Enoncé D336 (Diophante) Le cornet de glace
Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution.
Posé sur une table, il peut contenir selon la figure ci-contre :
– soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan de la table.
– soit un rond de serviette qui a la forme d’un cylindre de même axe de révolution inscrit dans le cône et qui a même hauteur et même volume que la balle.
On sert le cornet avec la plus grosse boule de glace tangente à la paroi du cornet. Un litre de glace permet de servir 30 cornets.
Déterminer les dimensions du cornet (au mm le plus proche) Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soitrle rayon de la balle. Son volume est 4πr3/3, et le cylindre, de hauteur 2r, a 2πr2/3 pour aire de sa base etrp2/3 pour rayon.
Le diamètre de cette base est vu du centre de la balle sous l’angle 2 arctanp2/3. C’est aussi, par l’égalité des tangentes menées du bord de la base à la balle, le demi-angle au sommet du cône dont le centre de la balle est le sommet et la base le cercle de contact entre la balle et le cor- net. Le demi-angle au sommet du cornet en est le complémentaire, soit α=π/2−arctan√
24 = arcsin(1/5).
Le cornet est un cône de hauteur h, le rayon de sa base est htanα, le rayon de la boule de glace esthtanα/cosα= 5h/24.
Le volume de 30 boules est 30(4π/3)(5h/24)3 très voisin de (25h/24)3 car 40π = 125,6. . . a pour racine cubique 5,008. En l’identifiant à 1 litre
= 106 mm3, on a 25h/24 = 100 mm, et h = 96 mm. Le rayon de la base est 96/√
24 = 19,6 mm.
