Guillaume CONNAN
LyéeJeanPERRIN
Otobre 2007
2
1
Pourquoiutilise-t-onlesomplexes?
Pourrésoudredeséquations
Pourompterendimension2
2
Voabulaireetpremièrespropriétés
Formealgébrique
Àquoisertl'uniitédelaformealgébrique?
Leplanomplexe
Premiersalulsgéométriques
Conjuguéd'unomplexe
Àquoiserventlesonjugués?
Moduled'unnombreomplexe
3
Résolutiond'équationsduseonddegré
Résolutiondeax
2+bx+=0avea,betdesréels
4
Formetrigonométrique
Argumentd'unomplexenonnul
Correspondaneformealgébrique/formetrigonométrique
Opérationssurlesformestrigonométriques
5
Lesobjetsgéométriquesetlesomplexes
Sommaire
2
1
Pourquoiutilise-t-onlesomplexes?
Pourrésoudredeséquations
Pourompterendimension2
2
Voabulaireetpremièrespropriétés
Formealgébrique
Àquoisertl'uniitédelaformealgébrique?
Leplanomplexe
Premiersalulsgéométriques
Conjuguéd'unomplexe
Àquoiserventlesonjugués?
Moduled'unnombreomplexe
3
Résolutiond'équationsduseonddegré
Résolutiondeax
2+bx+=0avea,betdesréels
4
Formetrigonométrique
Argumentd'unomplexenonnul
Correspondaneformealgébrique/formetrigonométrique
Opérationssurlesformestrigonométriques
5
Lesobjetsgéométriquesetlesomplexes
Combien l'équation x
+
px+
q=
0 a-t-elle de solutionsdans
R
?Considérons don lafontion f : x7→x3+px+q avep et q des entiers.
En étudiant ette fontion,nous allonsvérierqu'elle admettoujours au
moins unesolution réelle etmême déterminerle nombre desolutionsselon
les valeursde p et q.
f s'annule-t-elle sur R?
Quelest le signede ladérivée?
Distinguons deuxas :
pÊ0
p<0
Distinguons deuxas :
pÊ0
p<0
Tableau de variation dans le 2 as
x −∞ −a a +∞
Signef
′(x) + 0 − 0 +
f(−a) +∞
f(x) @@
@ R
−∞ f(a)
Montrezque f(a)=q−2a3 et f(−a)=q+2a3
Alorsf(a)·f(−a)=
Onpeutenn remarquer quef(a)<f(−a) ar
Si f(a)et f(−a) sonttousdeuxdemême signe, 'està diresi
f(a)·f(−a)>0soitenoresi4p3+27q2>0 alorsf nes'annulequ'une
seule fois.
Si
Si
Si f(a)et f(−a) sonttousdeuxdemême signe, 'està diresi
f(a)·f(−a)>0soitenoresi4p3+27q2>0 alorsf nes'annulequ'une
seule fois.
Si
Si
Si f(a)et f(−a) sonttousdeuxdemême signe, 'està diresi
f(a)·f(−a)>0soitenoresi4p3+27q2>0 alorsf nes'annulequ'une
seule fois.
Si
Si
Plaçons-nous maintenantdans le as4p
3+27q2>0.Nous savonsqu'alors
l'équation admet uneunique solutionréelle.
GiralomoCardanoaétabli 1
en 1547 que ette solutionest
3
v u u t−q
2
+ s
q 2
4
+p
3
27
+
3
v u u t−q
2
− s
q 2
4
+p
3
27
Utilisezette formulepour trouverune solution de(E1) : x3−36x−91=0
1
Vouspouvezessayerdeleprouverenposantx=u+v etenrésolvant unsystème
d'équationsd'inonnuesu etv
GiralomoCardanoaétabli 1
en 1547 que ette solutionest
3
v u u t−q
2
+ s
q 2
4
+p
3
27
+
3
v u u t−q
2
− s
q 2
4
+p
3
27
Utilisezette formulepour trouverune solution de(E1) : x3−36x−91=0
1
Vouspouvezessayerdeleprouverenposantx=u+v etenrésolvant unsystème
d'équationsd'inonnuesu etv
Onvoudraitfaire demême ave(E2) : x3−15x−4=0.Unproblème
apparaît...
