^′ = Z N

^.

Korollar 2.4.5 Jede teilmenge von

A n ( k )

^{ist für die}Zariski-Topologienoethersh.

Denition 2.4.6 Sei

X

^eintopologisher Raum. Eine irreduzible Komponente von

X

^{ist eine maximale (für die} Enthaltung) irreduzible abgeshlossene Teilmenge von

X

^.

Beispiel 2.4.7 1. Sei

k

^{endlih und}

V ⊂ A _n ( k )

^{. Dann sind die Punkte von}

V

^die

irreduzibleKomponentevon

V

^.

2. Sei

k

^{unendlih und}

V = V (XY ) ⊂ A ₂ ( k )

^{. Dann sind}

V (X)

^und

V (Y )

^dieirredu-

zibleKomponentevon

V

^:sei

Z

^eineirreduzible Komponente. Dannist

Z

irreduzibel, abgeshlossen in

V

^{und maximal. Daraus folgt, dass}

I(V ) ⊂ I(Z)

^{gilt, dass}

I(Z)

ein Primideal ist und minimal für diese Eigenshaften. Es folgt

XY ∈ I(Z )

^also

(X) ⊂ I (Z)

^oder

(Y ) ⊂ I(Z)

^,

I(Z )

^{ist ein Primideal und ist minimal. Da}

(X)

und

(Y )

Primidealen sind folgt

I(Z) = (X)

^oder

I(Z ) = (Y )

^also

Z = V (X)

^oder

Z = V (Y )

^.

Proposition 2.4.8 Sei

X 6 = ∅

^ein noethersher topologisher Raum. Dann hat

X

nur endlih vieleirreduzible Komponente

X 1 , · · · , X r

^{und es gilt}

X = X 1 ∪ · · · ∪ X r

^.

Beweis. Für

Y

^{eine Teilmenge von}

X

^{denieren wir die Eigenshaft (P) durh:}

Y

erfüllt (P) falls

Y

^{eine endlihe} Vereinigung von abgeshlossenen, irreduziblen Teil- mengen von

Y

^{ist.Wir Zeigen,dass}

X

^{dieEigenshaft(P) erfüllt.}

Sei

M = { Y ⊂ X | Y

^{istniht leer,} abgeshlossen abererfüllt niht(P)

}

^.Wirzeigen,

dass

M

^{leer ist.Darausfolgt,dass}

X

^{dieEigenshaft(P)erfüllt.Angenommen}

M

^sei

niht leer. Da

X

^{noethersh ist,gibt esein minimalesElementin}

M

^{: wähle}

Z 1 ∈ M

^.

Falls

Y

^{minimal ist sind wir fertig. Sonnst gibt es ein}

Z 2 ( Z 1

^mit

Z 2 ∈ M

^{. Dann}

muss ein

Z _r

^{minimal sein: sonnst ist die Kette}

Z ₁ ⊃ · · · ⊃ Z _r ⊃ · · ·

^{niht stationär.}

Seialso

Z

^minimalin

M

^.

Es gilt

Z 6 = ∅

^und

Z

^{ist niht} irreduzibel. Daraus folgt, dass es zwei ehte niht leere abgeshlossene Teilmengen

F ₁

^und

F ₂

^von

Z

^(oder

X

^{) gibt mit}

Z = F ₁ ∪ F ₂

^.

Nahminimalitätgilt

F 1 , F 2 6∈ M

^also

F 1

^(bzw.

F 2

^{)isteineendlihe}Vereinigungvon abgeshlossenen irreduziblen Teilmengen von

F 1

^(bzw.

F 2

^{). Daraus folgt aber, dass}

Z

^{so eine} Vereinigungist. EinWiderspruh.

Esgibt alsoendlihvieleabgeshlossene irreduzibleTeilmenge

X 1 , · · · , X r

^von

X

^so,

dass

X = X 1 ∪ · · · ∪ X r

^{. Wir zeigen, dass jede} irreduzible Teilmenge

Y

^von

X

ⁱⁿ

einem

X _i

^{enhalten ist.Es gilt}

Y = Y ∩ Y = Y ∩ (X 1 ∪ · · · ∪ X r ) = (Y ∩ X 1 ) ∪ · · · ∪ (Y ∩ X r ).

Alle

Y ∩ X i

^sind abgeshlossen und

Y

^ist irreduzibel. Daraus folgt, dass es ein

i

gibt mit

Y ⊂ X i

^{. Die maximale Elementeder Familie}

(X i ) i∈[1,r]

^{sind die}irreduzible

Komponentevon

X

^.

Korollar 2.4.9 JedealgebraisheMenge

V

^{hatendlihviele}vershiedeneirreduzible Komponente

V 1 , · · · , V r

^{und es gilt}

V = V 1 ∪ · · · ∪ V r

^.

Beweis. Da

V ⊂ A n ( k )

^und

A n ( k )

^{noethershist,istauh}

V

^{noethersh.DieAussage}

folgt aus dem Proposition.

