Ei
aide

de la densité stationnaire

SCHMISSEREmeline

UniversitéParisDesartes

LaboratoireMAP5

Emeline.Shmissermi.paris des art es.f r

5 mai2010

1

Problème

1

Problème

2

Prinipede l'estimationadaptative

1

Problème

2

Prinipede l'estimationadaptative

3

Deuxméthodesd'estimation

1

Problème

2

Prinipede l'estimationadaptative

3

Deux méthodesd'estimation

4

Simulations

1

Problème

2

Prinipede l'estimationadaptative

3

Deux méthodesd'estimation

4

Simulations

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire}

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Exemple de diusion

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Exemple de diusion

0.5 1 1.5 2 2.5

b(^x) =−^x/²

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Exemple de diusion

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

b(^x) =−^x/² σ(^x) =σ

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Exemple de diusion

0.5 1 1.5 2 2.5

b(^x) =−^x/² σ(^x) =σ

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Exemple de diusion

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

b(^x) =−^x/² σ(^x) =σ

σ =⁰ σ=⁰.²

Diusions

Équation diérentielle stohastique

dX

t=^b(^Xt)^dt+σ(^Xt)^{dWt X0} =η η ^{variablealéatoire W}t

mouvement brownienindépendantde η

Exemple de diusion

0.5 1 1.5 2 2.5

b(^x) =−^x/² σ(^x) =σ

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

X

0,^X_∆, . . . ,^Xn∆

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

X

0,^X_∆, . . . ,^Xn∆

stritement

stationnaires

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

X

0,^X_∆, . . . ,^Xn∆

stritement

stationnaires

exponentiellement

β-mélangeantes

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

X

0,^X_∆, . . . ,^Xn∆

stritement

stationnaires

exponentiellement

β-mélangeantes f densitéstationnaire

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

X

0,^X_∆, . . . ,^Xn∆

stritement

stationnaires

exponentiellement

β-mélangeantes f densitéstationnaire

But

Estimationde g :=^{f′ surunompat} [⁰,¹]

Hypothèses

Données

0 ∆

X_k∆

T=n∆

X

0,^X_∆, . . . ,^Xn∆

stritement

stationnaires

exponentiellement

β-mélangeantes f densitéstationnaire

But

Estimationde g :=^{f′ surunompat} [⁰,¹]

Motivation : estimation de b par quotient

Siσ ^{onstante onnue : b} = σ^2f′

2f

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant X

t β-mélangeantsi β^X(^t)→⁰

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant X

t β-mélangeantsi β^X(^t)→⁰

X

t

exponentiellement β-mélangeantsi βX(^t)≤^e−θt

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant X

t β-mélangeantsi β^X(^t)→⁰

X

t

exponentiellement β-mélangeantsi βX(^t)≤^e−θt

Quasi-indépendane entreX

s etX

t+^{s pour t grand}

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant X

t β-mélangeantsi β^X(^t)→⁰

X

t

exponentiellement β-mélangeantsi βX(^t)≤^e−θt

Quasi-indépendane entreX

s etX

t+^{s pour t grand}

Contrle de lavariane

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant X

t β-mélangeantsi β^X(^t)→⁰

X

t

exponentiellement β-mélangeantsi βX(^t)≤^e−θt

Quasi-indépendane entreX

s etX

t+^{s pour t grand}

Contrle de lavariane

A= ¹

n n

X

k=¹

h(^Xk∆)

Problème β^-mélange

Dénition du

β

Coeient de β^-mélange

Pour unproessusX

t

stationnaire:

β^X(^s) = ¹

2

k^P(^X0,^Xs)−^PX0⊗^PX0k^TV

Proessus β-mélangeant X

t β-mélangeantsi β^X(^t)→⁰

X

t

exponentiellement β-mélangeantsi βX(^t)≤^e−θt

Quasi-indépendane entreX

s etX

t+^{s pour t grand}

Contrle de lavariane

1

Problème

2

Prinipede l'estimationadaptative

3

Deux méthodesd'estimation

4

Simulations

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^Sm

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Colletion d'espaes S

m

3 4 5 6 7 8

vraie fonction projection sur S0 projection sur S2

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Colletion d'espaes S

m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

vraie fonction projection sur S0 projection sur S2

Caratéristiques :