Admettons qu'onpuisseprolonger les alulsusuelsaux rainesarrées de
nombresnégatifs enutilisantle symbole
p−1 et utilisonsquand
même la formule denotre amiitalien.
Bon, onnesemble pastrèsavané.Alorsunpetitoup depoue:alulez
³
2+p
−1´3
et
³
2−p
−1´3
Ontrouve alorsune solution réelleα de(E2).Or4p3+27q2 est négatif,
don ondevraittrouver deuxautres rainesréelles. Commeonena une,
ela veut direqu'on peutfatoriser x
3−15x−4 parx−α:faites-le! Déduisez-en lesdeuxautres solutionsréelles.
Ontrouve alorsune solution réelleα de(E2).Or4p3+27q2 est négatif,
don ondevraittrouver deuxautres rainesréelles. Commeonena une,
ela veut direqu'on peutfatoriser x
3−15x−4 parx−α:faites-le! Déduisez-en lesdeuxautres solutionsréelles.
Sommaire
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1
Pourquoiutilise-t-onlesomplexes?
Pourrésoudredeséquations
Pourompterendimension2
2
Voabulaireetpremièrespropriétés
Formealgébrique
Àquoisertl'uniitédelaformealgébrique?
Leplanomplexe
Premiersalulsgéométriques
Conjuguéd'unomplexe
Àquoiserventlesonjugués?
Moduled'unnombreomplexe
3
Résolutiond'équationsduseonddegré
Résolutiondeax
2+bx+=0avea,betdesréels
4
Formetrigonométrique
Argumentd'unomplexenonnul
Correspondaneformealgébrique/formetrigonométrique
Opérationssurlesformestrigonométriques
5
Lesobjetsgéométriquesetlesomplexes
Voussavez ompter endimension 1,'està direadditionner et
multiplier desnombres réelsqu'on peutreprésenter sur ladroite desréels :
3 −p
2 0 2
3
π R
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
DansR
L'additionpossèdeunélément neutrenoté 0:x+0=0+x=x.
Lasommede2 réels est enore unréel.
Chaqueréel x admet un opposé−x vériant x+(−x)=(−x)+x=0.
Lamultipliation possèdeunélément neutrenoté1 :x×1=1×x=x
Le produitdedeuxréels est enore unréel.
Chaqueréel diérent de0admet uninverse x
−1
vériant
x×x−1=x−1×x=1
Lamultipliation est distributivesurl'addition:
x×(y+z)=x×y+x×z.
OnnoteR2 l'ensemble desoordonnéesdes pointsduplan.
Est-e qu'onpeutdénir une additionet une multipliationqui
engloberaient et généraliseraientellesvuesdans R?
OnnoteR2 l'ensemble desoordonnéesdes pointsduplan.
Est-e qu'onpeutdénir une additionet une multipliationqui
engloberaient et généraliseraientellesvuesdans R?
Pour l'addition,on penseà(x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′)
Vérions que les propriétés del'additionsont vériées.
Pour l'addition,on penseà(x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′)
Vérions que les propriétés del'additionsont vériées.
Élément neutre
Onaun élémentneutre :(0,0) ar (x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
Etsurtout l'élément neutredeR2 sesitueau même endroit queelui deR :onl'a juste gonéd'un deuxièmezéro pour êtrereonnu dans
R2.
Élément neutre
Onaun élémentneutre :(0,0) ar (x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
Etsurtout l'élément neutredeR2 sesitueau même endroit queelui deR :onl'a juste gonéd'un deuxièmezéro pour êtrereonnu dans
R2.
Symétrique
Etpour le symétrique,onprend (−x,−y) ar(x,y)+(−x,−y)=(0,0)
l'élément neutre.
Multipliation
Onpense d'abord à(x,y)×(x′,y′)=(xx′,yy′)ave (1,1) omme élément
neutre.
Maisdans e as,l'élément neutredela multipliationdans R2ne serait pas aumême endroit que eluideR
(1, 1)
1 1
0 R
(1, 0)
Onvoudraitplutt unélément neutre(1,0) et don que
(x,y)×(1,0)=(x,y). Jevous proposelamultipliationsuivante
(x,y)×(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+x′y)
Essayons:(x,y)×(1,0)=(x×1−y×0,x×0+y×1)=(x,y).Ça marhe.
