Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2011
UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE ¨
Blatt 5 ∗ , 29.04.2011
Aufgabe 5.1. Sei X ⊂ R 3 die Vereinigung von S 2 mit {(t, 0, 0) ∈ R 3 | − 1 ≤ t ≤ 1}.
(a) Finde eine CW-Zerlegung von X und berechne die Zellul¨ are Homologie von X.
(b) Beweise, dass X ' S 1 ∨S 2 . Ist die obige Berechnung von H ∗ CW (X; Z ) damit vertr¨ aglich ? Aufgabe 5.2. Sei H P n der quaternionische projektive Raum, definiert als Quotient von
H n+1 \ {0}
durch die Relation x ∼ y falls λ ∈ H existiert, mit λx = y. Beweise, dass H P n Hausdorff ist.
Finde eine CW-Zerlegung von H P n und berechne H ∗ ( H P n ; Z ).
Aufgabe 5.3. Seien X, Y CW-Komplexe. Beweise die folgenden Aussagen.
(a) Eine zellul¨ are Abbildung f : X → Y induziert ein Homomorphismus f ∗ : H ∗ CW (X; Z ) → H ∗ CW (Y ; Z )
zwischen den zellul¨ aren Homologiegruppen.
(b) Der in der Vorlesung definierte Isomorphismus
θ : H ∗ CW (−; Z ) → H ∗ (−; Z ) ist nat¨ urlich bez¨ uglich zellul¨ arer Abbildungen.
Aufgabe 5.4. Berechne H ∗ ( F P m / F P n ; Z ) f¨ ur m ≥ n und F = R , C und H .
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