Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2011
UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE ¨
Blatt 6
∗, 06.05.2011
Aufgabe 6.1. Sei W die Menge der Hom¨ oomorphismenklassen von endlichen CW -Komplexen, und sei χ e : W → Z die reduzierte Euler-Poincar´ e Charakteristik, die durch χ(X) = e χ(X) − 1 definiert ist.
(a) Beweise, dass f¨ ur alle CW -Paare (X, A), X endlich, die Gleichung
χ(X) = e χ(A) + e χ(X/A) e gilt.
(b) Sei M eine Abelsche Gruppe, und sei φ : W → M eine Abbildung mit φ(X) = φ(A) + φ(X/A)
f¨ ur alle endliche CW -Paare (X, A). Beweise, dass φ(X) = φ(S 0 ) χ(X) f¨ e ur alle X ∈ W gilt:
W φ //
χ e
M
Z
·φ(S
0)
== |
| |
| |
| |
|
Aufgabe 6.2. Sei g ∈ N und sei M g eine orientierbare abgeschlossene Fl¨ ache vom Geschlecht g, definiert als ] g T 2 oder als Quotient einer polygonale Fl¨ ache in R 2 (siehe 4.45, Topologie 1).
Bestimme eine CW -Zerlegung von M g und berechne H ∗ CW (M g ; Z ) und χ(M g ).
Aufgabe 6.3. Sei g ∈ N und sei P g eine nicht-orientierbare abgeschlossene Fl¨ ache vom Ge- schlecht g, definiert als ] g R P 2 oder als Quotient einer polygonale Fl¨ ache in R 2 (siehe 4.45, Topologie 1). Bestimme eine CW -Zerlegung von P g und berechne H ∗ CW (P g ; Z ) und χ(M g ).
Aufgabe 6.4. Beweise, dass SU (2) und S 3 hom¨ oomorph sind. Beschreibe die CW -Zerlegung von S 3 , bzw. R P 3 , die die CW -Zerlegung von V 2,1 C , bzw. V 3,2 R in normalen Zellen entschpricht.
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