D336 – Le cornet de glace [* à la main]
Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution.
Posé sur un table, il peut contenir selon la figure ci-contre:
- soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan de la table.
- soit un rond de serviette qui a la forme d’un cylindre de même axe de révolution inscrit dans le cône et qui a même hauteur et même volume que la balle.
On sert le cornet avec la plus grosse boule de glace tangente à la paroi du cornet. Un litre de glace permet de servir 30 cornets.
Déterminer les dimensions du cornet (au mm le plus proche)
Solution proposée par Bernard Vignes
Soit α = angle(OSA), h = hauteur du cornet = OS. On a SA = h/cos(α)
Le rayon ωA de la boule de glace la plus grosse est égal à SAtan(α) = hsin(α)/(1-sin²(α)).
Avec un volume =1000/30 cm³, on a 4πωA³/3 = 100/3 soit : ωA = hsin(α)/(1-sin²(α)) = 3
π
25 = 1,996..cm
La balle de ping-pong (tracée en vert) a un rayon r = IO = IJ tel que IJ = SI.sin(α) avec SI = SO – IJ. On en déduit r = hsin(α)/(1+sin(α)). [1]
La base circulaire du rond de serviette (tracé en rouge) a pour rayon r’ = OC et sa hauteur est 2r. D’après Thalès, on a (h ‒ 2r)/h = r’/ htan(α). D’où r’ = (h ‒ 2r)tan(α)
Le volume du rond de serviette est égal au volume de la balle de ping-pong 2πrr’²=4πr³/3, soit r’ =
3
2 r ou encore (h ‒ 2r)tan(α) = 3 2 r. [2]
D’après [1] et [2], on obtient r/h = sin(α)/(1+sin(α)) = tan(α)/(
3
2 +2tan(α))
D’où l’équation 3
2 cos(α) = 1 ‒sin(α). On pose x = sin(α) et l’on obtient l’équation quadratique en x 5x² - 6x + 1 = 0 qui a pour solution x = 1 à exclure et x=1/5.
Il en résulte tan(α) = 1/ 24 .
D’où h = 24*1,996../5 = 9,58..cm arrondi à 9,6 cm et OA = htan(α) = 1,955..m arrondi à 2,0 cm
.