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Colletion d'espaes S

m

3 4 5 6 7 8

vraie fonction projection sur S0 projection sur S2

Caratéristiques :

emboîtés

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Colletion d'espaes S

m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

vraie fonction projection sur S0 projection sur S2

Caratéristiques :

emboîtés

densesdansL 2

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Colletion d'espaes S

m

3 4 5 6 7 8

vraie fonction projection sur S0 projection sur S2

Caratéristiques :

emboîtés

densesdansL 2

équivalenenormeL 2

L

∞

Espaes S

m

Algorithme

Pourm≤^{M :alulg}ˆ^m ∈^{Sm séletion meilleurg}ˆm

grâeàpen(^m)

Colletion d'espaes S

m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

vraie fonction projection sur S0 projection sur S2

Caratéristiques :

emboîtés

densesdansL 2

équivalenenormeL 2

L

∞

Exemples:

poly trigonométriques

poly parmoreaux

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

aluldurisque:

R

m =E k^gˆm−^gk²L 2

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

aluldurisque:

R

m =E k^gˆm−^gk²L 2

≤ k − k²

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

aluldurisque:

R

m =E k^gˆm−^gk²L 2

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2

+^Variane+^Reste

Estimateur adaptatif

pénalitépen ∼^Variane

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

aluldurisque:

R

m =E k^gˆm−^gk²L 2

≤ k − k²

Estimateur adaptatif

pénalitépen ∼^Variane

hoix^mˆ ^minimise

inf

m≤^Mγn(ˆ^gm) +^pen(^m)

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

aluldurisque:

R

m =E k^gˆm−^gk²L 2

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2

+^Variane+^Reste

Estimateur adaptatif

pénalitépen ∼^Variane

hoix^mˆ ^minimise

inf

m≤^Mγn(ˆ^gm) +^pen(^m)

risquede ^gˆm_ˆ :

R =E k^gˆm_ˆ −^gk²L 2

Prinipe d'estimation non paramétrique

Rappel:g :=^f′

Estimation à m xé

ontrasteγn

ˆ

g

m

minimiseγⁿ(^t) ^surSm

aluldurisque:

R

m =E k^gˆm−^gk²L 2

≤ k − k²

Estimateur adaptatif

pénalitépen ∼^Variane

hoix^mˆ ^minimise

inf

m≤^Mγn(ˆ^gm) +^pen(^m)

risquede ^gˆm_ˆ :

R =E k^gˆm_ˆ −^gk²L 2

1

Problème

2

Prinipede l'estimationadaptative

3

Deux méthodesd'estimation

4

Simulations

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

Cadre asymptotique :n → ∞^,T =ⁿ∆→ ∞

∆^{peut êtrexe}

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

Cadre asymptotique :n → ∞^,T =ⁿ∆→ ∞

∆^{peut êtrexe}

Estimateur à m xé

Contraste:

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

Cadre asymptotique :n → ∞^,T =ⁿ∆→ ∞

∆^{peut êtrexe}

Estimateur à m xé

Contraste:

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

Cadre asymptotique :n → ∞^,T =ⁿ∆→ ∞

∆^{peut êtrexe}

Estimateur à m xé

Contraste:

γn(^t) =k^tk^2L2+ ²

n n

X

k=¹

t

′(^Xk∆)

Justiation:

Deuxméthodesd'estimation Endérivantunestimateurdef

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

Cadre asymptotique :n → ∞^,T =ⁿ∆→ ∞

∆^{peut êtrexe}

Estimateur à m xé

Contraste:

Justiation:

