D336* – Le cornet de glace
Proposition de Marc Humery
1/ Relations entre les dimensions du cône (h, R) et le rayon r de la balle de ping-pong
2/ Relations entre les dimensions du cylindre de rayon λ et celles du cône et de la balle de ping-pong Cylindre « inscrit » dans le cône de révolution vérifie les relations :
Hauteur du cylindre = diamètre de la sphère = 2OD = 2r Rayon λ du cylindre tel que : λ/R = (h-2r)/h
Or on a montré que (h-2r)/h = r²/R² = λ/R => r² = λR
Volume cylindre = volume sphère : πλ²(2r) = 4πr3/3 => 3λ² = 2r² = 2λR => 3λ = 2R λ/R = 2/3 Or λ/R = (h-2r)/h = r²/R² = 2/3 => 3r² = 2R² et 3(h-2r) = 2h => h = 6r => (h²+R²) = 25R² = 75r²/2
3/ Calcul du rayon ρ de la plus « grosse » boule de glace tangente à la paroi du cornet
1 litre = 1 dm3 = volume de 30 boules de rayon ρ => 30 x 4πρ3/3 = 1 000 cm3 => ρ = 1,996 cm ~ 2,0 cm
Soit I, centre de la sphère de rayon ρ = IB = IC avec IB Ʇ AB ; IC Ʇ AC => IC // OH
=> (IC/OH)² = (AC/AH)² ρ²/r² = (h²+R²)/[(h-r)²-r²] => ρ² = r²(h²+R²)/h(h-2r) Or h = 6r et (h²+R²) = 25R² => ρ² = 25R²/24 = 75r²/48
4/ Dimensions numériques du cornet (h, R, V)
ρ ~ 2,0 cm => r² = 48ρ²/75 = 2,56 cm² => r = 1,6 cm => h = 6r = 9,6 cm
=> R² = 3r²/2 = 3,84 cm² => R = 1,96 cm
Résultat : hauteur h = 9,6 cm ; rayon R = 1,96 cm ; volume = V = πR²h/3 = 38,6 cm3 Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution.
Posé sur une table, il peut contenir selon la figure ci-contre :
- soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan de la table.
- soit un rond de serviette qui a la forme d’un cylindre de même axe de révolution inscrit dans le cône et qui a même hauteur et même volume que la balle.
On sert le cornet avec la plus grosse boule de glace tangente à la paroi du cornet. Un litre de glace permet de servir 30 cornets.
Déterminer les dimensions du cornet (au mm le plus proche)
Rayon de la balle de ping-pong : OH = OD = r Volume de la balle de ping-pong : V = 4πr3/3
Hauteur du cône de révolution : AD = h => AO = (h-r) Rayon de la base circulaire : BD = CD = CH = R Volume du cône de révolution : V = πR²h/3 Apothème du cône de révolution : AC² = (h²+R²) Balle inscrite dans le cône de révolution =>
sin²(A/2) = OH²/AO² = CD²/AC² r²/(h-r)² = R²/(h²+R²) Qui peut s’écrire sous la forme : hr² = R²(h-2r)
