Aufgabe 7.1. Sei p : E → B eine Serre-Faserung, e ∈ E und b = p(e). Sei i : (F, e) → (E, e) die Inklusion der Faser. Sei n ≥ 0. Beweise die folgenden Aussagen.

Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Wintersemester 2011

UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II ¨

Blatt 7 ^∗ , 18.11.2011

Aufgabe 7.1. Sei p : E → B eine Serre-Faserung, e ∈ E und b = p(e). Sei i : (F, e) → (E, e) die Inklusion der Faser. Sei n ≥ 0. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Falls i homotop relativ {e} zur konstanten Abbildung ist, so haben wir eine kurze exakte Folge

0 → π _n+1 (E, e) − ^p →

π _n+1 (B, b) − → ^∂ π _n (F, e) → 0, und ∂ besitzt einen Schnitt.

(b) Wir haben Isomorphismen

π _n (S ⁴ , ∗) ∼ = π _n (S ⁷ , ∗) ⊕ π n−1 (S ³ , ∗).

Insbesondere gilt π ₇ (S ⁴ , ∗) ∼ = Z ⊕ π ₆ (S ³ , ∗).

Aufgabe 7.2. Sei X ein punktierter Raum. Wir identifizieren hier π _n (X) mit [S ⁿ , X ] ∗ und definieren das Kompositionsprodukt als

π _p (X) × π _q (S ^p ) → − ^◦ π _q (X), ([f ], [α]) 7→ [f ] ◦ [α] := [f α].

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Das Kompositionsprodukt ist wohldefiniert, nat¨ urlich in X und assoziativ im Sinne, dass ([f] ◦ [α]) ◦ [β] = [f ] ◦ ([α] ◦ [β]) in π _r (X), f¨ ur β ∈ π _r (S ^q ).

(b) F¨ ur [α ₁ ], [α ₂ ] ∈ π _q (S ^p ) gilt

[f] ◦ ([α ₁ ] + [α ₂ ]) = [f] ◦ [α ₁ ] + [f] ◦ [α ₂ ].

(c) Sei h ∈ π 3 (S ² ) ein Erzeuger, und 1 = [id _S

] ∈ π 2 (S ² ). Dann gilt (−1) ◦ h = h ∈ π 3 (S ² ).

Insbesondere ist − ◦ [α] nicht notwendigerweise additiv.

(d) Sei β ∈ π _q−1 (S ^p−1 ). Dann ist − ◦ Σ _∗ [β] : π _p (X) → π _q (X) additiv.

(e) Die Klasse 2h liegt im Kernel von Σ _∗ : π ₃ (S ² ) → π ₄ (S ³ ). Insbesondere hat π ₄ (S ³ ) ∼ = π ^s ₁ die Ordnung 1 oder 2.

Aufgabe 7.3. Seien (X, ∗) und (Y, ∗) punktierten CW -Komplexe mit X k-zusammenh¨ angend und Y `-zusammenh¨ angend. Wir setzen voraus, dass X oder Y lokal-kompakt ist. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Das Paar (X × Y, X ∨ Y ) ist (k + ` + 1)-zusammenh¨ angend. Insbesondere ist X ∧ Y auch (k + ` + 1)-zusammenh¨ angend.

(b) Die Inklusionen induzieren einen Isomorphismus π _n (X, ∗) ⊕ π _n (Y, ∗) → π _n (X ∨ Y, ∗) f¨ ur alle 1 ≤ n ≤ k + `.

(c) Sei A eine Menge und n ≥ 2. Die Inklusionen induzieren einen Isomorpismus M

a∈A

π _n (S ⁿ ) → π _n ( _

a∈A

S ⁿ ).

Aufgabe 7.4. Sei 1 ≤ n < ∞. Beweise : R P ⁿ ist genau dann einfach, wenn n ungerade ist.

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Abgabe : Montag 28.11.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html