Aufgabe 11.1. Sei Ch(Ab) die Kategorie der Ketten-Komplexen von Abelschen Gruppen.

Ch. Ausoni, M. R¨ oer WWU M¨ unster, Wintersemester 2010/11

UBUNGEN ZUR TOPOLOGIE ¨

Blatt 11 ^∗ 20.12.2010

Aufgabe 11.1. Sei Ch(Ab) die Kategorie der Ketten-Komplexen von Abelschen Gruppen.

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Ketten-Homotopie Relation f ∗ ' g ∗ auf Ch(Ab)(C ∗ , D ∗ ) ist eine ¨ Aquivalenzrelati- on.

(b) Gelten f _∗ ' ^H g _∗ in Ch(Ab)(C _∗ , D _∗ ) und f ⁰ ∗ ^H

0

' g ⁰ _∗ in Ch(Ab)(D _∗ , E _∗ ) so gilt f _∗ ⁰ f _∗ ' ^K g _∗ ⁰ g _∗ in Ch(Ab)(C ∗ , E ∗ ). Gib eine Formel f¨ ur K an.

(c) Ein Morphismus von Ketten-Komplexen f ∗ : C ∗ → D ∗ in Ch(Ab), der ein Isomorphis- mus in Homologie induziert, nennen wir einen Quasi-Isomorphismus. Zeige, dass ein Quasi-Isomorphismus nicht notwendigerweise eine Ketten-Homotopie¨ aquivalenz ist.

Bemerkung: Sind C n und D n freie Abelsche Gruppen f¨ ur alle n ∈ Z , so ist jeder Quasi- Isomorphismus f ∗ : C ∗ → D ∗ eine Ketten-Homotopie¨ aquivalenz.

Aufgabe 11.2. Beweise Lemma 5.51 aus der Vorlesung: Gegeben sei ein kommutatives Dia- gram in Ab mit exakten Zeilen

· · · ^∂

^// A n i

//

f

B n p

//

g

C n

∂

//

h

A n−1 i

//

f

· · ·

· · · ^∂

0

n+1

// A ⁰ _n ⁱ

0

n

// B _n ^{0 p}

0

n

// C _n ^{0 ∂}

0

n

// A ⁰ _n−1 ⁱ

0

n−1

// · · · ,

sodass h _n ein Isomorphismus f¨ ur alle n ist. Sei D _n = ∂ _n h ⁻¹ _n p ⁰ _n : B _n ⁰ → A n−1 . Dann ist die folgende lange Folge exakt :

· · · → A _n −−−−→ ^(f

^,i

⁾ A ⁰ _n ⊕ B _n ⁱ

0 n

−g

−−−→ B _n ⁰ − ^D − →

A n−1 → · · · .

Aufgabe 11.3. Sei X ein Raum, seien U ₁ , U ₂ , U ₃ ⊂ X Teilr¨ aumen. Sei angenommen dass die R¨ aumen U _i , U _j ∩ U _k , und U ₁ ∩ U ₂ ∩ U ₃ leer oder zusammenziehbar sind f¨ ur alle 1 ≤ i, j, k ≤ 3.

Beweise, dass H _n (X; Z ) = 0 f¨ ur n ≥ 2.

Bitte wenden.

∗

Abgabe : Montag 10.01.2011 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html

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Aufgabe 11.4. Betrachte die folgeneden Teilr¨ aume von R ² : X = {x ∈ R ² | 0 ≤ x ₁ ≤ (2π) ⁻¹ } ⊂ R ² ,

C = {x ∈ X, | x ₁ = 0, x ₂ ≥ −1} ∪ {x ∈ X, | x ₁ > 0, x ₂ ≥ sin(1/x)} ⊂ X D = {x ∈ X, | x ₁ = 0, x ₂ ≤ 1} ∪ {x ∈ X, | x ₁ > 0, x ₂ ≤ sin(1/x)} ⊂ X.

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) C und D sind in X abgeschlossen und X = C ∪ D.

(b) Die “Mayer-Vietoris” Folge

· · · → H n (C ∩ D; Z ) → H n (C; Z ) ⊕ H n (D; Z ) → H n (X; Z ) → H n−1 (C ∩ D; Z ) → · · · . ist nicht exakt.

Aufgabe 11.5. Berechne H ∗ (S ¹ × S ¹ ; Z ).

Aufgabe 11.6. Seien X = S ¹ × S ¹ und Y = S ¹ ∨ S ¹ ∨ S ² . Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Fundamentalgruppen von X und Y sind nicht isomorph (insbesondere sind X und Y nicht Homotopie¨ aquivalent).

(b) Die Homologiegruppen von X und Y sind isomorph.

(c) Sind X e und Y e die Universellen ¨ Uberlagerungen von X, bzw. Y , so sind die Homologie- gruppen von X e und Y e nicht isomorph.

Hinweis: Vergleiche mit Aufgabe 6.4.

Frohe Festtage und einen guten Rutsch ins neues Jahr !