Enonc´e A152 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour passer deN `aM, il suffit dem+nop´erations, `a condition de trouver deux entiersm etntels queM·10m < N·7n<(M+ 1)10m. En effet, apr`es avoir multipli´enfois N par 7, on aura un nombre dont les premiers chiffres sont ceux deM, suivis dem autres `a enlever un `a un.
Je vais montrer que c’est toujours possible (le raisonnement serait le mˆeme avec un entier autre que 7). Le nombre d’op´erations qui en r´esulte n’a pas de raison d’ˆetre minimal, car ce proc´ed´e n’exploite pas la possibilit´e de choisir
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a chaque pas le type d’op´eration, multiplication ou troncature. La condition
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a satisfaire s’´ecrit (avec les logarithmes d´ecimaux) log(M/N)< nlog 7−m <log((M+ 1)/N).
La th´eorie des fractions continues fournit une double infinit´e de fractions p/q(“r´eduites”) qui approchent log 7 `a mieux que 1/q2, les unes par d´efaut, les autres par exc`es. Les r´eduites successives du d´eveloppement de log 7 en fraction continue sont 5/6, 60/71, 431/510 par d´efaut, 1, 11/13, 371/439, 2074774/2455069 par exc`es.
Je prends une r´eduite telle que 1/q < log(1 + 1/M), par exemple q >3M, et donnant une approximation par d´efaut si M > N, par exc`es sinon.
La suite uk = k(qlog 7 −p) est une progression arithm´etique de raison r=qlog 7−p, inf´erieure `a 1/q en valeur absolue.
Si M > N, 0 < r < 1/q < log(1 + 1/M), et la progression uk a donc une valeur dans l’intervalle (log(M/N),log((M + 1)/N)). Il suffira de prendre n=kq, m=kpavec la valeur correspondante de k. Le nombre d’op´erations est alors
m+n= (p+q)k < p+q
r logM+ 1
N = log 70
log 7−p/qlogM+ 1 N
mais on peut avoir int´erˆet `a approcher d’abord par d´efaut log(M/N) par une expressionalog 7−bcomme terme initial de la progression de raisonr, sir est tr`es petit et M/N non proche de 1.
Application `a N = 2005, M = 2006.
Avec p/q = 431/510, r = 510 log 7−431 = 0,00000040727 et il suffit de prendre k = 532 pour que log(2006/2005) = 0,000216555 < kr <
log(2007/2005).
Cela conduit `a (510 + 431)532 = 500612 op´erations pour passer de 2005 `a 2006.
Si M < N, on prend une approximation par exc`es et 0 < −r < 1/q <
log(1 + 1/M), avant de chercher une valeur convenable dek. SiM+ 1 =N, la valeurk= 1 convient. SiM+ 1< N, on op`ere comme ci-dessus, avec un nombre d’op´erations
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m+n= (p+q)k < p+q
−r log N
M = log 70
p/q−log 7log N M Application `a N = 2006, M = 2005.
Comme M + 1 = N, la valeur k = 1 convient, mais conduit `a un nombre d’op´erations p+q = 2074774 + 2455069 = 4529843 car la r´eduite 371/439 ne suffit pas : 439 log 7−371 =−0,00196<log(2005/2006).
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