Je vous laissevérierque ette multipliationest distributivesur l'addition
et quetout élément (x,y) deR2 diérent de(0,0) admet uninverse µ
x
x
2+y2,− y
x 2+y2
¶
.
Oui, bond'aord,maisquel est lelienave le
p−1du paragraphe
préédent?
Etbien observez(0,1) et élevez leau arré.
(0,1)×(0,1)=(0−1,0+0)=(−1,0)
Bonet alors?
(0,1)×(0,1)=(0−1,0+0)=(−1,0)
Bonet alors?
Alors(−1,0),'est leréel−1 goné.Donp−1 aunreprésentant dans R2.Dansle plan,ilorrespond aupoint deoordonnées(0,1).Et
don nous allonspouvoiraluler avee fameux nombre
p−1 assez
naturellemnt enutilisantles opérations déritespréédemment.
À haqueélément(x,y)de R2nous allonsfaireorrespondreun nombre qu'on qualierade omplexe.
Nous allonsmêmedonner unnomàe
p−1:appelons-lei pourqu'ilfasse moins peur.Ainsinousavons les orrespondanes
Le point M ←→ Le ouple (x,y) ←→ Lenombreomplexex+iy
l l l
Le planP ←→ R2 ←→ L'ensemble des nombres omplexes
Nous allonsmêmedonner unnomàe
p−1:appelons-lei pourqu'ilfasse moins peur.Ainsinousavons les orrespondanes
Le point M ←→ Le ouple (x,y) ←→ Lenombreomplexex+iy
l l l
Le planP ←→ R2 ←→ L'ensemble des nombres omplexes
Etmaintenant observezomme les alulsdeviennentfailesenprologeant
les règles valables surR!
(x+iy)+(x′+iy′)=x+iy+x′+iy′=(x+x′)+i(y+y′)
Commenous avions (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′),maisenplus
simple.
Et(x+iy)·(x′+iy′)=xx′+ixy′+iyx′+i2yy′
N'oubliez pasquei 2= −1
Alors (x+iy)·(x′+iy′)=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)
Commenous avions (x,y)×(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+yx′).
Etmaintenant observezomme les alulsdeviennentfailesenprologeant
les règles valables surR!
(x+iy)+(x′+iy′)=x+iy+x′+iy′=(x+x′)+i(y+y′)
Commenous avions (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′),maisenplus
simple.
Et(x+iy)·(x′+iy′)=xx′+ixy′+iyx′+i2yy′
N'oubliez pasquei 2= −1
Alors (x+iy)·(x′+iy′)=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)
Commenous avions (x,y)×(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+yx′).
Etmaintenant observezomme les alulsdeviennentfailesenprologeant
les règles valables surR!
(x+iy)+(x′+iy′)=x+iy+x′+iy′=(x+x′)+i(y+y′)
Commenous avions (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′),maisenplus
simple.
Et(x+iy)·(x′+iy′)=xx′+ixy′+iyx′+i2yy′
N'oubliez pasquei 2= −1
Alors (x+iy)·(x′+iy′)=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)
Commenous avions (x,y)×(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+yx′).
Etmaintenant observezomme les alulsdeviennentfailesenprologeant
les règles valables surR!
(x+iy)+(x′+iy′)=x+iy+x′+iy′=(x+x′)+i(y+y′)
Commenous avions (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′),maisenplus
simple.
Et(x+iy)·(x′+iy′)=xx′+ixy′+iyx′+i2yy′
N'oubliez pasquei 2= −1
Alors (x+iy)·(x′+iy′)=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)
Commenous avions (x,y)×(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+yx′).
Etmaintenant observezomme les alulsdeviennentfailesenprologeant
les règles valables surR!
(x+iy)+(x′+iy′)=x+iy+x′+iy′=(x+x′)+i(y+y′)
Commenous avions (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′),maisenplus
simple.
Et(x+iy)·(x′+iy′)=xx′+ixy′+iyx′+i2yy′
N'oubliez pasquei 2= −1
Alors (x+iy)·(x′+iy′)=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)
Commenous avions (x,y)×(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+yx′).
