Aufgabe 2.1. Seien (P, ≤) und (Q, ≤) zwei Quasi-geordnete Mengen, die wir als kleine Kate- gorien P und Q auffassen.

Ch. Ausoni, M. R¨ oer WWU M¨ unster, Wintersemester 2010/11

UBUNGEN ZUR TOPOLOGIE ¨

Blatt 2

, 15.10.2010

Aufgabe 2.1. Seien (P, ≤) und (Q, ≤) zwei Quasi-geordnete Mengen, die wir als kleine Kate- gorien P und Q auffassen.

(a) Beschreibe die Funktoren P → Q.

(b) Gegeben zwei Funktoren F, G : P → Q, unter welchen Bedingungen existiert eine nat¨ urliche Transformation F ⇒ G ? Wieviele solche Transformationen gibt es dann ? Aufgabe 2.2. Sei C eine Kategorie, und f¨ ur X ∈ Ob(C), sei ϕ

= C(X, −) : C → Set der von X kodargestellte Funktor. Ferner sei Y ∈ Ob(C), und sei η : ϕ

⇒ ϕ

eine nat¨ urliche Transformation.

(a) Beweise, dass genau ein f ∈ C(Y, X) mit η = ϕ

existiert. Hier ist ϕ

durch ϕ

: C(X, Z) → C(Y, Z ), g 7→ g ◦ f definiert.

(b) Formuliere und beweise die entsprechende “duale” Aussage (f¨ ur dargestellte Kofunkto- ren).

Aufgabe 2.3. Betrachte die folgenden Teilr¨ aume von R :

Z , Q , X = {1,

,

,

,

, . . . }, Y = X ∪ {0} . (a) Welche sind hom¨ oomorph ?

(b) Welche haben den selben Homotopietyp ?

Aufgabe 2.4. Sei S

= {x ∈ R

| kxk

= 1} die n-Sph¨ are, versehen mit der Teilraumtopolo- gie des Euklidischen R

. Als Basispunkt von S

w¨ ahlen wir s

= (1, 0, . . . , 0). Sei f : S

→ S

eine (nicht notwendigerweise punktierte) Abbildung. Zeige : gilt n ≥ 1, so ist f homotop zu einer Abbildung g : S

→ S

mit f(s

) = s

.

Aufgabe 2.5. Sei (S

, s

) die punktierte n-Sph¨ are. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Sei X ein punktierter Raum. Dann sind X und S

∧ X hom¨ oomorph.

(b) S

und S

∧ S

sind f¨ ur alle n ≥ 0 hom¨ oomorph.

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Abgabe : Montag 25.10.2010.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html