Diophante D336 Le cornet de glace
Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution.
Posé sur un table, il peut contenir selon la figure ci-contre:
- soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan de la table.
- soit un rond de serviette qui a la forme d’un cylindre de même axe de révolution inscrit dans le cône et qui a même hauteur et même volume que la balle.
On sert le cornet avec la plus grosse boule de glace tangente à la paroi du cornet. Un litre de glace permet de servir 30 cornets.
Déterminer les dimensions du cornet (au mm le plus proche) Réponse:
Soient respectivement h, α, l, p, c et g la hauteur du cône, l'angle entre cette hauteur et une génératrice, la longueur d'une génératrice, le rayon de la balle de ping-pong, le rayon d'une base circulaire du cylindre et le rayon d'une boule de glace.
Comme le cylindre a même volume que la balle, (2 p) (π c2) = 4 π p3 / 3 donne c = √(2/3) p.
(h - 2p) = c cosα / sinα et (h - p) sinα = p donnent h/p = √(2/3) cosα / sinα + 2 = 1 + 1 / sinα.
sinα = 1/5 et cosα = 2√(6)/5 (α = 11,537- degrés sexagésimaux), h = 6 p.
l = h / cosα et l = g cosα / sinα donnent h = g cos2α / sinα = 24 g / 5.
Le rayon de la base circulaire du cornet est g cosα = 2√(6) g / 5.
Comme un litre de glace permet de servir 30 cornets, 106 = 30 x 4 π g3 / 3 donne g = 19,964... mm.
La hauteur du cornet (h) est 96- mm et la longueur d'une génératrice (l) est 98- mm.
Le rayon de la base circulaire du cornet est 20- mm.
Le rayon de la balle (p) est 16- mm et le rayon du cylindre (c) est 13+ mm.
