Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution.
Posé sur un table, il peut contenir selon la figure ci-contre:
- soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan de la table.
- soit un rond de serviette qui a la forme d’un cylindre de même axe de révolution inscrit dans le cône et qui a même hauteur et même volume que la balle.
On sert le cornet avec la plus grosse boule de glace tangente à la paroi du cornet. Un litre de glace permet de servir 30 cornets.
Déterminer les dimensions du cornet (au mm le plus proche)
Soit r le rayon de la balle et r’ celui de la base du rond de serviette de hauteur 2r.
Si h est la hauteur du cône et a son demi-angle sina=r/(h-r), tana=r’/(h-2r)
Le volume de la balle est 4πr3/3, tandis que celui du rond de serviette est 2πrr’2 : puisqu’ils sont égaux, 2r2=3r’2,
r’2/(h-2r)2=tan2a=sin2a/cos2a=sin2a/(1-sin2a)=r2/h(h-2r) donc h/(h-2r)=3/2 : h=6r donc sina=1/5, tan2a=1/24
Le rayon de la boule de glace tangente au cône suivant le cercle de base est R=h*tana/cosa=h tan2a/sina=5h/24
soit R=h/(1-sin2a)=5h/2√6 : son volume est 4πR3/3=100/3 cm3, donc R3=100/4π R=5/( 5π)1/3 =1,996 cm : h=24R/5=24/(5π)1/3=9,583 cm : le cornet a environ 96 mm de hauteur et la boule environ 40 mm de diamètre.