SCHMISSER Emeline (MAP5) Dérivée de la densité Mont Dore 11 / 17

En dérivant un estimateur de f

Modèle

Contraintes:pas besoindiusion(β^{-mélange +}stationnarité)

espaes S

m

:ontraintesfortesau bord

Cadre asymptotique :n → ∞^,T =ⁿ∆→ ∞

∆^{peut êtrexe}

Estimateur à m xé

Contraste:

γn(^t) =k^tk^2L2+ ²

n n

X

k=¹

t

′(^Xk∆)

Justiation:

E(γn(^t)) =k^tk^2L2+²<^t′,^f >

=k^tk^2L2 −²<^t,^f′ >

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

risque:R ≤^Cminm≤M k^gm−^gk²L

2+^pen(^m) +^ln

4(ⁿ∆)

n∆

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

risque:R ≤^Cminm≤M k^gm−^gk²L

2+^pen(^m) +^ln

4(ⁿ∆)

n∆

Vitesse de onvergene si f

′ =^{g dans Besov B2α},∞

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

risque:R ≤^Cminm≤M k^gm−^gk²L

2+^pen(^m) +^ln

4(ⁿ∆)

n∆

Vitesse de onvergene si f

′ =^{g dans Besov B2α},∞

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

risque:R ≤^Cminm≤M k^gm−^gk²L

2+^pen(^m) +^ln

4(ⁿ∆)

n∆

Vitesse de onvergene si f

′ =^{g dans Besov B2α},∞

R(ˆ^gm_ˆ)≤(ⁿ∆)^{−2α/(3+2α)}

Estimationde b (∆^xe,σ ^{onnu) :}

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

risque:R ≤^Cminm≤M k^gm−^gk²L

2+^pen(^m) +^ln

4(ⁿ∆)

n∆

Vitesse de onvergene si f

′ =^{g dans Besov B2α},∞

∆ σ

Résultats

Risque de l'estimateur à m xé:

R

m ≤ k^gm−^gk^2L2+^Dm³/(ⁿ∆)

Estimateur adaptatif

pénalité:pen(^m) =^Dm³/(ⁿ∆)

risque:R ≤^Cminm≤M k^gm−^gk²L

2+^pen(^m) +^ln

4(ⁿ∆)

n∆

Vitesse de onvergene si f

′ =^{g dans Besov B2α},∞

R(ˆ^gm_ˆ)≤(ⁿ∆)^{−2α/(3+2α)}

Estimationde b (∆^xe,σ ^{onnu) :}

Gobet,Homann, Reiss(2004) :

R(ˆ^b)≤^{n−2α/(3+2α)}

Deuxméthodesd'estimation Enutilisantf

′=²σ^−2bf

En utilisant f

′

=

σ

Modèle

Contraintes:

Deuxméthodesd'estimation Enutilisantf

′=²σ^−2bf

En utilisant f

′

=

σ

Modèle

Contraintes:diusion

Deuxméthodesd'estimation Enutilisantf

′=²σ^−2bf

En utilisant f

′

=

σ

Modèle

Contraintes:diusion+σ ^onstantonnu

Deuxméthodesd'estimation Enutilisantf

′=²σ^−2bf

En utilisant f

′

=

σ

Modèle

Contraintes:diusion+σ ^{onstantonnu +}(^Xt ≃^Xt+^h)^{pour h petit}

Deuxméthodesd'estimation Enutilisantf

′=²σ^−2bf

En utilisant f

′

=

σ

Modèle

Contraintes:diusion+σ ^{onstantonnu +}(^Xt ≃^Xt+^h)^{pour h petit}

adre asymptotique :

Deuxméthodesd'estimation Enutilisantf

′=²σ^−2bf

En utilisant f

′

=

σ

Modèle

Contraintes:diusion+σ ^{onstantonnu +}(^Xt ≃^Xt+^h)^{pour h petit}

adre asymptotique :n→ ∞^,T =ⁿ∆→ ∞^,∆→⁰