2.5. Kompakte und Haudor Räume

Denition 2.5.1 Ein Topologisher Raum

X

^{heiÿtHausdor fallsgilt:für}

x, x ^′ ∈ X

^mit

x 6 = x ^′

^{gibtesoene Umgebungen}

U

^und

U ^′

^von

x

^und

x ^′

^{(i.e.oeneTeilmen-}

gen

U

^und

U ^′

^mit

x ∈ U

^und

x ^′ ∈ U ^′

^{) so,dass}

U ∩ U ^′ = ∅

^.

Lemma 2.5.2 Sei

V

^eine algebraishe Menge die unendlih viele Punkte enthält.

Dann ist

V

^{niht Hausdor.}

Beweis. Da

V

^{nur endlih viele} irreduzible Komponente hat, kann man ohne Ein- shänkung

V

irreduzibelannehmen. Seien

x, x ^′ ∈ V

^mit

x 6 = x ^′

^{.DieBedingung,dass}

esoeneUmgebungen

U

^und

U ^′

^von

x

^und

x ^′

^gibtmit

U ∩ U ^′ = ∅

^{isteinWiderspruh}

zur Irreduzibilität.

Beispiel 2.5.3 Für

V

^{endlih sind die Punkte von}

V

^{oen und} abgeshlossen also diePunkte von

V

^{sind die} zusammenhängende Komponente und

V

^istHausdorf.

Denition 2.5.4 Sei

X

^eintopologisher Raum.

1.FallsesfürjedeoeneÜberdekung

(U λ ) λ∈Λ

^eineendliheTeilüberdekung

(U λ i ) i∈[1,r]

gibt, heiÿt

X

quasi-kompakt.

2. Falls

X

^{Hausdor und} quasi-kompakt ist,heiÿt

X

^kompakt.

Lemma 2.5.5 Ein topologisher Raum

X

^{ist genau dann} quasi-kompakt, wenn für jedeFamilie von abgeshlossenen Teilmengen

(F λ ) λ∈Λ

^mit

\

λ∈Λ

F λ = ∅

gibt eseine endlihe Teilfamilie

(F _{λ i} ) i∈[1,r]

^mit

r

\

i=1

F λ i = ∅ .

Beweis. Setze

U λ = F _λ ^c

^.

Denition 2.5.6 Sei

V ⊂ A n ( k )

^{und sei}

P ∈ k [X 1 , · · · , X n ]

^{. Die oene Teilmenge}

D(P ) ∩ V

^von

V

^{heiÿtdie von}

P

^denierte standardmäÿige oene Teilmenge von

V

^{und ist}

D V (P )

berzeihnet.

Proposition 2.5.7 Sei

V

^eine algebraishe Menge.

1. Jede oene Teilmenge von

V

^{ist eine endlihe} Vereinigung von standardmäÿigen oenen Teilmengen von

V

^.

2. Der topologisher Raum

V

^istquasi-kompakt.

Beweis. 1. Sei

U

^{oen in}

V

^und

U ^′

^{oen in}

A n ( k )

^mit

U = V ∩ U ^′

^{. Da es endlihe}

viele Polynome

P 1 , · · · , P r

^{gibt mit}

U ^′ = D(P 1 ) ∪ · · · ∪ D(P r )

^{folgt die Gleihung}

U = D _V (P ₁ ) ∪ · · · ∪ D _V (P _r )

^.

2. Sei

(U λ ) λ∈Λ

^{eine Familie von oenen Teilmengen von}

V

^mit

\

λ∈Λ

U λ = V.

Nah 1. können wir annehmen, dass alle

U λ

standardmäÿige oene Teilmengen sind also

U λ = D V (P λ )

^fürein

P λ ∈ k [X 1 , · · · , X n ]

^.Sei

I = (P λ | λ ∈ Λ)

^.Da

k [X 1 , · · · , X n ]

noethersh istgibt eseine Teilfamilie

P λ 1 , · · · , P λ r

^so,dass

I = (P λ 1 , · · · , P λ r )

^.

WirZeigen,

V = D V (P λ 1 ) ∪· · ·∪ D V (P λ r )

^.Seialso

x ∈ V \ (D V (P λ 1 ) ∪· · · ∪ D V (P λ r ))

^.

Es gilt also

P _{λ i} (x) = 0

^{für alle}

i ∈ [1, r]

^{. Es gibt aber ein}

λ ∈ Λ

^mit

P _λ (x) 6 = 0

^.

Aber

P λ ∈ I

^{und es gibt Polynome}

Q 1 , · · · , Q r

^mit

P λ = P r

i=1 Q i P λ i

^{. Daraus folgt}

P λ (x) = 0

^.Ein Widerspruh.

Beispiel 2.5.8 Sei

X = R

^.

1.

X

^{istHausdor aber niht} quasi-kompakt fürdie üblihe Topologie.

2.

X

^{istnihtHausdor aber}quasi-kompakt für dieZariskiTopologie.