Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2011
UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE ¨
Blatt 13 ∗ ,01.07.2011
Aufgabe 13.1. Sei R ein kommutativer Ring. Beweise die folgenden Aussagen.
(a) Falls X die Vereinigung von n offenen zusammenziehbaren Teilr¨ aumen ist, so sind alle n-fache Cup-Produkte α 1 ∪ · · · ∪ α n in H e ∗ (X; R) null.
(b) F¨ ur jede Abbildung f : S m+n → S m × S n gilt H m+n (f ; Z ) = 0.
Hinweis zu (a): Induktion auf n mit Hilfe des reltiven Cup-Produktes.
Aufgabe 13.2. Beweise die folgenden Aussagen.
(a) Seien X und Y punktierte R¨ aumen. Wir haben einen Isomorphismus von (nicht unit¨ ar- en) R-Algebren
H e ∗ (X; R) ⊕ H e ∗ (Y ; R) ∼ = H e ∗ (X ∨ Y ; R), wo wir links das komponentenweise Produkt nehmen.
(b) F¨ ur m, n ≥ 1 sind die R¨ aumen S m ×S n und S m ∨S n ∨S m+n nicht Homotopie-¨ aquivalent.
Aufgabe 13.3. Sei M g eine orientierbare Fl¨ ache von Geschlecht g. Bestimme die Kohomologie- Algebra H ∗ (M g ; Z ).
Aufgabe 13.4. Eine Divisionsalgebrastruktur auf R n ist eine R -bilineare Abbildung µ : R n × R n → R n
mit µ(a, −) und µ(−, a) : R n → R n surjektiv f¨ ur alle a ∈ R n \ {0}.
(a) Mit Hilfe von Poincar´ e-Dualit¨ at, bestimme die Algebra H ∗ ( R P n ; F 2 ) f¨ ur alle n ≥ 1.
(b) Beweise den folgenden Satz von H. Hopf: Falls R n die Struktur einer Divisionsalgebra besitzt, so ist n eine Potenz von 2.
Hinweis zu (b): Die Abbildung S n−1 × S n−1 → S n−1 , (x, y) 7→ µ(x, y)/|µ(x, y)| induziert eine Abbildung f : R P n−1 × R P n−1 → R P n−1 . Bestimme H ∗ (f, F 2 ) und benutze dann: aus n k
≡ 0 mod (2) f¨ ur alle 1 ≤ k ≤ n − 1 folgt, dass n eine Potenz von 2 ist.
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